От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

Ïðè x > 0 è y < 0 соответствующие точки (x, y(x)) гиперболы приближаются к асимп-

òîòå h−. Аналогичные наблюдения справедливы также для точек гиперболы при x < 0.

√

Точки F− = (−c, 0) è F+ = (c, 0), ãäå c = a2 + b2 > 0, называются, соответственно, отрицательным и положительным фокусами гиперболы. Число e = c/a называется эксцентриситетом гиперболы. Заметим, что в случае гиперболы e > 1. Прямые

l−1 : x = −a/e è l+ : x = a/e называются, соответственно, отрицательной и положительной директрисами гиперболы.

Найдем расстояния от произвольной точки M = (x, y), удовлетворяющей (100), до фокусов (выкладки проводятся в полной аналогии со случаем эллипса):

Таким образом, абсолютная величина разности расстояний от любой точки гиперболы (100) до ее фокусов постоянна и равна 2a.

Определение 2. Множество тех и только тех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек постоянна, называется гиперболой.

Пусть точка (x, y) принадлежит множеству из определения 2. Введем декартовы координаты таким образом, что заданные точки получают координаты (−c, 0) и (c, 0). Постоянную абсолютную величину разности расстояний обозначим через 2a. Тогда

Таким образом, определения 1 и 2 эквивалентны. Формулы (A) и (B) делают очевидным также следующее

Утверждение. Множество тех и только тех точек плоскости, для которых отношение расстояний до заданной точки и заданной прямой постоянно и равно e > 1,

является гиперболой.

Из наших построений следует, что имеются ровно две возможности для выбора точ- ки (фокуса) и соответствующей прямой (директрисы), определяющих одну и ту же гиперболу.

Задача. Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку

y2/b2 = 1 и имеющей с ней единственную общую точку в области точек (x, y) с координатой x того же знака, что и x0 (такая прямая называется касательной к гиперболе). Доказать, что данная прямая является биссектрисой угла AMB, где A и B фокусы гиперболы.

Задача. Докажите, что никакая прямая не может иметь ровно одну общую точку с каждой ветвью гиперболы.

Задача. Докажите, что точки ветви гиперболы x2/a2 − y2/b2 = 1 при x > 0 допускают параметрическое представление x = a ch (φ), y = b sh (φ), −∞ < φ < +∞. По определению,

19.7Парабола

Пусть уравнение f(x, y) имеет вид (2). Можно считать, что λ2 > 0 è b < 0 (этого всегда можно добиться умножением уравнения на (−1) и дополнительным поворотом

системы координат на угол π). Уберем штрихи, рассматривая новую систему в качестве исходной. Положив p = −b/λ2, получаем уравнение

Определение 1. Множество точек (x, y), удовлетворяющих уравнению (20), называ-

åòñÿ параболой с фокальным параметром p.

Точка F = (p/2, 0) называется фокусом параболы (20). Прямая l : x = −p/2 называется директрисой параболы (20).

Пусть M = (x, y) произвольная точка параболы. Расстояние от нее до фокуса имеет вид

p

=x2 + 2x(p/2) + (p/2)2 = |x + p/2|.

Èòàê, расстояние от любой точки параболы до фокуса |F | равно расстоянию от нее до директрисы l.

Определение 2. Множество тех и только тех точек, для которых расстояние до заданной точки F равно расстоянию до заданной прямой l, называется параболой.

Путь расстояние от заданной точки до заданной прямой равно p. Выберем систему координат таким образом, что F = (p/2, 0) è l : x = −p/2. Åñëè |MF | = |x + p/2|, то, возводя это равенство в квадрат, получаем (20). Таким образом, определения 1 и 2 действительно эквивалентны.

Задача. Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку M(x0, y0) параболы y2 = 2px и имеющей с ней единственную общую точку (такая прямая называется касательной к параболе). Доказать, что прямая, ортогональная данной прямой и проходящая через точку M, делит пополам

угол между прямой F M, где точка F фокус параболы, и прямой, параллельной оси x и проходящей через точку M.

Задача. Докажите, что геометрическое место точек пересечения взаимно ортогональных касательных к параболе совпадает с ее директрисой.

Задача. Отрезок, соединяющий две точки кривой, называется ее хордой. Докажите, что для эллипса, гиперболы или параболы середины всех хорд, параллельных произвольной заданной хорде, расположены на одной прямой.

Задача. Кривая S это эллипс, одна из ветвей гиперболы или парабола, E произвольная фиксированная точка на S. Для произвольных точек A è B íà S прямая l(A, B) определяется как прямая AB в случае A 6= B и как касательная в точке A в случае A = B. Докажите, что прямая, проведенная через точку E параллельно l(A, B), имеет с S не более одной общей точки C, помимо

E. Пусть C = E, если общая точка только одна. Таким образом, любой паре точек A, B ставится в

соответствие точка C назовем ее суммой точек A è B. Докажите, что множество S относительно этой операции является абелевой группой.

Таким образом, матрица перехода P для базисов двух декартовых систем координат удовлетворяет матричному равенству

Ясно и то, что если матрица перехода обладает свойством ( ), то декартова система переходит в декартову.

Определение. Квадратная вещественная матрица P , удовлетворяющая равенству ( ),

называется ортогональной.

Ортогональные матрицы порядка 2 осуществляют переход между базисами декар-

товых систем на плоскости. Таковы, в частности, матрицы перехода, реализующие поворот (см. лекцию 18).

Данное нами определение применимо и для матриц, порядок которых больше 3.

Согласно ( ), для ортогональных матриц произвольного порядка обращение сводится

к транспонированию:

P −1 = P >.

Кроме того, произведение двух ортогональных матриц остается ортогональной матри-

öåé: åñëè P >P = Q>Q = I, òî (P Q)>(P Q) = Q>(P >P )Q = Q> I Q = Q>Q = I.

Очевидно, единичная матрица I является ортогональной матрицей.

Следовательно, множество всех ортогональных матриц фиксированного порядка относительно операции умножения матриц образует группу .

Утверждение. Пусть y = P x, где P произвольная ортогональная матрица порядка n и x Rn×1. Тогда сумма квадратов элементов матрицы-столбца y равна сумме квадратов элементов матрицы-столбца x.

Доказательство.

y12 + . . . + yn2 = y>y = (P x)>(P x) = x>(P >P ) x = x>x = x21 + . . . + x2n. 2

Следствие. Пусть B = P AQ, где P, Q произвольные ортогональные матрицы порядка n и A произвольная вещественная матрица порядка n. Тогда сумма квадратов элементов матрицы B равна сумме квадратов элементов матрицы A.

20.3Метод вращений

Попробум упростить квадратичную часть f2(x, y), используя ту же идею поворота сис-

темы координат, как и в случае плоскости. Теперь, однако, у нас есть три координатных плоскости, порождаемые тремя парами координатных осей. Цель вращения получить

щение (и указывают на то, какое из соотношений (1), (2) èëè (3) имеет место). Выберем

их таким образом, чтобы исключаемый элемент aij был максимальным по модулю. Тог- да, очевидно,

Пусть A0 = [aij] è A1 = [eaij]. Рассматривая A1 в качестве новой исходной матрицы, выберем в ней максимальный по модулю внедиагональный элемент и, занулив его с

помощью вращения, получим матрицу A2. Продолжая действовать таким же образом и далее, построим последовательность матриц Ak = [a(ijk)], k = 0, 1, . . . .

Пусть hk обозначает сумму квадратов внедиагональных элементов матрицы Ak. Òîã-

Следовательно, при любых фиксированных i 6= j последовательность внедиагональных элементов a(ijk) сходится к нулю при k → ∞.

20.4Вложенные подпоследовательности

Лемма об ограниченных последовательностях. Пусть имеется конечное число

ограниченных последовательностей {s(1k)}, . . . , {s(mk)}, k = 1, 2, . . . . Тогда можно

Доказательство. Из ограниченной последовательности {sk} выбираем сходящуюся

подпоследовательность skl и вместо исходных последовательностей рассматриваем под-

последовательности {s(1kl)}, . . . , {s(mkl)}, l = 1, 2, . . . . Они остаются, конечно, огра-

ниченными и при этом первая из них будет сходящейся. Теперь уже из ограниченной последовательности {sk2l } выберем сходящуюся подпоследовательность (подпоследова-

тельность подпоследовательности по отношению к исходной последовательности) и переходим к подпоследовательностям {s(1kli )}, . . . , {s(mkli )}, i = 1, 2, . . . . Полученные вложенные подпоследовательности будут, по-прежнему, ограниченными, но сходящи-

мися являются уже первые две. И так далее. 2

20.5Диагонализация в пределе

Вернемся к методу вращений. Будут ли сходиться к конечным пределам последовательности диагональных элементов a(iik) для нашей ближайшей цели не очень важно.

Каждая из них является ограниченной и поэтому обладает сходящейся подпоследовательностью. Более того, по лемме об ограниченных последовательностях, имеется

подпоследовательность матриц Ak, в которой каждая из последовательностей диагональных элементов сходится к какому-то пределу.

Чтобы не загромождать обозначения, будем считать, что

ледовательность, для которой все последовательности a(ijk) являются сходящимися (как мы знаем, при i 6= j к нулю). Пусть

lim a(iik) = λi, i = 1, 2, 3.

k→∞

где матрицы Pk = [p(ijk)] являются произведениями использованных матриц вращения

(из соотношений (1), (2) èëè (3)). Поэтому при любом k матрица Pk является ортого- нальной (как произведение ортогональных матриц). Следовательно, сумма квадратов всех элементов матрицы Pk при любом k одинакова (и равна 3). Значит, каждая последовательность p(ijk) является ограниченной при k → ∞ и поэтому обладает сходящейся

подпоследовательностью.

По лемме об ограниченных последовательностях, существует подпоследовательность матриц Pk, в которой каждая последовательность p(ijk)

обозначений будем считать, что Pk и есть именно такая подпоследовательность. Пусть

lim p(ijk) = pij, i, j = 1, 2, 3.

k→∞

При каждом k выполняется равенство (#). Переходя к пределу в соответствующих поэлементных равенствах, получаем

Теорема. Для любой вещественной симметричной матрицы A порядка 3 существуют ортогональная матрица P и диагональная матрица Λ такие, что

Λ = P >AP.

Следствие. Существует декартова система координат, в которой уравнение поверхности второго порядка имеет вид

136 Лекция 20

ãäå äëÿ âñåõ k матрицы Pk = [p(ijk)] являются ортогональными (как произведения ортогональных матриц).

i, j последовательности a(ijk), p(ijk) являются ограничен-

Äëÿ âñåõ l = 1, 2, . . . имеем Akl = Pk>l APkl . Переходя к пределу в поэлементных равенствах, получаем

Λ = P >AP.

Из условий ортогональности Pk>l Pkl = I вытекает, что в пределе P >P = I. Значит, матрица P является ортогональной. 2

Мы только что получили один из важнейших результатов как для самой теории матриц, так и для ее многочисленных приложений. В нашем курсе мы еще вернемся к его обсуждению в связи с рядом фундаментальных понятий линейной алгебры. Наше доказательство замечательно своей конструктивностью: оно дает одновременно и метод

приближенного вычисления матриц Λ è P . Это один из ранних практических методов вычислительной алгебры, предложенный К. Якоби в 1846 году. 1

Задача. Дана симметричная матрица A Rn×n с ненулевой суммой элементов главной диагонали. Доказать существование ортогональной матрицы Q Rn×n такой, что в матрице Q>AQ все элементы главной диагонали одинаковы.

1Последние результаты по изучению метода вращений принадлежат совсем недавнему прошлому: в 1990-х годах были обнаружены его особые возможности, связанные с высокоточным вычислением

малых по модулю элементов матрицы Λ.