От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

e

(z − z1) ( (z − z2) . . . (z − zn) − (z − ze2) . . . (z − zen)) = 0.

Отсутствие в C[z] делителей нуля означает, что

(z − z2) . . . (z − zn) = (z − ze2) . . . (z − zen).

Рассуждая аналогичным образом, приходим (после перенумерации корней) к равенству z2 = ze2, и так далее. 2

Следствие. Любой комплексный многочлен f(x) степени n > 0 имеет единственное разложение вида

Разложение вида ( ) иногда называется комплексным каноническим разложением многочлена f(z). Число ki называется кратностью корня ζi. Корень ζi называется

кратным, åñëè ki > 1, è простым, åñëè ki = 1.

Согласно ( ), многочлен f(z) имеет m попарно различных корней. В разложении ( ) некоторые из чисел z1, . . . , zm могут совпадать: если zi = ζj, то имеется ровно kj чисел, равных ζj. Нередко полученную выше теорему формулируют таким образом:

любой комплексный многочлен степени n > 0 имеет ровно n комплексных корней с учетом кратностей.

17.7Разложение вещественных многочленов

Рассмотрим вещественный многочлен (многочлен с вещественными коэффициентами) f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn и предположим, что число z C является его корнем.

Тогда комплексно сопряженное число z также является корнем (в силу вещественности коэффициентов ai = ai äëÿ âñåõ i):

f(z) = a0 + a1z + . . . + anz n = a0 + a1z + . . . + anzn = f(z) = 0.

Åñëè z 6= z, òî квадратичный многочлен (многочлен степени 2)

φ(x) = (x − z)(x − z) = x2 − (z + z) x + |z|2

имеет, очевидно, вещественные коэффициенты и является неразложимым в R[x].

Теорема. Любой вещественный многочлен f(x) степени n > 0 разлагается в R[x] на линейные и неразложимые квадратичные множители:

f(x) = a(x − x1) . . . (x − xM ) φ1(x) . . . φN (x), M + 2N = n, a, x1, . . . , xM R,

Данное разложение единственно с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство. Многочлен f(x) имеет n комплексных корней z1, . . . , zn с учетом кратностей. Пусть ровно M из них являются вещественными. Тогда остальные n − M корней разбиваются на пары комплексно сопряженных чисел ( число n −M должно быть четным: n−M = 2N). Вещественные корни дают M линейных множителей, а пары

комплексно сопряженных чисел дают N неразложимых квадратичных множителей.

Тем самым существование искомого разложения доказано. Допустим, что имеются два разложения такого вида:

f(x) = a(x − x1) . . . (x − xM ) φ1(x) . . . φN (x) = a(x − x1) . . . (x − xM0) φ1(x) . . . φN0(x).

φ1(x) = φe1(x) φ2(x) . . . φN (x) = φe2(x) . . . φeN (x).

Далее по индукции. 2

Следствие. Любой вещественный многочлен нечетной степени имеет хотя бы один вещественный корень.

Замечание. Последнее утверждение можно было бы доказать и непосредственно без использования основной теоремы алгебры. Достаточно доказать, что f(x) (как функция

îò x R) имеет положительный знак при достаточно больших положительных x и отрицательный знак при достаточно больщих отрицательных x. После этого использовать непрерывность f(x) и теорему Ролля.

120 Лекция 18

имеет степень 6. Как видим, в состав f(x1, x2, x3) входят 3 одночлена наивысшей сте-

ïåíè.

Полагаем xα1 1 . . . xαnn = xβ11 . . . xβnn , åñëè αi = βi äëÿ âñåõ i. Один и тот же много- член допускает много формально различных представлений в виде суммы одночленов с

коэффициентами из поля P . Однако мы всегда можем перейти к стандартному пред-

ставлению, в котором каждый одночлен встречается только один раз процедура перехода называтся приведением подобных членов и заключается в замене всех одинаковых одночленов с какими-то коэффициентами одним одночленом с коэффициентом, равным сумме этих коэффициентов, а затем исключении из суммы всех одночленов с

нулевыми коэффициентами. Многочлены f è g называются равными, если они имеют равные коэффициенты для равных одночленов в своих стандартных представлениях.

Суммой многочленов f+g называется многочлен с коэффициентами, равными сумме

Таким образом, умножение многочленов выполняется по привычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов.

Множество всех многочленов от x1, . . . , xn над полем P обозначается через

P [x1, . . . , xn]. Относительно операций сложения и умножения многочленов оно является коммутативным кольцом с единицей и без делителей нуля.

18.3Лексикографическое упорядочение

При изучении многочленов от x1, . . . , xn часто используется лексикографическое (словарное) упорядочение входящих в них одночленов:

если для некоторого 1 ≤ k ≤ n выполняются соотношения

α1 = β1, . . . , αk−1 = βk−1, αk > βk.

В дальнейшем под старшим членом многочлена будет пониматься взятый с соответствующим ненулевым коэффициентом одночлен, являющийся наивысшим при лексикографическом упорядочении одночленов стандартного представления данного многочлена. Очевидно, старший член определен однозначно.

Легко проверяется, что старший член произведения двух многочленов равен произведению их старших членов.

18.4Симметрические многочлены

Многочлен f(x1, . . . , xn) называется симметрическим, если для любой подстановки σ степени n

f(x1, . . . , xn) = f(xσ(1), . . . , xσ(n)).

Важными примерами симметрических многочленов являются элементарные симметри- ческие многочлены σk, присутствующие в формулах Виета.

Теорема о симметрических многочленах. Для любого симметрического много-

члена f(x1, . . . , xn) существует и единствен многочлен g от n переменных такой, что

f(x1, . . . , xn) = g(σ1, . . . , σn),

ãäå σk = σk(x1, . . . , xn) элементарные симметрические многочлены вида ( ).

Доказательство. Пусть a xα1 . . . xαn f(x1, . . . , xn).

1 n старший член многочлена

Тогда в случае симметрического многочлена обязательно выполняются неравенства

Его можно рассматривать также как многочлен от x1, . . . , xn, для которого старший член будет, очевидно, равен

a xα1 1−α2 (x1x2)α2−α3 . . . (x1 . . . xn−1)αn−1−αn (x1 . . . xn−1xn)αn = a xα1 1 . . . xαnn . (2)

Поэтому старший член многочлена

f1(x1, . . . , xn) = f(x1, . . . , xn) − φ(σ1, . . . , σn)

будет младше старшего члена для f(x1, . . . , xn). Аналогичным образом от f1 можно

перейти к многочлену f2 с меньшим старшим членом, и так далее. В силу конечности

общего числа членов данная процедура должна на каком-то шаге дать нулевой много- член.

Для доказательства единственности многочлена

g(σ1, . . . , σn) 6= 0, òî è f(x1, . . . , xn) 6= 0. Другими словами, нужно проверить, что после замены σk на соответствующие многочлены от x1, . . . , xn и приведения подобных членов останется хотя бы один ненулевой член. Любой член многочлена g можно записать в виде (1) с показателями α1 ≥ . . . ≥ αn. Как многочлен от x1, . . . , xn, многочлен φ

имеет своим старшим членом (2). Старшим членом для g как многочлена от x1, . . . , xn будет наивысший из членов такого вида. Он определен однозначно и поэтому не может сократиться при приведении подобных членов. 2

Следствие. Значение любого симметрического многочлена φ(x1, . . . , xn) при замене переменных на корни многочлена f(x) = a0 + a1x + . . . + an−1xn−1 + xn над полем P

является элементом поля P .

Доказательство. Симметрический многочлен является многочленом от элементарных симметрических многочленов. Если считать переменные корнями для f(x), òî,

в силу формул Виета, φ будет многочленом над тем же полем P от коэффициентов a0, . . . , an−1, которые являются элементами поля P . 2

Задача. Пусть z1, ..., zn все корни (с учетом кратностей) многочлена f(x) с рациональными

Q

коэффициентами. Доказать, что произведение D = (zi − zj) является рациональным числом.

i6=j

Задача. Пусть z1, . . . , zn все корни n-й степени из единицы, а f(x1, . . . , xn) симметрический многочлен с целыми коэффициентами. Доказать, что значение f ïðè xi = zi является целым числом.

f2(x, y) = a11x2 +2a12xy+a22y2 квадратичная часть, f1(x, y) = a13x+a23y линейная

часть, f0 = a33 свободный член. Квадратичная и линейная части записываются с помощью матричных операций таким образом:

Кроме того, легко проверяется, что

Попробуем найти такую декартову систему, в которой уравнение f(x, y) = 0 получит

более простой вид. Множество его решений принято называть линией (кривой) второго

порядка.

19.3Поворот декартовой системы координат

Исходную декартову систему координат повернем против часовой стрелки на угол φ. Тогда базисные векторы e1, e2 перейдут в новые базисные векторы, соответственно,

e1 = cos φ e1 + sin φ e2, e1 = − sin φ e1 + cos φ e2.

Åñëè a12 = 0, то можно взять φ = 0. Åñëè a12 6= 0, то надо решить уравнение

Очевидно, решение существует. Поэтому всегда найдется φ такое, что имеет место равенство ( ). Кроме того, при любом выборе φ получаем

λ1 = cos2 φ a11 +2 cos φ sin φ a12 +sin2 φ a22, λ2 = sin2 φ a11 −2 cos φ sin φ a12 +cos2 φ a22.

Отсюда λ1+λ2 = a11+a22. В то же время, используя равенство ( ) и то, что определитель

произведения матриц равен произведению определителей, находим λ1λ1 = a11a22 − a212. Следовательно, λ1 è λ2 суть корни квадратного уравнения 2

λ2 − (a11 + a22)λ + (a11a22 − a212) = 0. (#)

Доказано следующее

Утверждение. С помощью поворота исходной декартовой системы координат на некоторый угол φ уравнение f(x, y) = 0 преобразуется в новых координатах к виду

19.4Сдвиг декартовой системы координат

Естественно предположить, что квадратичная часть f2 не является тождественным нулем. Значит, λ1 è λ2 не равны нулю одновременно.

Случай 1: λ1 6= 0, λ2 6= 0. Выделим в квадратичной части полные квадраты:

естественным образом возникает при изучении ряда важных задач для произвольных (не обязательно симметричных) матриц произвольного порядка (см. Лекцию 29).

126 Лекция 19

В новых координатах уравнение f(x, y) = 0 теряет линейную часть и принимает вид

Случай 2: λ1 = 0, λ2 6= 0. Переносим начало координат в точку

Теорема. С помощью поворота и сдвига исходной системы координат уравнение f(x, y) = 0 приводится в новых координатах к виду (1), (2) или (3).

Если уравнение f(x, y) = 0 в какой-либо декартовой системе координат имеет вид

(1), то ни в какой другой декартовой системе оно не может иметь вид (2) или (3). Аналогично, уравнение вида (2) при переходе к другой декартовой системе не может

стать уравнением вида (1) èëè (3), а уравнение вида (3) уравнением вида (1) èëè (2).

Доказательство следует, например, из сравнения рассмотренных ниже геометрических свойств множеств решений уравнений (1), (2) и (3).

19.5Эллипс

Пусть в некоторой декартовой системе координат уравнение f(x, y) = 0 имеет вид (1),

ãäå λ1 è λ2 ненулевые числа одинакового знака. Уберем штрихи и рассмотрим новую систему в качестве исходной.

Не ограничивая общности, можно считать, что 0 < λ1 ≤ λ2 (если оба числа отри- цательны, то можно поменять знак в обеих частях уравнения; если λ1 > λ2, то можно