От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

переводит точки (комплексные числа) верхней полуплоскости в точки единичного круга с центром в начале координат.

Задача. Доказать, что дробно-линейное отображение

переводит точки (комплексные числа) единичного круга с центром в начале координат в точки того же множества.

14.4Корни из единицы

Комплексное число z называется корнем степени n из единицы , если zn = 1.

Формула Муавра. Åñëè z = |z| (cos φ + i sin φ), òî

zn = |z|n (cos(nφ) + i sin(nφ)).

Доказательство. Достаточно учесть, что при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются. 2

Следствие. Существует ровно n различных корней из единицы степени n. Это комплексные числа вида

является корнем степени n из единицы . В силу периодичности синуса и косинуса оче- видно, что zk = zl, если l = k + m n, m = 0, ±1, ±2, . . . . Если же 0 ≤ k, l ≤ n −1, то равенство zk = zl возможно лишь при k = l достаточно заметить, что комплексные числа z0, z1, . . . , zn−1 расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность. 2

14.5Группа корней степени n из единицы

Введем обозначение Kn для множества корней степени n из единицы. Мы только что доказали, что Kn содержит ровно n комплексных чисел.

Множество Kn является, как легко видеть, группой относительно операции умножения комплексных чисел. Более того, Kn является циклической группой. В самом деле,

zk = εk, ãäå ε = cos(2π/n) + i sin(2π/n) = z1.

Корень zm = εm называется первообразным корнем степени n из единицы, если

Kn = {(εm)0, (εm)1, ..., (εm)n−1}.

100 Лекция 15

Доказательство. Пусть b = −(0 · a) 0 · a). В силу дистрибутивности, 0 · a = (0 + 0) · a = (0 · a) + (0 · a). Прибавим b к обеим частям:

0 = b + (0 · a) = (b + 0 · a) + (0 · a) = 0 + (0 · a) = 0 · a. 2

Если умножение коммутативно, то K называется коммутативным кольцом. Åñëè

существует единичный элемент относительно операции умножения, то кольцо называ-

åòñÿ кольцом с единицей.

Пусть P коммутативное кольцо с единицей, для которого множество P \{0} îòíî-

сительно операции умножения является абелевой группой. В таких случаях множество P называется полем.

Группа P \{0} по умножению называется мультипликативной группой ïîëÿ P .

Единичный элемент кольца с единицей или поля относительно операции умножения обозначается обычно символом 1.

Задача. Пусть a è b элементы кольца с единицей e. Докажите, что из обратимости элемента e − ab в данном кольце вытекает обратимость элемента e − ba.

15.2Делители нуля

В некоторых кольцах существуют ненулевые элементы a, b такие, что ab = 0. Такие элементы a, b называются делителями нуля.

Утверждение 3. В поле не может быть делителей нуля: ab = 0 a = 0 èëè b = 0.

Доказательство. Пусть ab = 0. Åñëè a = 0, то утверждение доказано. Предположим, что a 6= 0. Тогда для a существует обратный элемент a−1 (a−1a = aa−1 = 1). В силу утверждения 1 и ассоциативности умножения, 0 = a−1 ·0 = a−1(ab) = (a−1a) b = 1 ·b = b.

2

ПРИМЕРЫ:

(1) K множество четных целых чисел. Операции сложение и умножение целых чисел. Это коммутативное кольцо без единицы. Кольцо не имеет делителей нуля.

(2) K = Rn×n (множество всех n × n-матриц). Операции сложение и умножение

матриц. Это некоммутативное кольцо с единицей. Кольцо имеет делители нуля. Например, в случае n = 2 находим

В данном случае K является полем: множество K\{0} относительно операции

умножения чисел является абелевой группой (см. пример абелевой группы из Лекции 2).

15.3Кольцо вычетов

Напомним, что вычеты по модулю p это специальные подмножества целых чисел, имеющих один и тот же остаток при делении на p (см. раздел 9.3).

Зафиксируем целое число p > 1. Для любого a Z обозначим через Z(a) множество всех целых чисел, имеющих при делении на p такой же остаток, как и число a (сравнимых с a по модулю p). Множества Z(a) и называются вычетами по модулю p.

Множество всех вычетов по модулю p обозначается Zp. Всего имеется ровно p различных вычетов по модулю p:

Zp = {Z(0), Z(1), . . . , Z(p − 1)}.

Определения операций сложения и умножения вычетов:

Z(a) + Z(b) = Z(a + b), Z(a)Z(b) = Z(ab).

Данные определения корректны в силу следующего элементарного наблюдения:

Столь же элементарно проверяется, что относительно операций сложения и умножения множество вычетов Zp является коммутативным кольцом с единицей.

Теорема. В случае простого p и только в этом случае кольцо вычетов по модулю p является полем.

Доказательство. Пусть p не является простым числом p = ab ïðè 1 < a, b < p

Z(a) Z(b) = Z(ab) = Z(p) = Z(0) = 0. Значит, Zp имеет делители нуля, и согласно

утверждению 3, Zp не может быть полем при составном p.

Теперь предположим, что p простое число. Докажем, что для любого вычета Z(a) ïðè 1 ≤ a ≤ p − 1 существует вычет Z(b) такой, что Z(a)Z(b) = Z(1) = 1. Для этого рассмотрим числа вида ka и их остатки от деления на p:

Ни один из остатков r1, . . . , rp−1 не равен нулю, иначе a делилось бы на p. Кроме того, среди них нет совпадающих. Предположим, что rk = rm. Тогда (k − m)a = p(qk − qm). Поскольку a è p взаимно простые, k − m делится на p.

Однако, при k, m = 1, 2, . . . , p − 1 очевидно, что |k − m| < p k − m = 0. Таким образом,

Значит, при некотором k непременно rk = 1 Z(a) Z(rk) = Z(1) = 1. 2

Замечание. В проведенных рассуждениях фактически содержится доказательство

малой теоремы Ферма: если p простое число и a взаимно просто с p, то число

ap−1−1 делится на p. В самом деле, перемножая равенства (1) и учитывая (2), получаем,

102 Лекция 15

÷òî (p −1)! (ap−1 −1) делится на p. Поскольку (p −1)! è p взаимно просты, на p обязано делиться число ap−1 − 1.

Как видим, кольца Zp дают примеры конечных колец, а при простом p также примеры конечных полей (то есть, колец и полей с конечным числом элементов).

Конечные поля играют важную роль в прикладных вопросах математики например, в теории кодирования, обнаружения и исправления ошибок при передаче информации по каналам связи.

Задача. Докажите, что любое конечное коммутативное кольцо без делителей нуля является полем.

15.4Вложения и изоморфизмы

Пусть M непустое подмножество в K. Åñëè K кольцо, то M называется его подкольцом, если оно является кольцом относительно операций, действующих в K. Åñëè K ïîëå, òî M называется его подполем, если оно является полем относительно тех же операций, которые действуют в K. В таких случаях говорят, что M вложено â K, èëè K является расширением кольца (поля) M.

В различных построениях могут возникать кольца или поля, неразличимые с точки зрения свойств действующих в них операций. Одинаковость свойств операций в L è M

означает существование взаимно-однозначного отображения Φ : L → M, сохраняющего операции:

Φ(a + b) = Φ(a) + Φ)b), Φ(ab) = Φ(a) Φ(b) a, b L.

Такое отображение Φ называется изоморфизмом, à L è M изоморфными.

Обычно K называют расширением кольца (поля) L и в тех случаях, когда L изоморфно некоторому его подкольцу (подполю) M.

Пусть 1 единичный элемент поля P . Рассмотрим суммы, состоящие из p слагаемых вида

p · 1 = 1 + . . . + 1.

Подчеркнем, что правая часть есть определение выражения p · 1 (p не является эле-

ментом нашего поля и, стало быть, речь не идет об умножении двух элементов поля). Минимальное p такое, что p · 1 = 0, называется характеристикой ïîëÿ P .

Утверждение 1. Если поле имеет характеристику p ≥ 1, то число p простое.

Доказательство. Предположим от противного, что p = mk. Тогда 0 = (mk) · 1 = (m · 1)(k · 1). Это невозможно, так как в поле не бывает делителей нуля. 2

Утверждение 2. Любое поле характеристики p ≥ 1 может рассматриваться как расширение поля вычетов Zp.

Доказательство. В поле характеристики p имеется, по крайней мере, p различных элементов вида k · 1, k = 1, . . . , p. Легко проверяется, что составленное из них множество является подполем. Изоморфизм данного подполя с Zp

Φ(k · 1) = Z(k). 2

Следствие. Любое конечное поле может рассматриваться как расширение некото-

15.5Число элементов в конечном поле

Утверждение 3. В конечном поле число элементов обязательно имеет вид n = pm, где p простое, m натуральное число.

Доказательство. Если p характеристика конечного поля F , то, согласно утверж-

дению 2, F является расширением поля вычетов по простому модулю p: Zp F . По аналогии с нашими исследованиями в случае вещественного линейного пространства, элементы a1, . . . , am F назовем линейно независимыми над

венства α1a1 + . . . + αmam = 0 с коэффициентами α1, . . . , αm Zp вытекает, что α1 = . . . = αm = 0. Пусть m максимально возможное число элементов, линейно независимых над Zp. Тогда любой элемент v F имеет вид

v = α1a1 + . . . + αmam, α1, . . . , αm Zp.

Для каждого из коэффициентов αi возможно p различных значений n = pm. 2

Конечные поля принято называть также полями Галуа. Мы доказали, что для существования поля Галуа необходимо, чтобы его число элементов имело вид n = pm. Íî

существуют ли поля Галуа для произвольного n такого вида? Ответ положительный, но на конструировании таких полей мы останавливаться не будем.

Задача. Докажите существование поля из четырех элементов.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

15.6Поле частных

Теорема. Любое коммутативное кольцо без делителей нуля может быть вложено в поле.

Доказательство. Пусть K коммутативное кольцо без делителей нуля. Чтобы расширить его до

Следовательно, отношение равенства является на множестве всевозможных формальных частных отношением эквивалентности. Поэтому все множество формальных частных разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности.

Операции сложения и умножения классов эквивалентности формальных частных определим по аналогии с заданием операций для рациональных чисел:

Проверка того, что результаты этих операций не зависят от выбора представителей в классах эквива-

вместе с любыми двумя элементами поле содержит также их частное).

Предположим, что не все βi равны нулю. Тогда среди них имеются как положительные, так и отрицательные. Если βi1 , . . . , βik > 0 è βj < 0, то целое число

β1 = ... = βn = 0 α1 = ... = αn = 0.

Таким образом, для любого n предъявлена линейно независимая система из n векторов.

(3) V множество m × n матриц с элементами из произвольного поля P . Обозначе- ние: V = P m×n. Сложение векторов это сумма матриц: [aij] + [bij] = [aij + bij]. Умножение вектора на число α P определяется как умножение матрицы на чис-

ëî: α[aij] = [α aij]. В данном случае V конечномерное линейное пространство над полем P ; dim V = mn.

Задача. Докажите линейную независимость функций sin x, sin 2x, . . . , sin nx как элементов вещественного линейного пространства функций на произвольном заданном отрезке [a, b].

Задача. Докажите, что группа целых чисел с операцией сложения не может быть аддитивной группой линейного пространства над каким-либо полем.

Задача. Существует ли линейное пространство из 10 векторов?

16.2Многочлены над полем

Многочлены от x над полем P это формальные выражения вида

p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn, a0, a1, . . . , an P. ( )

В данном случае x всего лишь символ. Если an 6= 0, то говорят, что p(x) много- член степени n. Обозначение: deg p(x) = n. Многочлены нулевой степени называются константами и обычно отождествляются с элементами поля P . Многочлен, все коэффициенты которого равны 0, называется

не определена.

Конечно, можно было бы, как и в случае вещественных коэффициентов, рассматривать p(x) как функцию от x P . Мы не делаем это по следующей причине. Пусть,

например, P = Z2 = {0, 1}. Тогда x = x2 x Z2. Как видим, многочлены с раз-

ными коэффициентами могут оказаться равными как функции, а нам все же кажется полезным иметь такое определение, при котором они будут различными.

Итак, в случае произвольного поля P мы рассматриваем многочлены именно как формальные выражения от какой-то буквы. При использовании буквы x множество всех многочленов любых степеней обозначается через P [x].

Определение. Будем говорить, что многочлен p(x) âèäà ( ) имеет коэффициент ai при степени xi äëÿ âñåõ i îò 0 äî n и коэффициент 0 при любой степени xi, ãäå i ≥

n + 1. Многочлены от x над полем P называются равными, если они имеют одинаковые коэффициенты при одинаковых степенях буквы x.

Таким образом, многочлены x è x2 над полем Z2 считаются различными (хотя и совпадают как функции от x Z2).

Рассмотрим два многочлена из множества P [x]:

p(x) = a0 + a1x + . . . + anp xnp , ai = 0 ïðè i ≥ np + 1,