От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

13.2Аффинные множества

Пусть x 6= y две точки в линейном пространстве V . Множество точек вида

l = {z = x + t(y − x), t R}

называется прямой, проходящей через точки x è y. Множество M V называется

аффинным множеством, если вместе с любыми двумя точками x 6= y оно содержит все точки проходящей через них прямой.

Утверждение. Линейные многообразия и только они являются аффинными множествами.

Доказательство. Пусть M = x0 + L линейное многообразие с направляющим пространством L и вектором сдвига x0. Пусть x = x0 + u, u L è y = x0 + v, v L. Тогда v − u L и поэтому x + t(y − x) = x0 + t(v − u) L для любых t.

Теперь предположим, что M аффинное множество. Зафиксируем точку и рассмотрим множество

L = {z V : z = x − x0, x M}.

Докажем, что L линейное подпространство. Во-первых, если z L, òî

Любое множество точек S содержится, конечно, в некотором аффинном множестве (например, в V ). Пусть M пересечение всех таких аффинных множеств. Ясно, что M будет тоже аффинным множеством, причем наименьшим аффинным множеством, содержащим S. Оно называется аффинной оболочкой множества S.

13.3Гиперплоскости

Пусть V вещественное линейное пространство размерности n. Любое линейное мно-

гообразие M = v0 + L V размерности n − 1 называется гиперплоскостью. Поскольку V изоморфно Rn, давайте считать, что V = Rn, и рассмотрим уравнение

относительно вещественных неизвестных x1, . . . , xn

где хотя бы одно из чисел ci отлично от нуля.

Утверждение 1. Множество всех векторов из Rn с координатами x1, . . . , xn, óäîâ- летворяющими уравнению ( ), есть гиперплоскость. Кроме того, любая гиперплоскость может быть задана как множество решений некоторого уравнения вида ( ).

Доказательство. Уравнение ( ) это частный случай системы линейных алгебра- ических уравнений, состоящей их одного уравнения. Матрица коэффициентов имеет

размеры 1 × n, и, поскольку не все ci равны нулю, ее ранг равен 1. Очевидно, система совместна. Обозначим через v1, . . . , vn−1 векторы фундаментальной системы решений, и пусть v0 произвольное частное решение. Тогда множество решений системы ( ) имеет вид v0 + L(v1, . . . , vn−1) и поэтому является гиперплоскостью.

Пусть M = v0 +L(v1, . . . , vn−1) произвольная гиперплоскость. Образуем n×(n−1)- матрицу B = [v1, . . . , vn−1] и рассмотрим уравнение

c1

B> . . . = 0. cn

Ранг матрицы коэффициентов равен n − 1 система имеет нетривиальное решение c = [c1, . . . , cn]>. Очевидно,

M = {x = v0 + Bz, z Rn−1}.

Умножив обе части равенства x = v0 + Bz слева на матрицу-строку c>, находим

c>x = c>v0 + (c>B)z = c>v0 c1x1 + . . . + cnxn = b, b = c>v0.

Остается заметить, что v0 есть частное решение полученной системы, а столбцы матрицы B образуют фундаментальную систему решений для соответствующей однородной системы. 2

Утверждение 2. Любое линейное многообразие размерности k является пересечением n − k гиперплоскостей.

Доказательство. Пусть данное многообразие имеет вид M = v0 +L(v1, . . . , vk). Тогда x M есть вектор вида x = v0 +Bz, ãäå B = [v1, . . . , vk], z Rk. Рассмотрим уравнение

B>y = 0.

Поскольку rankB = k, фундаментальная система решений содержит n − k векторов. Обозначим их через a1, . . . , an−1. Далее,

a>i x = a>i v0 + (a>i B)z = a>i v0.

Следовательно, x принадлежит пересечению гиперплоскостей

a>i x = bi, bi = a>i v0, 1 ≤ i ≤ n − k.

В то же время, пересечение этих гиперплоскостей есть линейное многообразие той же размерности. 2

Заметим, что системы гиперплоскостей, дающие в пересечении M, можно выбрать

многими способами. Из доказательства видно, что их столько, сколько имеется фундаментальных систем решений уравнения B>y = 0.

13.4Полупространства

Любая гиперплоскость π : c1x1 + . . . + cnxn = b (c>x = b) выделяет в Rn два подмно-

жества:

π− = {x : c>x ≤ b}, π+ = {x : c>x ≥ b}, π− ∩ π+ = π.

на одной прямой, представляет собой треугольник с вершинами в этих точках. Выпуклая оболочка четырех точек, не лежащих в одной плоскости, есть тетраэдр.

Утверждение 2. Пусть M выпуклое множество. Тогда вместе с любой системой точек M содержит целиком и их выпуклую оболочку.

Доказательство. Если t1 > 0, òî

Далее проводим индукцию по числу точек k. 2

Любое (в том числе и бесконечное) множество точек S содержится в некотором

выпуклом множестве (достаточно учесть, что любое аффинное множество является выпуклым). Пересечение всех таких множеств будет наименьшим выпуклым множест-

вом, содержащим S. Оно называется выпуклой оболочкой множества S. Легко видеть, что если S конечная система точек, то ее выпуклая оболочка совпадает с выпуклой оболочкой множества S.

Задача. Матрица A Rn×n называется двоякостохастической , если все ее элементы неотрицательны, а сумма элементов в каждой строке и каждом столбце равна 1. Доказать, что множество всех двоякостохастических матриц порядка n является выпуклым и найти все его угловые точки (так

называются точки множества, не являющиеся внутренними ни для одного отрезка, принадлежащего данному множеству).

Матрица e выполняет роль единичного элемента относительно операции умножения. Матрицу вида ae естественно отождествить с вещественным числом a. Тогда e = 1 · e отождествится с числом 1, а соотношение ( ) примет вид

z = a + bi,

и при этом, как легко проверить,

i2 = −1 (−1 отождествляется с матрицей −e).

Несложно проверить, что уравнение z2 = −1 имеет на множестве C в точности два решения z = ±i. Отсюда можно вывести, что любое квадратное уравнение с вещест-

венными коэффициентами имеет два (иногда совпадающих) решения из C. Мы скоро

увидим, что то же верно и для квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

Конечно, комплексные числа можно было бы ввести без использования матриц сказав, что это пары (a, b) вещественных чисел, для которых операции определяются правилами

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac − db, ad + bc).

Придется изменить лишь некоторые детали доказательства свойств (3)-(5).

Наш интерес к использованию матриц вида ( ) объясняется тем, что они позволи-

ли нам получить искомые абстрактные числа как уже знакомые объекты с хорошо изученными свойствами.

14.2Комплексная плоскость

Рассмотрим плоскость с декартовой системой координат. Пусть (a, b) точка (радиусвектор) с координатами a, b. Очевидно, (a, b) ↔ z = a + bi есть взаимно-однозначное

соответствие между точками (радиус-векторами) плоскости и комплексными числами. Плоскость, точки (радиус-векторы) которой используются для изображения комплекс-

ных чисел, называется комплексной плоскостью.

Рассмотрим комплексное число z = a + bi. Длина отвечающего ему радиус-вектора, равная √a2 + b2, называется модулем комплексного числа z и обозначается |z|. Óãîë φ

между радиус-вектором для z 6= 0 и положительным направлением первой оси (оси абсцисс), называется аргументом комплексного числа z. Обозначение: φ = arg z. Конечно, аргумент определен с точностью до слагаемого, кратного 2π.

Числу z = 0 можно приписать любое значение аргумента. Очевидно,

z = |z| (cos φ + i sin φ), φ = arg z.

Такая форма представления комплексного числа называется его тригонометрической

формой.

Заметим, что сумме комплексных чисел соответствует сумма соответствующих радиус-векторов. Отсюда получаем очень полезное неравенство (неравенство треугольника)

|u + v| ≤ |u| + |v| u, v C,

96 Лекция 14

комплексных чисел a, b нельзя получить равенство z¯ = a + bz, верное для всех z C. Докажите!

образует группу относительно композиции отображений.

Доказательство. Композиция отображений ΦΨ определяется следующим правилом: (ΦΨ)(z) = Φ(Ψ(z)). Пусть Φ(z) = a + bz è Ψ(z) = c + dz принадлежат T . Это означает, что |b| = |d| = 1. Тогда

Φ(Ψ(z)) = a + b(c + dz) = (c + bc) + (bd)z.

Поскольку |bd| = |b||d| = 1, данное отображение также принадлежит T . Роль единичного элемента выполняет тождественное отображение z → z, которое, очевидно,

если оно сохраняет расстояние между точками: |Φ(z1) − Φ(z2)| = |z1 − z2| z1, z2 C. Из наших предыдущих обсуждений понятно, что любое отображение из T является

композицией параллельных переносов, поворотов и симметричных отражений. Каждое из данных отображений специального вида является движением. Поэтому любое ото-

бражение из T есть движение. Верно и обратное это весьма примечательный факт,

дающий полное описание всех мыслимых движений (и требующий более обстоятельного доказательства, на котором мы не будем останавливаться).

Пример более сложного отображения: z → 1/z. Оно не определено при z = 0, но является взаимно-однозначным на множестве C\{0}. Часто к комплексной плоскости добавляется абстрактная бесконечно удаленная точка ∞, в результате чего появляется

расширенная комплексная плоскость C = C S{∞}. Тогда отображение z → 1/z можно превратить во взаимно-однозначное отображение на C, приняв соглашение о том, что 0

переходит в ∞, à ∞ переходит в 0. Отображение z → 1/z представляет собой частный случай так называемых дробно-линейных отображений вида

z → Φ(z) = a + bz , c + dz

ãäå a, b, c, d фиксированные комплексные числа, причем предполагается, что Φ(z) не является тождественной константой: ad − bc 6= 0.

Åñëè d = 0, то дробно-линейное отображение сводится к рассмотренному выше. Предположим, что d 6= 0. Тогда Φ(z) не определено при z = −c/d. Если условиться, что Φ(−c/d) = ∞ è Φ(∞) = −c/d,

òî Φ будет взаимно-однозначным отображением на расширенной комплексной плоскости. Дробно-

линейные отображения обладают рядом замечательных геометрических свойств (например, они переводят окружности и прямые в окружности или прямые докажите!) и играют важную роль в теории функций комплексного переменного.

Задача. Доказать, что дробно-линейное отображение