От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников

•базис в пространстве V определяется как любая линейно независимая система векторов, для которой V является линейной оболочкой; любые два базиса в V

содержат одинаковое число векторов; число векторов в базисе называется размерностью пространства V и обозначается dim V ;

•любую линейно независимую систему векторов из V можно достроить до базиса V ; более того, это можно сделать с помощью части векторов a1, . . . , an.

Доказательства этих предложений повторяют доказательства из Лекции 3 для частного случая линейных пространств когда под векторами подразумевались матрицыстолбцы.

11.5Подпространства линейного пространства

Непустое множество W V называется подпространством линейного пространства V ,

если оно само является линейным пространством относительно операций, действующих в V . Ясно, что для того чтобы W было подпространством, необходимо и достаточно,

чтобы для любых векторов a, b W и любого числа α имели место включения a+b W

è αa W .

Если векторы a1, . . . , an принадлежат подпространству W , òî L(a1, . . . , an) W.

ПРИМЕР. Рассмотрим множество V всех свободных векторов на плоскости с системой координат с началом в точке O. Поскольку каждый свободный вектор порождается

одним и только одним радиус-вектором, любое подмножество свободных векторов мож-

−→

но отождествлять с подмножеством радиус-векторов OA или их концов точек A. Множество V , очевидно, является линейным пространством. Любая прямая, прохо-

дящая через начало координат, является подпространством в V . В то же время, если l

прямая, не проходящая через начало координат, то она подпространством не является:

−→ −→ −→

пусть A, B l è OC = OA + OB; ÿñíî, ÷òî C / l.

Задача. Докажите, что линейное пространство Rn нельзя представить в виде объединения ко- нечного числа множеств, каждое из которых не совпадает с Rn и является его подпространством.

11.6Сумма и пересечение подпространств

Пусть P è Q подпространства линейного пространства V . Под суммой P + Q понимается множество всех векторов вида w = p + q, ãäå p P , q Q. Под пересечением P ∩ Q понимается обычное пересечение множеств.

Утверждение. Множества P + Q и P ∩ Q являются подпространствами в V .

Доказательство.

(1) Рассмотрим произвольную линейную комбинацию векторов w1, w2 P + Q. Ïî

определению множества P + Q, w1 = p1 + q1 è w2 = p1 + q2, ãäå p1, p2 P è q1, q2 Q. Тогда

α1w1 + α2w2 = (α1p1 + α2p2) + (α1q1 + α2q2) P + Q,

поскольку вектор в первой скобке принадлежит P , а вектор второй скобки принадлежит

Q (P è Q подпространства, поэтому они содержат все линейные комбинации своих векторов).

(2) Аналогично, рассмотрим линейную комбинацию векторов

αw1 + α2w2 P и одновременнно α1w1 + α2w2 Q

αw1 + α2w2 P ∩ Q. 2

Заметим, что любые два подпространства имеют непустое пересечение: каждое из них содержит, по крайней мере, нулевой вектор.

Теорема Грассмана. Пусть W1 è W2 конечномерные подпространства линейного пространства V . Тогда

dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2).

Доказательство. Рассмотрим базис g1, . . . , gr подпространства W1 ∩ W2 и дополним его сначала до базиса W1

Очевидно,

W1 + W2 = L(g1, . . . , gr, p1, . . . , pk, q1, . . . , qm).

Поэтому остается доказать линейную независимость векторов, порождающих данную линейную оболочку. Пусть

α1 g1 + . . . + αr gr + β1 p1 + . . . + βk pk + γ1 q1 + . . . + γm qm = 0.

Отсюда

α1 g1 + . . . + αr gr + β1 p1 + . . . + βk pk = −(γ1 q1 + . . . + γm qm) W1 ∩ W2.

Поскольку W1 ∩ W2 = L(g1, . . . , gr), для каких-то коэффициентов δ1, . . . , δr имеем

δ1 g1 + . . . + δr gr = −(γ1 q1 + . . . + γm qm).

Это равносильно равенству

δ1 g1 + . . . + δr gr + γ1 q1 + . . . + γm qm = 0

δ1 = . . . = δr = γ1 = . . . = γm = 0 α1 = . . . = αr = β1 = . . . = βm = 0. 2

Задача. Найдите размерность суммы подпространства n ×n-матриц с нулевой суммой элементов в каждой строке и подпространства n × n-матриц с нулевой суммой элементов в каждом столбце.

12.2Изоморфизм линейных пространств

Два вещественных линейных пространства V è W называются изоморфными, åñëè ñó-

ществует взаимно-однозначное отображение Φ : V → W , сохраняющее операции в следующем смысле:

Φ(a + b) = Φ(a) + Φ(b), Φ(α a) = α Φ(a) a, b V, α R.

Само отображение Φ называется при этом изоморфизмом.

Заметим, что операции сложения векторов и умножения на число в левой и правой частях данных равенств, вообще говоря, разные! Операции слева действуют в V , à îïå-

рации справа в W . Тем не менее, если установлено, что пространства изоморфны, то это означает их неразличимость с точки зрения свойств операций.

Утверждение. Φ(0) = 0, Φ(−a) = −Φ(a) a V .

Доказательство. Φ(0) = Φ(0 + 0) = Φ(0) + Φ(0). Прибавим к обеим частям вектор b = −Φ(a) (вектор, противоположный к Φ(a)):

0 = b + Φ(0) = (b + Φ(0)) + Φ(0) = 0 + Φ(0) = Φ(0) Φ(0) = 0. 2

На множестве всех вещественных линейных пространств изоморфизм порождает, очевидно, отношение эквивалентности. Важно, что исследования, выполненные для од-

ного пространства V , сразу же переносятся на любое изоморфное ему пространство. Например, векторы a1, . . . , an V линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы векторы Φ(a1), . . . , Φ(an).

Теорема. Любое вещественное линейное пространство V размерности n = dim V изоморфно Rn.

Доказательство. Выберем какой-нибудь базис a, . . . , an в пространстве V и определим отображение Φ следующим образом:

x1 Φ(v) = . . . ,

xn

ãäå x1, . . . , xn коэффициенты разложения вектора v по данному базису:

v = x1a1 + . . . + xnan.

Сохранение операций проверяется очевидным образом. 2

Следствие. Любые конечномерные вещественные пространства одинаковой размерности изоморфны.

12.3Пространство многочленов

Пусть Pn линейное пространство многочленов порядка n с вещественными коэффициентами. Докажем, что Pn изоморфно Rn.

Любой многочлен p(x) порядка n имеет вид

Поэтому кажется, что с определением изоморфизма Φ нет проблем:

p0

Φ(p(x)) = . . . . pn−1

Действительно, это отображение сохраняет операции. Но будет ли оно взаимнооднозначным?

Если под многочленом понимается формальное выражение âèäà ( ) è ïðè ýòîì ðà-

венство многочленов определяется как равенство всех коэффициентов при одинаковых степенях x, то взаимная однозначность очевидна.

Если же под многочленом понимается функция от x вида ( ), то равенство много-

членов определяется как равенство функций. В этом случае требуется доказать, что коэффициенты в представлении ( ) определяются по функции p(x) однозначно. Для

этого достаточно установить линейную независимость одночленов

x0, x1, . . . , xn−1

как функций от x.

Предположим от противного, что данные одночлены линейно зависимы. Поскольку это ненулевые функции, существует одна из них, линейно выражающаяся через предыдущие:

xk = α0 + α1x + . . . + αk−1xk−1.

Понятно, что такого быть не может, если эти функции рассматриваются как функции на всей оси (−∞, ∞): поделим обе части на xk и перейдем в обеих частях к пределу

ïðè x → ∞; слева получится 1, а справа 0.

Как быть, если эти функции рассматриваются на конечном отрезке, например, на [0, 1]? Предположим, что

p0 + p1x + . . . + pn−1xn−1 = 0 x [0, 1]. (#)

В этом случае можно поступить следующим образом. Выберем произвольные попарно различные числа x1 . . . , xn [0, 1]. Равенство (#) имеет место при всех x [0, 1], ïî-

этому мы имеем право рассмотреть его только для выбранных значений x = x1, . . . , xn:

Матрица такого вида называется транспонированной матрицей Вандермонда , à ìàò-

ðèöà A> матрицей Вандермонда порядка n для чисел x1, . . . , xn. Обозначение: A> =

V (x1, . . . , xn).

Утверждение. Определитель матрицы Вандермонда V (x1, . . . , xn) в случае попарно различных чисел x1, . . . xn равен

В случае, если для любого вектора w W1 + . . . + Wm в разложении

w = w1 + . . . + wm, w1 W1, . . . , wm Wm,

векторы w1 W1, . . . , wm Wm определяются однозначно, сумма данных подпрост-

ранств называется прямой суммой. Подпространства, сумма которых является прямой,

называются линейно независимыми.

Åñëè e1, . . . , en любая линейно независимая система векторов, то сумма их линейных оболочек

W = L(e1) + . . . + L(en)

является прямой суммой. Это наблюдение обобщается следующим образом.

Теорема. Пусть V конечномерное пространство и W1, . . . , Wm его подпрост- ранства. Сумма

W = W1 + . . . + Wn

является прямой суммой тогда и только тогда, когда объединение произвольно выбранных базисов для W1, . . . , Wm дает базис подпространства W .

Доказательство. Пусть W является прямой суммой. Предположим, что dim Wi = ni, и рассмотрим W1, . . . , Wm как линейные оболочки своих базисов:

Докажем, что объединение базисов образует базис в V . ßñíî, ÷òî W есть линейная оболочка объединения базисов:

W = L(v11, . . . , vn11, . . . , v1m, . . . , vnmm).

Поэтому остается лишь убедиться в линейной независимости векторов объединения базисов. Пусть w произвольная линейная комбинация этих векторов. Запишем w

âèäå w = w1 + . . . + wm, ãäå wi Wi, i = 1, . . . , m. Åñëè w = 0, то в силу единственности векторов w1 W1, . . . , wm Wm данного разложения получаем w1 = . . . = wm = 0. Отсюда следует, что все коэффициенты в разложении w = 0 по объединенной системе

v11, . . . , vn11, . . . , v1m, . . . , vnmm равны нулю.

Пусть теперь объединение базисов подпространств W1, . . . , Wm дает базис W . Единственность разложения вектора по базису означает единственность векторов

w1 W1, . . . , wm Wm в разложении w = w1 + . . . + wm. 2

Задача. Докажите, что пространство матриц Rn×n является прямой суммой подпространств симметричных матриц (таких, что A> = A) и кососимметричных матриц (таких, что A> = −A).

12.5Дополнительные пространства и проекции

Если линейное пространство V явлется прямой суммой своих подпространств

L + M = V,

òî M называется дополнительным пространством äëÿ L. В силу симметрии суммы очевидно, что L является дополнительным для M.

В таких случаях для любого вектора v V существует единственное разложение

v = x + y, ãäå x L, y M.

Далее, в матрице A базисными являются, например, столбцы с номерами 1, 4. Поэтому в качестве базисных можно выбрать неизвестные x1, x4; остальные неизвестные x2, x3, x5 будут свободными:

В матрице B базисными являются, например, столбцы с номерами 1, 3, 5. Неизвестные x1, x3, x5 базисные, а неизвестные x2, x4 свободные:

Простое вычисление показывает, что rank C = 4, а базисными являются, например,

Конечно, для поиска пересечения в данном случае можно также заметить, что вектор

86 Лекция 12

В общем случае вычисление пересечения подпространств

\

W = L(a1, . . . , ak) L(b1, . . . , bm)

сводится к решению однородной системы линейных алгебраических уравнений

x1a1 + . . . + xkak + y1b1 + . . . + ymbm = 0 ( )

ñнеизвестными x1, . . . , xk, y1, . . . , ym. Из равенства ( ) ÿñíî, ÷òî

v = x1a1 + . . . + xkak = −(y1b1 + . . . + ymbm) W.

Пусть r = rank[a1, . . . , ak, b1, . . . , bm]. Тогда фундаментальная система векторов для ( ) состоит из k + m − r векторов вида

где компоненты s1j, . . . , skj соответствуют неизвестным x1, . . . , xk. После того, как фун- даментальная система построена, получаем

W = L(v1, . . . , vk+m−r), vj = s1j a1 + . . . + skj ak, j = 1, . . . , k + m − r.

Предположим, что

dim L(a1, . . . , ak) = k, L(b1, . . . , bm) = m.

Тогда в силу теоремы Грассмана dim W = k + m − r, поэтому векторы v1, . . . , vk+m−r будут линейно независимы.