От Пантелеева / Книги студентам / лИТЕРАТУРА / Тартышников
.pdfЕ. Е. Тыртышников
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ
è
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Москва 2004 2005
Оглавление
Предисловие |
1 |
|
Лекция 1 |
|
5 |
1.1 |
Линейные отображения и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
1.2 |
Умножение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
1.3 |
Ассоциативность умножения матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
1.4 |
Некоммутативность умножения матриц . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
1.5 |
Сложение матриц и умножение на число . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
1.6 |
Умножение блочных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
1.7 |
Вычислительный аспект умножения матриц . . . . . . . . . . . . . |
7 |
1.8 |
Хороша ли программа? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
1.9 |
Метод Винограда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
1.10 |
Метод Штрассена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
1.11 Рекурсия для n × n-матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
|
Лекция 2 |
|
11 |
2.1Множества и элементы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2Отображения, функции, операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3Алгебраические операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 |
Ассоциативность и скобки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 |
2.5Ассоциативность при умножении матриц . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6Группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7Примеры абелевых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8Группа невырожденных диагональных матриц . . . . . . . . . . . 14
2.9Группа невырожденных треугольных матриц . . . . . . . . . . . . 14
2.10Подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.11 |
Степени элемента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
2.12 |
Циклические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
Лекция 3 |
|
17 |
3.1Система линейных алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . 17
3.2 |
Линейные комбинации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
3.3 |
Линейная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
3.4Линейная независимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5Транзитивность линейной зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.6Монотонность числа линейно независимых векторов . . . . . . . . 19
3.7Базис и размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.8Дополнение до базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.9Существование базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
i
ii |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
3.10 |
Совместность системы линейных алгебраических уравнений . . . 21 |
Лекция 4 |
23 |
4.1Индикатор линейной зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2Подстановки и перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3Циклы и транспозиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4Четность подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5Единственность индикатора линейной зависимости . . . . . . . . . 27
4.6 |
Определитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |
Лекция 5 |
29 |
5.1Определитель транспонированной матрицы . . . . . . . . . . . . . 29
5.2Определитель как функция столбцов (строк) матрицы . . . . . . . 29
5.3Существование индикатора линейной зависимости . . . . . . . . . 31
5.4Подматрицы и миноры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5 |
Замечание о подстановках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |
5.6Разбиение множества подстановок на подмножества . . . . . . . . 32
5.7Теорема Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.8Определитель блочно-треугольной матрицы . . . . . . . . . . . . . 34
Лекция 6 |
35 |
6.1Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2Критерий обратимости матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.3Обращение и транспонирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.4Группа обратимых матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.5Обращение невырожденной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.6Правило Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.7Определитель произведения матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.8Обратимость и невырожденность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Лекция 7 |
41 |
7.1Разделение переменных и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 |
Скелетное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
41 |
7.3 |
Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
7.4 |
Окаймление обратимой подматрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
7.5Теорема о базисном миноре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.6 |
Ранги и матричные операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |
7.7Однородная система линейных алгебраических уравнений . . . . . 45
7.8Теорема Кронекера Капелли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.9Общее решение системы линейных алгебраических уравнений . . 47
7.10Неустойчивость ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Лекция 8 |
49 |
8.1Исключение неизвестных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.2Элементарные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.3 |
Ступенчатые матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 |
8.4Приведение к ступенчатой форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.5Приведение к диагональной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.6Эквивалентные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Е. Е. Тыртышников |
iii |
|
|
8.7 Метод Гаусса и LU-разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
53 |
8.8LU-разложение и строго регулярные матрицы . . . . . . . . . . . . 54
Лекция 9 |
55 |
9.1Метод координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2 |
Направленные отрезки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 |
9.3Отношение эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.4Свободный вектор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.5Линейные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.6 |
Координаты вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 |
9.7Изоморфизм и линейная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.8Коллинеарные и компланарные векторы . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.9Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.10 Плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.11Преобразование координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.12Полуплоскости и полупространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Лекция 10 |
65 |
10.1Скалярное произведение геометрических векторов . . . . . . . . . 65
10.2Скалярное произведение и координаты . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.3Об обобщениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
10.4Ориентация системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.5Векторное и смешанное произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.6Векторное произведение в декартовых координатах . . . . . . . . . 69
10.7Смешанное произведение в декартовых координатах . . . . . . . . 69
10.8 Нормали к прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.9Расстояние от точки до прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . 70
10.10Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.11Критерии параллельности вектора прямой и плоскости . . . . . . 71
Лекция 11 |
73 |
11.1Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.2 Примеры бесконечномерных линейных пространств . . . . . . . . 74
11.3Примеры конечномерных линейных пространств . . . . . . . . . . 75
11.4Базис и размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.5Подпространства линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . 77
11.6Сумма и пересечение подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Лекция 12 |
79 |
12.1Разложение по базису . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12.2Изоморфизм линейных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12.3Пространство многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12.4Прямая сумма подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
12.5Дополнительные пространства и проекции . . . . . . . . . . . . . . 83
12.6 Вычисление подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
iv |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|
|
|
Лекция 13 |
|
|
87 |
13.1 |
Линейные многообразия |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
87 |
13.2 |
Аффинные множества . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
88 |
13.3 |
Гиперплоскости . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
88 |
13.4Полупространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
13.5Выпуклые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Лекция 14 |
93 |
14.1Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
14.2Комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
14.3Преобразования плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
14.4Корни из единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
14.5Группа корней степени n из единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
14.6Матрицы с комплексными элементами . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Лекция 15 |
99 |
15.1Кольца и поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
15.2Делители нуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
15.3 Кольцо вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15.4Вложения и изоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.5Число элементов в конечном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
15.6Поле частных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Лекция 16 |
105 |
16.1 |
Линейные пространства над полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 |
16.2Многочлены над полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
16.3Кольцо многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
16.4 Деление с остатком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
16.5Наибольший общий делитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
16.6Значения многочлена и корни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
16.7Присоединение корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Лекция 17 |
113 |
17.1 |
Комплексные многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 |
17.2Последовательности комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . 113
17.3Непрерывные функции на комплексной плоскости . . . . . . . . . 114
17.4Свойства модуля многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
17.5Основная теорема алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
17.6Разложение комплексных многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . 116
17.7 |
Разложение вещественных многочленов . . . . . . . . . . . . . . . |
117 |
Лекция 18 |
|
119 |
18.1 |
Формулы Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
119 |
18.2Многочлены от n переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
18.3Лексикографическое упорядочение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
18.4Симметрические многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
18.5Ньютоновы суммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Е. Е. Тыртышников |
v |
|
|
Лекция 19 |
123 |
19.1Алгебраические многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
19.2Квадратичные многочлены от двух переменных . . . . . . . . . . . 123
19.3Поворот декартовой системы координат . . . . . . . . . . . . . . . 124
19.4Сдвиг декартовой системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
19.5 Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
19.6Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
19.7Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Лекция 20 |
131 |
20.1Квадратичные многочлены от трех переменных . . . . . . . . . . . 131
20.2 Декартовы системы и ортогональные матрицы . . . . . . . . . . . 131
20.3Метод вращений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
20.4Вложенные подпоследовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
20.5Диагонализация в пределе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
20.6Диагонализация вещественных симметричных матриц . . . . . . . 135
Лекция 21 |
137 |
21.1Приведенные уравнения поверхности второго порядка . . . . . . . 137
21.2 Эллипсоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
21.3Однополостный гиперболоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
21.4 Линейчатая поверхность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
21.5Двуполостный гиперболоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
21.6Эллиптический конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
21.7Эллиптический параболоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
21.8 |
Гиперболический параболоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
140 |
21.9 |
Цилиндрические поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
141 |
Лекция 22 |
|
143 |
22.1 |
Нормированное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
143 |
22.2 |
Выпуклые функции и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
143 |
22.3Неравенства Гельдера и Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
22.4Нормы Гельдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
22.5Зачем нужны нормы? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
22.6 Нормы в бесконечномерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . 147
22.7Метрическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
22.8 |
Пределы и полнота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 |
Лекция 23 |
149 |
23.1Множества в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . 149
23.2Компактность и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
23.3Компактность единичной сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
23.4 Эквивалентные нормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
23.5Компактность замкнутых ограниченных множеств . . . . . . . . . 152
23.6Наилучшие приближения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
vi |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|
|
|
Лекция 24 |
|
|
155 |
24.1 |
Евклидово пространство |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
155 |
24.2 |
Унитарное пространство |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
155 |
24.3Билинейные и полуторалинейные формы . . . . . . . . . . . . . . . 156
24.4Длина вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
24.5Тождество параллелограмма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
24.6Ортогональность векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
24.7Ортогональность множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
24.8Ортогональная сумма подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Лекция 25 |
163 |
25.1 |
Матрица Грама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 |
25.2Скалярное произведение в конечномерном пространстве . . . . . . 164
25.3Перпендикуляр и проекция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
25.4 Ортогональные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
25.5Процесс ортогонализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
25.6 Дополнение до ортогонального базиса . . . . . . . . . . . . . . . . 167
25.7Биортогональные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
25.8QR-разложение матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Лекция 26 |
171 |
26.1 |
Линейные функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 |
26.2Сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
26.3 Примеры линейных функционалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
26.4Размерность дополнительного пространства . . . . . . . . . . . . . 173
26.5Линейные функционалы и гиперплоскости . . . . . . . . . . . . . . 173
26.6Опорные гиперплоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Лекция 27 |
177 |
27.1 |
Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 |
27.2Непрерывность и ограниченность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
27.3Операторная норма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
27.4Матричная норма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
27.5Норма Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
27.6Сохранение норм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
27.7Унитарно инвариантные нормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
27.8 |
Сингулярное разложение матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 |
Лекция 28 |
185 |
28.1Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
28.2Произведение линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
28.3Переход к другим базисам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
28.4 Преобразование подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
28.5Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
28.6 Ядро и образ линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
28.7Обратный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
28.8Ортогональные дополнения ядра и образа . . . . . . . . . . . . . . 190
Е. Е. Тыртышников |
vii |
|
|
Лекция 29 |
193 |
29.1Диагонализуемые матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
29.2Собственные значения и собственные векторы . . . . . . . . . . . . 194
29.3 |
Собственные векторы для различных собственных значений . . . |
195 |
29.4 |
Характеристическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
195 |
29.5Алгебраическая кратность собственного значения . . . . . . . . . . 196
29.6Характеристический многочлен и подобие . . . . . . . . . . . . . . 196
29.7Приведение к почти треугольной матрице . . . . . . . . . . . . . . 196
29.8Матрицы Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
29.9Вычисление характеристического многочлена . . . . . . . . . . . . 198
Лекция 30 |
199 |
30.1 |
Одномерные инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . 199 |
30.2Геометрическая кратность собственного значения . . . . . . . . . . 199
30.3Матричное выражение инвариантности . . . . . . . . . . . . . . . . 200
30.4 Сужение оператора на подпространство . . . . . . . . . . . . . . . 200
30.5Инвариантные пространства и сдвиги . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
30.6 Треугольная форма матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
30.7Спектральный радиус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
30.8Теорема Шура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
30.9Делители и подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Лекция 31 |
205 |
31.1Многочлены от матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
31.2Корневые пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
31.3Нильпотентные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
31.4Корневое разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
31.5Блочно диагональная форма матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . 207
31.6Теорема Гамильтона Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Лекция 32 |
209 |
32.1Минимальное инвариантное подпространство . . . . . . . . . . . . 209
32.2 Жордановы цепочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
32.3Жорданова форма матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
32.4Индекс собственного значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
32.5Жорданов базис в корневом пространстве . . . . . . . . . . . . . . 211
32.6 Существование и единственность жордановой формы . . . . . . . 212
32.7Инвариантные подпространства для вещественных матриц . . . . 213
32.8Вещественный аналог жордановой формы . . . . . . . . . . . . . . 213
32.9Вычисление жордановой формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Лекция 33 |
217 |
33.1Нормальные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
33.2Унитарные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
33.3 Матрицы отражения и вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
33.4Эрмитовы матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
33.5Эрмитово разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
33.6Неотрицательная и положительная определенность . . . . . . . . . 220
33.7Квадратный корень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
viii |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
33.8Блочно диагональная форма вещественной нормальной матрицы . 221
33.9Блочно диагональная форма ортогональной матрицы . . . . . . . 221
Лекция 34 |
|
223 |
34.1 |
Матрица Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
223 |
34.2 |
Циркулянтные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
224 |
34.3Алгебры матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
34.4Одновременное приведение к треугольному виду . . . . . . . . . . 226
34.5Быстрое преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Лекция 35 |
229 |
35.1Сингулярные числа и сингулярные векторы . . . . . . . . . . . . . 229
35.2Полярное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
35.3Выводы из сингулярного разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
35.4Сингулярное разложение и решение систем . . . . . . . . . . . . . 231
35.5Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
35.6Псевдообратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
35.7 Наилучшие аппроксимации с понижением ранга . . . . . . . . . . 233
35.8Расстояние до множества вырожденных матриц . . . . . . . . . . . 234
Лекция 36 |
235 |
36.1Квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
36.2 Конгруэнтность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
36.3Канонический вид квадратичной формы . . . . . . . . . . . . . . . 236
36.4Закон инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
36.5 Эрмитова конгруэнтность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
36.6Канонический вид пары квадратичных форм . . . . . . . . . . . . 237
36.7Метод Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
36.8Метод квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
36.9Критерий положительной определенности . . . . . . . . . . . . . . 241
Лекция 37 |
243 |
37.1Разделение собственных значений эрмитовой матрицы . . . . . . . 243
37.2 Вариационные свойства собственных значений . . . . . . . . . . . 244
37.3Соотношения разделения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
37.4Критерий неотрицательной определенности . . . . . . . . . . . . . 246
37.5Вариационные свойства сингулярных чисел . . . . . . . . . . . . . 248
37.6 |
Разделение сингулярных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 |
Лекция 38 |
249 |
38.1Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
38.2Матрица сопряженного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
38.3Нормальный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
38.4Самосопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
38.5Минимизация на подпространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
38.6Метод сопряженных градиентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
38.7Двучленные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253