13. Дополнение множеств |
51 |
ла. По существу, символы , , , I, U являются лишь стенографи- ческими знаками (и к тому же общепринятыми в математике) для сокращения и упрощения записи.
Более того, использование указанных терминов и знаков роднит геометрию и алгебру, показывает единство математики, общность ее методов и терминологии.
Задачи и упражнения
26. Докажите, что для конечных множеств справедливо равенство
|А U В U C| = |А| + |В| + |C| − |А I В| − |А I C| − |B I C| + |А I В I C|.
27. На плоскости даны три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Эти точки являются серединами трех сторон некоторого выпуклого четырех- угольника. Укажите множество точек, в которых может лежать середина четвертой стороны. Укажите множество точек, в которых могут лежать вершины этого четырехугольника.
28. Даны три точки A, B и C. Через точку C проводятся всевозможные прямые. Опишите множество проекций отрезка AB на эти прямые.
29. Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый десятый — математик. Кого больше — философов или математиков?
30. Докажите, что если А I В = C, то (А I В) U C = (А U В) I C.
13. Дополнение множеств
Прежде чем переходить к рассмотрению следующей операции, укажем один «парадокс» теории множеств; его обнаружил известный английский математик Бертран Рассел.
Как правило, множества не содержат себя в качестве элемента. Например, множество A всех целых чисел содержит в качестве эле- ментов только целые числа; так как само A не есть целое число, а есть множество целых чисел, то A себя в качестве элемента не содер- жит. Условимся называть такие множества «ординарными». Но могут существовать и такие множества, которые содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим, например, множество S, определенное следу- ющим образом: «S содержит в качестве элементов все множества, которые можно определить посредством предложения, содержащего меньше двадцати слов». Так как само множество S определяется предложением, содержащим менее двадцати слов, то выходит, что оно является элементом множества S. Такие множества назовем «экстраординарными». Как бы то ни было, большинство множеств
— ординарные; попробуем не иметь дела с дурно ведущими себя экстраординарными множествами и будем рассматривать только мно-
жество всех ординарных множеств. Обозначим его буквой C. Каж-
дый элемент множества C представляет собой множество, притом ординарное множество. Но вот возникает вопрос: а само множество C — ординарное или экстраординарное? Несомненно, оно должно быть или тем, или другим. Если C — ординарное множество, то оно содержит себя в качестве элемента, так как C определено как множе- ство всех ординарных множеств. Раз дело обстоит так, значит C — экстраординарное множество, так как экстраординарными согласно определению названы множества, содержащие себя в качестве элемен-
52 |
Беседа 3. Операции над множествами |
та. Получается противоречие. Значит, C должно быть экстраординар- ным множеством. Но тогда множество C содержит себя в качестве элемента; так как C есть экстраординарное множество, это противо- речит определению C как множества всех ординарных множеств. Итак, мы видим, что уже одно только допущение существования множества C внутренне противоречиво.
Описанный выше парадокс Рассела — не единственный, обнару- женный в теории множеств. Эти парадоксы несколько обескуражили математиков, находившихся после успехов, достигнутых Г. Канто- ром, в состоянии некоторой эйфории. Как же избежать этих противо- речий? Очевидно, нужно ограничиваться рассмотрением лишь таких множеств, которые определены четко и без противоречий (вспомните парикмахера в п. 7). Выход был найден в том, что в каждом случае, при каждом рассуждении рассматривается некоторое фиксированное корректно определенное множество U, называемое универсальным множеством, и изучению подлежат только элементы (и подмножест- ва) этого универсального множества. Если рассуждение не выходит за эти пределы, оно не приводит к противоречию. В беседе 13 мы еще вернемся к вопросу о противоречивости и непротиворечивости, а пока ограничимся сказанным.
Возьмем, например, следующее рассуждение Кантора, которое произвело на математиков весьма сильное впечатление. Алгебраичес- ких чисел, т. е. чисел, являющихся корнями алгебраических уравне- ний с рациональными коэффициентами, имеется лишь счетное мно- жество (см. задачу 15). В то же время множество всех действительных чисел несчетно. Значит, кроме алгебраических чисел существуют дей- ствительные числа, не являющиеся алгебраическими; их называют трансцендентными. Более того, трансцендентных чисел существенно больше, чем алгебраических: мощность множества всех трансцендент- ных чисел равна 
. До того времени математики нашли лишь очень немного трансцендентных чисел, да и это было связано с существен- ными трудностями. Кантор же подарил математическому миру целый континуум трансцендентных чисел! Но корректно ли это канторов- ское рассуждение, нет ли в нем противоречия? Безусловно корректно, поскольку можно взять в качестве U множество всех действительных чисел, а все рассуждения Кантора о несчетности (и применение к трансцендентным числам) проводятся только внутри этого универ- сального множества, не выходя за его пределы.
Теперь можно перейти к рассмотрению следующей операции над множествами. Будем предполагать, что фиксировано некоторое уни- версальное множество U. В дальнейшей части этого пункта слово «множество» будет означать некоторое подмножество этого универ- сального множества U. Для любого множества A условимся через cA обозначать дополнение множества A, т. е. множество всех элемен-
тов x U, не принадлежащих множеству A (обозначение cA происхо- дит от английского слова complement — дополнение).
13. Дополнение множеств |
53 |
|
|
Рис. 68 |
Рис. 69 |
В планиметрии (т. е. геометрии на плоскости) целесообразно взять всю плоскость U в качестве универсального множества, по- скольку любая фигура, изучаемая в планиметрии, расположена в этой плоскости, т. е. является подмножеством универсального множе- ства U. Например, если A — круг, то cA есть внешность этого круга (рис. 68), т. е. то, что остается, если «вырезать» круг A из плоскости U. При этом, если круг A рассматривается замкнутым, т. е. содержа- щим все точки ограничивающей его окружности, то его дополнение cA будет открытым множеством, т. е. ни одна точка этой окружности множеству cA не принадлежит. Далее, при решении уравнений (и при рассмотрении ряда других алгебраических вопросов) в качестве уни- версального множества целесообразно принять множество R всех действительных чисел. (Впрочем, в некоторых случаях, которые мы в этой беседе не рассматриваем, в качестве универсального множества удобно принять множество всех комплексных чисел.) Например, мно- жество M, дающее решение неравенства (6) (см. (7)), имеет своим дополнением cM множество всех решений противоположного нера-
венства x2 + x − 6 < 0. Это множество (рис. 69) представляет собой интервал (−3; 2); концевые точки x = −3 и x = 2 ему не принадлежат (поскольку они принадлежат множеству M). Ограничимся этими при- мерами, достаточно ясно показывающими, что такое дополнительное множество.
Теперь мы рассмотрим еще одну операцию, выражающуюся через рассмотренные ранее. Пусть A и B — два множества. Их разность A \ B состоит из всех тех элементов множества A, которые не принад- лежат B (заштрихованное множество на рис. 70). Таким образом,
разность A \ B содержит все элементы x, для которых x A, x B, или, что то же самое, все элементы x, для которых x A и, в то же время, x cB. Иначе говоря, разность A \ B есть пересечение мно- жеств A и cB: А \ В = А I сВ.
Рис. 70 |
Рис. 71 |
|
54 |
Беседа 3. Операции над множествами |
Например, для любого множества A справедливо соотношение
U\ A = сA.
Адиаграмма Эйлера–Венна, приведенная на рис. 71, показывает, что справедливо соотношение
(А \ В) U (B \ A) = (А U В) \ (А I В).
Для любых трех множеств A, B, C справедливы соотношения
дистрибутивности:
А I (В U C) = (А I В) U (А I C), А U (В I C) = (А U В) I (А U C) (9)
и соотношения двойственности: |
|
c(А I В) = (cA) U (cB), c(А U В) = (cA) I (cB). |
(10) |
Диаграммы, приведенные на рис. 72 – 74, иллюстрируют первое из соотношений дистрибутивности, а рис. 75 – 77 — первое соотношение двойственности. Не приводя аналогичные диаграммы для вторых со- отношений (9) и (10) (читатель может изобразить их самостоятельно), мы дадим лишь жизненные примеры, иллюстрирующие их.
Во вторник в одном классе проходило занятие физического круж- ка. В нем принимали участие все мальчики этого класса, а также все интересующиеся физикой девочки. В среду в этом же классе прохо- дило занятие химического кружка, где присутствовали все мальчики и интересующиеся химией девочки. Таким образом, обозначая через A множество всех мальчиков этого класса, через B — множество девочек, интересующихся физикой, а через C — множество девочек, интересующихся химией, мы заключаем, что во вторник присутство- вало множество учащихся А U В, а в среду А U C.
Рис. 72 |
Рис. 73 |
Рис. 74 |
Рис. 75 |
Рис. 76 |
Рис. 77 |
13. Дополнение множеств |
55 |
Кто же из учеников присутствовал на заседаниях обоих кружков? Ясно, что это были все мальчики, а также все девочки, одновременно
интересующиеся и физикой, и химией: А U (В I C). С другой стороны, так как во вторник присутствовало множество учащихся А U В, а в среду А U C, то на заседания обоих кружков присутствовало множе-
ство учащихся (А U В) I (А U C). Таким образом, одно и то же мно- жество учащихся может быть записано двумя способами — в полном соответствии со вторым соотношением дистрибутивности.
Второй пример также возьмем из области кружковой работы. В одном классе работали фотокружок и кружок рисования. Обозна- чим через A множество участников первого кружка, а через B — второго. Были учащиеся, которые принимали участие в работе обоих кружков, а были и такие, которые не посещали ни один кружок. Охарактеризуем множество учащихся, не работавших ни в одном из этих кружков. Для этого в качестве универсального множества U возьмем множество всех учеников класса. Тогда А U В есть множество учеников, работавших хотя бы в одном кружке, а его дополнение
с(А U В) как раз и есть множество учащихся, не посещавших ни один из кружков. С другой стороны, сА есть множество учащихся, не посещавших первый кружок, а сВ — не посещавших второй. Значит, их пересечение (сА) I (cВ) представляет собой множество учащихся, не посещавших ни один из кружков. Это дает два способа записи одного и того же множества — в соответствии со вторым соотноше- нием (10).
Заметим в заключение, что соотношения дистрибутивности и двойственности справедливы и для большего числа множеств. Напри- мер, первое соотношение (9) обобщается следующим образом:
А I (В1 U B2 U ... U Bk) = (А I В1) U (А I B2) U ... U (А I Bk).
Читателю предлагается самостоятельно найти «кружковую» иллю- страцию этого соотношения и других обобщений равенств (9) и (10).
Задачи и упражнения
31. В классе 40% мальчиков. Математический кружок посещают 40% учеников, при этом 40% участников математического кружка составляют девочки. Какая часть мальчиков посещает математический кружок?
32. Докажите, что (cА) I (сВ) I (сC) = c(A U B U C).
33. Учитель задал на уроке замысловатую задачу. В результате количе- ство мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше — решивших задачу или девочек?
34. На шахматном турнире каждый участник выиграл белыми фигурами столько же партий, сколько все остальные — черными. Докажите, что все участники выиграли одинаковое количество партий.
35. Из 100 студентов колледжа 28 изучают английский язык, 42 — французский, 30 — немецкий, 8 — английский и немецкий, 10 — английский и французский, 5 — немецкий и французский, 3 — все три языка. Сколько студентов не изучает ни одного языка? Сколько студентов изучает только французский язык?