12. Объединение множеств |
45 |
Задачи и упражнения
21. Опишите множество, являющееся пересечением множества четных чисел и множества чисел, делящихся на 5.
22. Опишите множество четырехугольников, являющихся одновременно прямоугольниками и ромбами.
23. В Монреале 80% жителей знают французский язык и 70% — англий- ский. Сколько процентов жителей знают оба языка, если каждый житель знает хотя бы один из этих языков?
24. Дан куб. Проведите плоскость так, чтобы ее пересечение с кубом было правильным шестиугольником.
25. Сколько корней имеет уравнение: 10 sin x = x?
12. Объединение множеств
Все элементы множества A и все элементы множества B, взятые вместе, составляют объединение множеств A и B. Оно обозначается через А U В. Диаграмма Эйлера–Венна, приведенная на рис. 55, по- казывает взаимоотношение между множествами A, B, их пересечени- ем и объединением. Двойной штриховкой обозначено пересечение множеств A и B, а вся заштрихованная фигура (хотя бы одной штри- ховкой) — их объединение. Чтобы получить объединение А U В, можно взять все элементы множества A и добавить к ним те элементы множества B, которые в A не входят (или наоборот: взять все элемен- ты множества B и добавить к ним те элементы множества A, которые в B не входят). Из сказанного ясно, что пересечение множеств A и
B содержится в их объединении: А I В А U В.
Для любого элемента множества А U В имеются три возможно- сти:
1) либо взятый элемент принадлежит A, но не принадлежит B (элемент x на рис. 55);
2)либо же взятый элемент принадлежит B, но не принадлежит A (элемент y на рис. 55);
3)либо же, наконец, взятый элемент принадлежит каждому из множеств A и B, т. е. принадлежит их пересечению (элемент z на рис. 55).
Несомненно, представление об объединении двух непересекаю- щихся множеств (скажем, соединение двух отдельных «кучек» пред- метов в одну общую «кучку») предшествовало возникновению поня- тия о сумме двух чисел. Если два конечные множества A и B не пересекаются (т. е. не имеют общих элементов), причем первое из них содержит a элементов, а второе содержит b элементов, то множество
Рис. 55 |
Рис. 56 |
46 |
Беседа 3. Операции над множествами |
А U В содержит a + b элементов (рис. 56). При этом «смешивание в одну кучку» не зависит от того, в каком порядке мы берем «кучки» A и B, т. е.
А U В = B U A
и, в соответствии с этим, сумма чисел не зависит от порядка слагае- мых:
a + b = b + a. |
(1) |
Разумеется, это не есть «доказательство» коммутативного свой- ства сложения, выражаемого равенством (1), а лишь пояснение. Под- меченное при смешивании «кучек», содержащих небольшое число реальных предметов, коммутативное свойство сложения («от переста- новки слагаемых сумма не изменяется») было впоследствии сформу- лировано, как общее свойство сложения натуральных чисел. Форму- лировка этого свойства, выражаемая равенством (1), есть результат многовековой практики человечества и сложного процесса абстрак- ции.
Таким образом, в теории натуральных чисел коммутативность сложения фактически применяется без доказательства, т. е. является аксиомой. Согласно довольно распространенному мнению, аксиома- ми называются истины, принимаемые в рассматриваемой теории без доказательства «ввиду их очевидности». Однако математики придер- живаются несколько иного взгляда. Ведь то, что кажется «очевид- ным» одному человеку, может быть вовсе не «очевидным» другому. И даже для одного индивидуума ощущение «очевидности» может меняться в процессе его интеллектуального развития и приобретения знаний. Правильнее будет сказать, что аксиомы — это первоначальные (и именно поэтому не доказываемые) утверждения, лежащие в основе рассматриваемой теории и служащие для вывода (доказательства) дальнейших ее утверждений, называемых теоремами. Что же касается «очевидности» аксиом, их «простоты» и, может быть, «априорности», то эти вопросы в самой теории не рассматриваются; они связаны с историей развития науки (вскрывающей происхождение аксиом) и с пояснением наглядного смысла аксиом в процессе изучения или пре- подавания теории. Об аксиомах и о доказательствах теорем мы еще будем иметь случай поговорить в дальнейших беседах, а сейчас вер- немся к операции объединения множеств.
Рассмотрим вопрос о мощности объединения множеств. Для удобства условимся обозначать мощность множества A симво- лом |A|. Как мы отмечали выше, для конечных множеств A, B, не имеющих общих элементов, справедливо равенство
|А U В| = |А| + |В|. |
(2) |
Посмотрим, как видоизменяется это соотношение в случае, когда пе- ресечение А I В непусто, а также в случае, когда хотя бы одно из
12. Объединение множеств |
47 |
множеств A, B бесконечно. Нетрудно доказать, что для конечных множеств при А I В ≠ соотношение (2) заменяется следующим:
|А U В| = |А| + |В| − |А I В|. |
(3) |
Иными словами, если множество A содержит a элементов, мно- жество B содержит b элементов, а их пересечение А I В содержит p
элементов, то число элементов множества А U В равно a + b − p. В самом деле, пересчитав все элементы множества A, а затем все элементы множества B, мы насчитаем a + b элементов, но при этом каждый из p элементов, входящих в пересечение А I В, засчитаем дважды, тогда как в множестве А U В каждый из них следует засчи- тывать лишь один раз. В качестве упражнения рекомендуем читате- лю написать формулу, аналогичную (3), для объединения А U В U C трех конечных множеств.
Обратимся теперь к случаю, когда хотя бы одно из множеств A, B бесконечно. В этом случае формула (2) существенно изменяется. Именно, если мощность множества A не меньше мощности множества
B, т. е. |A| ≥ |B|, причем множество A бесконечно, то независимо от того, имеют ли A и B общие элементы, справедливо равенство
|А U В| = |А|. |
(4) |
В частности, по аналогии с равенством (2) можно написать следую- щие соотношения:
0 + n = 0,0 + 0 = 0,
+ n = 
,
+ 0 = 
,
+ 
= 
,
в которых через n обозначена любая конечная мощность (т. е. нату- ральное число). Например, второе из этих соотношений означает, что объединение двух счетных множеств также является счетным множе- ством. В самом деле, если
A = {a1, a2, a3, ...}, B = {b1, b2, b3, ...},
то, «перемешав» элементы этих множеств, мы запишем их объедине- ние в виде
A U B = {a1, b1, a2, b2, a3, b3, ...}
(не обращая внимания на то, что в правой части могут встречаться повторяющиеся элементы), откуда видно, что элементы множества
48 |
Беседа 3. Операции над множествами |
|
|
Рис. 57 |
Рис. 58 |
Рис. 59 |
Рис. 60 |
A U B можно перенумеровать натуральными числами, т. е. это мно- жество счетно.
Рассмотрим теперь некоторые примеры применения понятия объ- единения множеств в школьной математике. Всякая ломаная есть объединение составляющих ее отрезков (называемых звеньями этой ломаной). Например, ломаная с последовательными вершинами A, B, C, D, E (рис. 57) представляет собой объединение четырех отрезков
AB U BC U CD U DE.
Развернутый угол (содержащий 180°, рис. 58) представляет собой
полуплоскость. Угол, меньший развернутого, можно представить в виде пересечения двух полуплоскостей (рис. 59). Угол, больший раз- вернутого, представить в таком виде не удается; однако он является объединением двух полуплоскостей (рис. 60). Всякий четырехугольник можно разбить диагональю на два треугольника, причем это верно не только для выпуклых четырехугольников (рис. 61), но и для невы- пуклых (рис. 62). Иными словами, всякий четырехугольник представ- ляет собой объединение двух треугольников, которые не перекрывают друг друга, т. е. не имеют общих внутренних точек. Вообще, любой
n-угольник можно разбить диагоналями на n − 2 треугольника. Для этого в выпуклом многоугольнике достаточно провести все диагонали, выходящие из одной его вершины (рис. 63). Для невыпуклого много- угольника не всякая диагональ пригодна (рис. 64), однако и в этом случае можно подобрать такие диагонали, которые делят его на
n − 2 треугольника (рис. 65). Таким образом, всякий многоугольник представляется в виде объединения нескольких треугольников, не пе- рекрывающих друг друга. Так как известны формулы, позволяющие вычислить площадь любого треугольника, то с помощью разбиения на треугольники можно найти площадь любого многоугольника.
Рис. 61 |
Рис. 62 |
Рис. 63 |
12. Объединение множеств |
49 |
|
|
Рис. 64 |
Рис. 65 |
Можно привести и ряд других геометрических примеров. Приве- денные примеры показывают, что само понимание фигуры как множества точек и использование только терминов «объединение», «пересечение» создает удобства в осмыслении традиционного школь- ного материала и в выражении мыслей.
Приведем теперь некоторые примеры из области алгебры. В левой части уравнения
(x3 − 3x2 + 4x − 12)(x2 − 5x + 6) = 0 |
(5) |
стоит произведение двух многочленов
f(x) = x3 − 3x2 + 4x − 12, g(x) = x2 − 5x + 6.
Ясно, что каждый корень первого многочлена (т. е. такое число x1,
при подстановке которого этот многочлен обращается в нуль) явля- ется также и корнем уравнения (5), поскольку при умножении нуля на любое число снова получается нуль. Точно так же любой корень
многочлена g(x) является корнем уравнения (5). Если же число x не
является корнем ни одного из многочленов f(x), g(x), то оно не явля- ется и корнем уравнения (5), поскольку произведение двух отличных от нуля чисел также отлично от нуля. Иначе говоря, множество всех корней уравнения (5) является объединением F0 U G0, где F0 — множе-
ство корней многочлена f(x), a G0 — множество корней многочлена
g(x). Вообще, если левая часть некоторого уравнения p(x) = 0 пред- ставляет собой произведение многочленов или иных функций, то для нахождения всех корней этого уравнения следует взять объединение нескольких множеств, каждое из которых представляет собой множе- ство всех корней одного из сомножителей (о методах решения урав- нения и о так называемых «посторонних» корнях мы еще поговорим
вп. 18).
Вкачестве второго примера рассмотрим неравенство
x2 + x − 6 ≥ 0. |
(6) |
50 |
Беседа 3. Операции над множествами |
График многочлена, записанного в левой части, показан на рис. 66. Из рассмотрения графика видно, что этот многочлен принимает не-
отрицательные значения при всех x ≤ −3, а также при x ≥ 2 (рис. 67). Иначе говоря, множество M всех решений неравенства (6) представ- ляет собой объединение двух лучей (−∞; −3] и [2; ∞), т. е. это множество можно записать в виде
M = (−∞; −3] U [2; ∞). |
(7) |
Заметим попутно, что символы −∞ и ∞ вовсе не означают какие-то «бесконечные» действительные числа, а лишь символически выража- ют изображенные на рис. 67 лучи. Например, второй из них условно записывается неравенствами 2 ≤ х < ∞, которые показывают, что можно брать лишь числа, не меньше 2, но как угодно большие, т. е. этот луч простирается вправо «до бесконечности».
Наконец, еще один алгебраический пример. Рассмотрим решение
неравенства, в левой части которого стоит тот же многочлен (5): |
|
(x3 − 3x2 + 4x − 12)(x2 − 5x + 6) > 0. |
(8) |
Число x в том и только в том случае удовлетворяет этому неравен- ству, если либо оба многочлена f(x), g(x) принимают в точке x поло- жительные значения, либо оба принимают отрицательные значения. Обозначим через F+ множество тех действительных чисел, для ко-
торых многочлен f(x) принимает положительное значение, G+ — где g(x) положительно и аналогично через F− и G− — множества тех чи- сел, в которых многочлены отрицательны. Тогда F+ I G+ есть множе-
ство всех точек x, в которых оба многочлена f(x), g(x) имеют поло- жительные значения, a F− I G− — где оба принимают отрицательные
значения. Следовательно, объединяя эти пересечения, мы и получаем множество всех решений неравенства (8): (F+ I G+) U (F− I G−).
Эти алгебраические примеры (число которых можно было бы увеличить) показывают, что, как и в случае геометрии, речь идет об использовании терминов «множество», «пересечение», «объедине- ние», и этим создаются удобства в осмысле- нии традиционного школьного материала и в выражении мыслей, т. е. обозначения, свя- занные с множествами, упрощают математи- ческий язык и облегчают изучение материа-
Рис. 66 |
Рис. 67 |