38 |
Беседа 3. Операции над множествами |
следующих операций: исключения идущих подряд звуков ДО или ООДД и добавления в любое место сочетания ОД. Означают ли слова ОДД и ДОО одно и то же? Какова мощность множества различных слов этого языка?
18. На плоскости имеется некоторое количество непересекающихся тре- угольников. Докажите, что это множество конечно или счетно. (Треугольник вместе со своим контуром содержит и внутренность этого контура.)
19. Докажите, что множество точек куба имеет ту же мощность, что и множество точек отрезка.
20. Докажите, что множество всех подмножеств непустого множества M имеет мощность большую, чем мощность самого множества M.
Беседа 3. Операции над множествами
11. Пересечение множеств
Прежде чем переходить к рассмотрению операций над множест- вами, мы рассмотрим один очень удобный и часто применяемый прием наглядного изображения взаимоотношений между множества- ми. Речь идет о так называемых диаграммах Эйлера–Венна, в кото- рых множества изображаются фигурами на плоскости (чаще всего кругами), по расположению которых можно легко судить о рассма- триваемых множествах.
Так на рис. 33 некоторые два множества A и B изображены кругами, причем видно, что B содержится в множестве A и, кроме того, B является собственным подмножеством множества A, т. е. не совпадает с ним. Для множеств A и B, изображенных на рис. 34, также
справедливо включение В A, но при этом множества A и B совпа- дают. Таким образом, запись В A означает, что либо B является
собственным подмножеством множества A, либо A = B. А на рис. 35 изображены два множества, ни одно из которых не является подмно- жеством другого.
Пусть, например, A есть множество всех натуральных чисел, не превосходящих 10, B — множество всех нечетных натуральных чисел, не превосходящих 10, а C — множество всех простых чисел, не превосходящих 10. Иначе говоря,
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 5, 7}.
Диаграмма Эйлера–Венна, показанная на рис. 36, наглядно изо- бражает взаимоотношения между этими множествами. Каждое из
Рис. 33 |
Рис. 34 |
Рис. 35 |
11. Пересечение множеств |
39 |
|
|
Рис. 36 Рис. 37 Рис. 38
множеств B, C является подмножеством множества A, т. е. B A,
C A, причем B и C — собственные подмножества множества A. Что же касается множеств B и C, то ни одно из них не является подмно- жеством другого, и это также наглядно показано на рис. 36 — каждая из фигур, изображающих множества B и C, выходит за пределы другой фигуры.
Перейдем теперь к рассмотрению операции пересечения мно- жеств. Пусть A и B — два множества. Все те элементы, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B, составляют, вместе взятые, некоторое множество, которое называется пересечением мно- жеств A и B; оно обозначается записью А I В (рис. 37). Если множе-
ства A и B не имеют общих элементов, т. е. А I В = , множества A и B называются непересекающимися (рис. 38). Например, для мно- жеств B и C, рассмотренных выше, справедливо соотношение
B I C ≠ , т. е. пересечение этих множеств непусто:
B I C = {3, 5, 7}.
Проиллюстрируем понятие пересечения множеств на фигурах из школьного курса геометрии. Рассмотрим полосу, т. е. часть плоскос- ти между двумя параллельными прямыми (рис. 39).
Любой параллелограмм может быть представлен как пересечение двух полос A = B I C (рис. 40). Треугольник можно рассматривать как
пересечение трех полуплоскостей: T = A I B I C (рис. 41). Выпуклый многоугольник с n вершинами является пересечением n полуплоскос- тей (случай n = 5 представлен на рис. 42). Сегмент круга (рис. 43) можно себе представлять как пересечение круга и полуплоскости.
Рис. 39 |
Рис. 40 |
Рис. 41 |
40 |
Беседа 3. Операции над множествами |
|
|
Рис. 42 |
Рис. 43 |
Рис. 44 |
Однако не только отдельные геометрические фигуры дают повод для использования понятия пересечения множеств. Существует важ- ный метод решения геометрических задач (особенно задач на постро- ение), который основан на применении пересечения множеств. Мы рассмотрим этот метод на примере двух задач.
В качестве первого примера возьмем следующую задачу. На плос- кости даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой; требуется построить окружность, проходящую через эти три точки (рис. 44). Чтобы решить эту задачу, мы разобьем требование задачи на две части: 1) искомая окружность должна проходить через точки A и B; 2) искомая окружность должна проходить через точки A и C.
Если нам удастся найти окружность, удовлетворяющую как усло- вию 1, так и условию 2, то задача будет решена.
Если окружность удовлетворяет условию 1, то ее центр O нахо- дится от точек A и B на одинаковом расстоянии (равном радиусу, рис. 45). Следовательно, точка O находится на серединном перпенди- куляре PAB к отрезку AB. Верно и обратное: если O находится на
этом серединном перпендикуляре, то окружность с центром O, про- ходящая через точку A, пройдет и через точку B. Иначе говоря, прямая PAB есть множество всех центров окружностей, удовлетворя-
ющих условию 1. Аналогично, серединный перпендикуляр PAC к
отрезку AC (рис. 46) есть множество всех центров окружностей, удов- летворяющих условию 2. Но искомая окружность должна удовлетво- рять обоим условиям 1 и 2. Значит, ее центр O должен принадлежать
каждому из множеств PAB, PAC, т. е. O PAB I PAC. Так как пересе-
Рис. 45 |
Рис. 46 |
Рис. 47 |
11. Пересечение множеств |
41 |
чение PAB I PAC состоит только из одной точки, то эта точка и
является центром искомой окружности (рис. 47), т. е. поместив игол- ку циркуля в эту точку и проведя окружность, проходящую через точку A, мы и решим задачу — эта окружность пройдет также через точки B и C.
Решенную задачу можно интерпретировать следующим образом. В трех пунктах A, B, C удар грома услышали одновременно; указать место, где ударила молния. Известно, что звук распространяется с постоянной скоростью примерно 330 м/с. Поскольку в пунктах A, B и C удар грома был услышан одновременно, время от грозового разряда до момента его восприятия (на слух) было одинаковым для всех трех пунктов. Обозначим это время (в секундах) через t. За это время звук распространяется на расстояние 330t. Таким образом, окружность с центром в месте грозового разряда и радиусом 330t проходит через все три точки A, B, C (рис. 48), и потому рассмотрен- ная выше геометрическая задача дает возможность найти место, где ударила молния. Кстати, это решение позволяет также приближенно определить расстояние (от любого из пунктов A, B, C) до места грозового разряда, поскольку звук распространяется за 3 секунды примерно на 1 километр, а свет — практически мгновенно (около 300 000 км в секунду). Скажем, если время от зрительного восприятия молнии до слухового восприятия грома составляет 12 секунд, то грозовой разряд произошел на расстоянии 4 км.
Приведенный пример хорошо иллюстрирует приближенность вся- кого математического описания реального явления. Хотя в самом
математическом решении (по формуле s = vt, относящейся к равно- мерному прямолинейному движению) вычисления осуществляются абсолютно точно, но математическая модель явления, так называе- мая его идеализация, дает лишь приближенное описание процесса.
Ведь скорость звука зависит от влажности воздуха, атмосферного давления, наличия препятствий, которые влияют на распространение звуковых волн, и т. п. Кроме того, хотя свет распространяется прак- тически мгновенно (в данной задаче), но все же с некоторой скорос- тью, вспышка молнии происходит на некоторой высоте над землей. Имеется определенная (физиологическая) погрешность в фиксации тех моментов времени, когда обнаружены молния и гром. Пренебре- гая всеми этими деталями (второстепенными
для данного рассмотрения явления), мы и по- лучаем некоторую модель явления, некото- рую его идеализацию: пункты A, B, C и место разряда являются геометрическими точками, которые находятся в одной плоскости, мо- менты грозового удара фиксируются точно, звук распространяется прямолинейно и с
фиксированной скоростью 13 км в секунду.
Вообще, для математического решения |
Рис. 48 |
|
42 |
Беседа 3. Операции над множествами |
|
|
Рис. 49 |
Рис. 50 |
Рис. 51 |
любой жизненной задачи требуется, прежде всего, составить идеали- зированную математическую модель явления. И если результаты рас- четов не соответствуют реальному ходу явления, то это лишь означает (если, конечно, нет ошибок в расчетах), что выбранная идеализация неадекватна действительному явлению и должна быть заменена более точной моделью. Следует также иметь в виду, что и сама математика не всегда дает точный численный ответ, а нередко использует при- ближенные методы расчета (не говоря уже о том, что в некоторых случаях нас интересует не точный численный расчет, а качественный прогноз).
Рассмотренный прием решения является типичным для многих геометрических задач, особенно для задач на построение. Геометри- ческая фигура задается обычно конечным числом характеристических точек. Например, отрезок задается двумя его концевыми точками; многоугольник (в частности, треугольник) задается его вершинами; окружность (или круг) задается двумя точками: центром и одной точкой на окружности (или тремя точками, лежащими на окружнос- ти) и т. п. Поэтому любая задача типа «построить геометрическую фигуру с такими-то свойствами» сводится, в конечном итоге, к по- строению нескольких точек. Но наши чертежные инструменты (ка- рандаш, фломастер, рапидограф и т. д.) приспособлены к вычерчива- нию линий. Конечно, они фактически воспроизводят узкие полоски, но, идеализируя, мы говорим о математических линиях, не имеющих ширины. Точка же может быть определена как пересечение двух линий на плоскости (рис. 49).
Разумеется, иногда три или большее число линий пересекаются в одной точке (например, три диагонали, соединяющие противополож- ные вершины правильного шестиугольника, пересекаясь, определяют его центр, рис. 50). Однако пересечения двух линий достаточно, чтобы задать точку. Именно поэтому мы обычно расчленяем требо- вания, сформулированные в задаче на построение, на два отдельных условия (подобно условиям 1 и 2 рассмотренной выше задачи), каж- дое из которых определяет некоторое множество точек (чаще всего линию, или, как говорили в старину, «геометрическое место точек»), а пересечение этих двух множеств задает искомую точку (или несколь- ко точек — в тех случаях, когда задача допускает несколько реше- ний).
11. Пересечение множеств |
43 |
|
|
Рис. 52 Рис. 53 Рис. 54
Рассмотрим, например, следующую задачу. Звук грома достиг пункта A через 5 секунд после вспышки молнии, а пункта B — через 3 секунды; найти точку, где произошел грозовой разряд. Для решения достаточно заметить, что (в той же идеализации) за 5 с звук распро-
страняется на 53 км, а за 3 с — на 1 км. Поэтому множество всех точек, из которых звук разряда доходит до пункта A за 5 с, есть окружность с центром A и радиусом 53 км, а множество всех точек,
из которых он доходит до B за 3 с, есть окружность радиуса 1 км с центром B. Искомая точка принадлежит пересечению этих двух мно- жеств (рис. 51), т. е. совпадает с одной из двух точек P, Q.
Геометрически обе точки равноправны и дают решение задачи. Практически же, если мы заметим, в каком направлении была видна вспышка молнии, то можем из этих двух точек отобрать одну; однако это означает привлечение дополнительных данных, не указанных в сформулированной вначале задаче.
Еще один яркий пример — графическое решение уравнений. Рас-
смотрим следующую систему уравнений:
x2 − 2x − y − 4 = 0,x2 + y2 = 16.
Решить эту систему — значит найти пару чисел x, y (или все такие пары, если их несколько), которые удовлетворяют обоим этим урав- нениям. Множество всех точек координатной плоскости, удовлетво- ряющих только первому уравнению, представляет собой параболу,
вершина которой (т. е. нижняя точка) имеет координаты (1; −5) — это становится ясным, если записать первое уравнение в виде
y = (x − 1)2 − 5 (рис. 52). Второе уравнение задает окружность с цент-
ром в начале координат и радиусом 4 (рис. 53). Точки же (x; y), удов- летворяющие обоим уравнениям, составляют пересечение этих двух
44 |
Беседа 3. Операции над множествами |
линий (рис. 54). Эта графическая интерпретация показывает, что рас- сматриваемая система имеет четыре решения. Вот приближенное зна- чение чисел, составляющих эти решения (их можно вычислить с по- мощью компьютера или даже микрокалькулятора):
1) x = −1,917..., y = 3,510...; 2) x = 0, y = −4;
3)x = 2,319..., y = −3,259...; 4) x = 3,597..., y = 1,748...
Взаключение приведем еще один практический пример примене- ния понятия пересечения множеств. При отборе детей для участия в конкурсе решили использовать результаты обследования их по четы- рем параметрам u, v, w, x. Начало таблицы обследования приведено ниже (результаты указаны в процентах):
№ |
Фамилия, инициалы |
u |
v |
w |
x |
1 |
Малинин И. И. |
82% |
47% |
51% |
43% |
2 |
Куликова Е. А. |
73% |
61% |
52% |
42% |
3 |
КомаровВ. Г. |
69% |
39% |
53% |
63% |
4 |
ЗакировН. И. |
71% |
63% |
51% |
41% |
... |
......................... |
... |
... |
... |
... |
Было решено отобрать детей, имеющих по параметрам u, v, w, x результаты не ниже, чем соответственно 70%, 60%, 50%, 40%. Ко- миссия вначале стала последовательно исследовать результаты детей по списку. Однако это было признано неудобным, так как все время приходилось переключать внимание от критерия 70% к критерию 60% и т. д. Вместо этого решили применить другой метод. Комиссию разделили на 4 группы экспертов, каждой из которых выдали копию таблицы обследования. Первая группа экспертов вычеркивала фами- лии детей, не прошедших по критерию u, вторая — по критерию v и т. д. Вот как выглядели результаты работы первой группы:
№ |
Фамилия, инициалы |
u |
v |
w |
x |
1 |
Малинин И. И. |
82% |
47% |
51% |
43% |
2 |
Куликова Е. А. |
73% |
61% |
52% |
42% |
3 |
КомаровВ. Г. |
69% |
39% |
53% |
63% |
4 |
ЗакировН. И. |
71% |
63% |
51% |
41% |
... |
......................... |
... |
... |
... |
... |
Аналогичную работу провели остальные группы. Обозначим те- перь через U множество всех детей, пропущенных (т. е. невычеркну- тых) первой группой, через V — второй, W — третьей, X — четвер- той. Ясно, что множество детей, отобранных для участия в конкурсе, совпадает с пересечением U I V I W I X. Это множество было опре- делено сразу: листки сложили вместе и на просвет стал виден список детей, не вычеркнутых ни одной из групп, т. е. вошедших в пересе- чение U I V I W I X (хотя таких могло и не оказаться).