76. Аналогия — общность аксиоматики

На уроках нередко можно услышать: «эта задача решается ана- логично предыдущей». Кое-где выше мы также говорили, что реше- ние задачи «аналогично» решению предыдущей. Старшеклассники понимают, что при несомненном наличии индивидуальных черт обе задачи обладают, тем не менее, похожими свойствами. Если бы речь шла лишь о раскрытии смысла термина «аналогия», то, вероятно, этим следовало бы ограничиться. Но аналогия нас прежде всего интересует как метод мышления. Мы нередко делаем умозаключения «по аналогии»; удачно подмеченная аналогия иной раз помогает найти решение трудной задачи.

Учитель при изучении темы о векторах говорит, что сложение векторов обладает свойствами, аналогичными свойствам сложения чи- сел. В чем же состоит эта аналогия?

Как сложение чисел, так и сложение векторов обладает свойства- ми коммутативности (переместительности) x + y = y + x и ассоциатив-

ности (сочетательности) x + (y + z) = (x + y) + z. Иными словами, эти соотношения будут справедливыми и в том случае, если x, y, z — числа (например, целые), и в том случае, если x, y, z — векторы. Кроме того, в обоих случаях (для чисел и для векторов) существует нулевой

элемент, обладающий свойством x + 0 = x для любого x. Наконец, для любого x (числа или вектора) существует противоположный элемент −x, обладающий свойством x + (−x) = 0. Такими же свойствами обла- дает операция сложения в множестве всех рациональных чисел, в множестве всех действительных (или комплексных) чисел, в множест- ве всех многочленов и в ряде других случаев.

Таким образом, если принять эти свойства сложения за аксиомы, то мы обнаружим, что во всех рассмотренных моделях (в множестве действительных чисел, векторов, многочленов и т. д.) эти аксиомы выполняются. Иными словами, указанные модели аналогичны друг другу, и эта аналогия заключается в том, что они удовлетворяют одной и той же системе аксиом, а именно, системе аксиом коммута-

тивной группы.

Заметим, что рассмотренные модели вовсе не изоморфны друг другу, а только аналогичны. Например, в множестве действительных чисел имеются неравенства, а в множестве комплексных чисел или многочленов ввести неравенства не удается. Имеются и другие свой- ства, отличающие эти модели друг от друга. Однако все те свойства сложения, которые вытекают из перечисленных выше аксиом, наблю- даются во всех моделях; в отношении этих свойств рассматриваемые модели аналогичны.

Например, в каждой из этих моделей можно записывать сумму нескольких слагаемых без скобок, т. е. писать

(a + b) + (c + d) = a + b + c + d, a + (b + (c + d)) = a + b + c + d, a + ((b + c) + d) = a + b + c + d,

где справа имеется в виду последовательное выполнение сложения ((a + b) + c) + d. Это вытекает из аксиом коммутативной группы, и в этом — аналогичность всех рассмотренных моделей друг другу.

В качестве еще одного свойства отметим, что можно переносить слагаемые из одной части равенства в другую с изменением знака,

т. е. если a + b = c, то a = c + (−b) и т. п. Это также одно из следствий аксиоматики коммутативной группы, и потому указанное свойство имеет место во всех моделях коммутативной группы. И в этом отно- шении все модели (числа, векторы, многочлены) также аналогичны друг другу.

Заметим, что указанные свойства (скажем, возможность перено- сить слагаемые из одной части равенства в другую с изменением знака) в какой-то степени обосновываются в начальных классах, когда учащиеся знакомы только с рациональными числами. Но в дальнейшем (при изучении многочленов, векторов, комплексных чи- сел и т. п.) обоснование уже не проводится. Практика показывает, что учащиеся не умеют обосновывать справедливость этих свойств сложения. Необходимо предельно ясно объяснить, что эти свойства вытекают из аксиом коммутативной группы, так что их достаточно один раз доказать, а затем лишь проверять выполнение аксиом ком- мутативной группы. Так аналогия помогает более глубокому осмыс- лению курса алгебры.

Итак, две модели аналогичны, если они удовлетворяют одной и той же системе аксиом. Именно, они аналогичны в отношении всех тех свойств, которые описываются этой системой аксиом. Короче говоря, аналогия — это общность аксиоматики. Может, однако, по- казаться, что это основное положение не дает общего описания всех ситуаций, в которых можно говорить об аналогичности явлений. Действительно, аналогию мы нередко усматриваем и тогда, когда трудно говорить о точном описании явлений и, тем более, об их аксиоматизации. И тем не менее указанное определение аналогии является общим.

Правда, нередко общность аксиоматического описания не сразу усматривается. В этом случае можно говорить о «неявной» аналогии: мы имеем в виду какой-то набор свойств, в отношении которых рассматриваемые явления (которые еще следует превратить в модели для их точного описания) «одинаковы» или «аналогичны». Иными словами, если эти свойства точно описать аксиомами (а это всегда возможно), то мы и получим аксиоматику, которой удовлетворяют обе рассматриваемые модели явления, т. е. получим точное осмысле- ние того, почему мы находим эти явления аналогичными.

Рассмотрим следующий пример. В курсе алгебры доказывается, что если A и B — две произвольные точки числовой оси, причем

точка A имеет координату x, а точка B — координату x′, то рассто-

яние между точками A и B равно |x′ − x|. Доказательство этого ут- верждения не излагается в учебниках полностью, а выглядит пример- но так.

Рис. 448

Рассмотрим случай, когда обе точки A, B расположены на поло- жительной полуоси, причем точка B расположена дальше от начала

O, чем точка A, т. е. x′ > x > 0 (случай а) на рис. 448). В этом случае

OA = x, OB = x′, AB = OB − OA = x′ − x, кроме того, |x′ − x| = x′ − x (так

как число x′ − x положительно); следовательно, AB = |x′ − x|. Анало- гичное доказательство проводится и при ином расположении точек A, B (случаи б) – е) на рис. 448).

Здесь говорится о том, что доказательство формулы проводится при различных случаях расположения точек A и B с помощью анало- гичных рассуждений. Как и в рассмотренных ранее примерах, анало- гия заключается в том, что эти рассуждения можно описать одина- ковыми аксиомами. Вероятно, эту общность аксиоматики разные люди были бы склонны выражать по-разному, т. е. мы имеем здесь дело с неявной аналогией, точно выразить (аксиоматизировать) ко- торую можно разными путями.

Например, ее можно выразить следующими аксиомами:

1) если точка A имеет координату x, то OA = ± x (знак «+» или «−» выбирается так, чтобы правая часть была неотрицательной);

2)для любых точек A, B на числовой прямой AB = ±OA ± OB (знаки выбираются в зависимости от расположения точек A и B относительно O);

3)для любых чисел x, y имеем |x − y| = ± x ± y (при соответствую- щем выборе знаков).

Во всех случаях а) – е) на рис. 449 эти аксиомы выполняются (разница только в выборе знаков); при учете же этих аксиом рассуж- дение будет во всех случаях одинаковым. Математики могут возра- зить, что, например, указанное выше положение 3 аксиомой обычно не признается, а выводится из других фактов, изучаемых в курсе алгебры. Это верно. Однако нас в данном случае интересует лишь то, какие положения в этих доказательствах используются в качестве заранее известных фактов. Они и служат в рассматриваемом случае исходными «аксиомами». Вообще, «локально» (например, при реше- нии некоторой задачи) мы можем те факты, которые нужны для решения (в частности, изученные ранее теоремы), считать при реше- нии этой задачи как бы «аксиомами» — в пределах рассуждения, связанного с решением задачи. Такие «расширенные» системы аксиом вовсе не противоречат духу математики. В рамках такой расширен- ной аксиоматики аналогичность двух задач становится понятной — как общность системы аксиом.

Но вернемся к рассмотренной задаче (рис. 448). В наличии общей аксиоматики и заключается «аналогичность» рассуждений. Ученик, которому изложили полное доказательство в случае а) и указали эту общую аксиоматику, легко сможет провести рассуждение и в другом случае. Более того, даже если сообщить только рассуждение для одного случая и сказать, что в других случаях «рассуждение анало- гично», но не сообщать рассмотренную выше общую аксиоматику, учащийся сможет самостоятельно провести по аналогии рассуждения и для других случаев (причем при помощи почти тех же слов в рассуждении). Иными словами, даже неявная аналогия является важ- ным психологическим фактором. И если предложить человеку, про- ведшему доказательство по аналогии, осмыслить, проанализировать, какие черты сходства помогли ему провести рассуждение в ином варианте расположения точек A и B, он перечислит эти черты сход- ства, т. е. сделает аналогию явной.

Заметим, что аналогия существенно используется при формиро- вании абстрактных понятий. Рассмотрим в качестве примера наибо- лее простой вид абстракции — отождествление. Мы рассматриваем некоторый класс предметов, которые с определенной точки зрения аналогичны в отношении существенных, главных черт и отличаются друг от друга лишь несущественными, второстепенными свойствами. Отвлекаясь от второстепенных черт и отождествляя рассмотренные предметы между собой в отношении их главных свойств, т. е. ото- ждествляя в своем сознании эти аналогичные предметы, мы получаем представление об общем абстрактном прототипе предметов рассмат- риваемого класса. Остается закрепить вновь возникшее абстрактное понятие единым обобщающим термином.

Однако, хотя при образовании нового понятия с помощью аб- стракции отождествления мы объединяем в своем сознании «анало- гичные» между собой предметы, но аналогия эта почти всегда неяв- ная.

В самом деле, если, например, речь идет о вилке, то мы не утруждаем себя требованием указать аксиоматику, на основе которой можно было бы о данном предмете судить, вилка это или не вилка. И тем не менее если на столе лежит целый ряд предметов (в том числе

несколько вилок, с двумя и с бо′льшим числом зубьев, большие и маленькие, стальные или пластмассовые), то мы безошибочно отде- лим предметы, которые следует считать вилками. Все эти предметы аналогичны друг другу в отношении их существенных черт. Аналогия здесь неявная, но при желании можно сделать ее явной, т. е. выписать общую аксиоматику для этих предметов. Описание термина в толко- вых словарях в большинстве случаев можно рассматривать как акси- оматическое определение понятия (поскольку там дается описание основных, характерных черт), но эта аксиоматика обычно не расчле- няется на отдельные положения (аксиомы).

Взаключение отметим весьма важную для математики аналогию

вотношении размерности. Как мы говорили во вводной беседе,

многомерные пространства являются важным инструментом исследо- вания не только в самой математике, но в ряде смежных наук — физике, химии, математической экономике и других.

Наблюдая свойства двумерных фигур (на плоскости) и трехмер- ных тел (в пространстве), математик «по аналогии» пытается судить о свойствах многомерных тел, постепенно вырабатывая «многомер- ную интуицию». И хотя переход от двух измерений к трем измерени- ям очень важен, но он далеко не достаточен для осмысления много- мерных фактов «по аналогии». Подлинной основой такой аналогии служит именно общность аксиоматики. Имеется четко сформулиро- ванная система аксиом многомерного евклидова пространства, для которой двумерное пространство (плоскость), трехмерное простран- ство, четырехмерное и, вообще, n-мерное пространство являются моделями, причем неизоморфными между собой. Многомерная интуи- ция, подкрепленная этой прочной аксиоматической базой, и позволя- ет доказывать важные факты многомерной геометрии, находящие многочисленные приложения в математике и смежных науках. И аналогия, основанная на общности аксиоматики, играет здесь перво- степенную роль.

Более подробный разговор об аксиоматике многомерных про- странств мы поведем в другой раз, здесь же ограничимся одним примером, показывающим пользу многомерной геометрической ана- логии при решении чисто алгебраической задачи.

Пример. Сумма n чисел равна единице. Каковы должны быть эти числа, чтобы сумма их квадратов была наименьшей?

Для решения обратимся сначала к случаю n = 2 и ответим на интересующий нас вопрос, используя геометрическую наглядную мо- дель. При n = 2 рассматриваются числа x, y, удовлетворяющие усло- вию x + y = 1, и требуется найти, в каком случае сумма квадратов

x2 + y2 будет наименьшей.

Уравнение x + y = 1 определяет на координатной плоскости пря- мую l (рис. 449). Рассмотрим окружность S с центром в начале коор- динат, которая касается этой прямой. Точку касания обозначим через A (рис. 450). Если точка M прямой l отлична от A, то она лежит вне окружности S, и потому OM больше радиуса r этой окружности, т. е.

координаты x, y точки M удовлетворяют неравенству x2 + y2 > r2.

Если же M совпадает с A, то сумма x2 + y2 равна r2, т. е. именно для точки A эта сумма принимает наименьшее значение. Точка A имеет

координаты x = y = 12. Это и есть решение поставленной алгебраичес-

кой задачи при n = 2.

Пусть теперь n = 3. Уравнение x + y + z = 1 определяет в простран- стве плоскость L (рис. 451). Рассмотрим сферу S с центром в начале координат O, касающуюся этой плоскости в некоторой точке A. Для любой точки M L, отличной от A, ее расстояние от точки O больше радиуса r сферы S, т. е. OM2 > r2, и потому x2 + y2 + z2 > r2. Если же

Рис. 449 Рис. 450 Рис. 451

M совпадает с A, то x2 + y2 + z2 = r2. Таким образом, именно для точки A сумма x2 + y2 + z2 принимает наименьшее значение. Заметим теперь, что точка A имеет равные координаты: x = y = z. Это следует из того, что при повороте пространства вокруг точки O, переставляющем оси координат: x → y, y → z, z → x, как плоскость L, так и сфера S пере- ходят в себя, а потому их общая точка A остается неподвижной. Итак, для точки A имеем x + y + z = 1, причем x = y = z, и потому точка А

имеет координаты x = y = z = 13. Это и есть решение поставленной

алгебраической задачи для n = 3.

Рассмотрим, наконец, произвольное n. Рассуждения будем вести в n-мерном пространстве, каждая точка которого имеет координаты

(x1; x2; ...; xn). Уравнение x1 + x2 + ... + xn = 1 определяет в этом про-

странстве «плоскость» L, имеющую размерность n − 1 (например, при n = 3, т. е. в трехмерном пространстве, такое уравнение определяет плоскость, имеющую размерность 2, т. е. на единицу меньшей раз- мерности, чем все пространство). Математики называют «плоскости», имеющие размерность n − 1, гиперплоскостями в n-мерном простран- стве. Рассмотрим гиперсферу S с центром в начале координат O, касающуюся гиперплоскости L в некоторой точке A. Гиперсфера состоит из всех точек, находящихся от O на одном и том же рассто- янии r; число r называется радиусом этой гиперсферы.

Всякая точка M гиперплоскости L, кроме A, лежит вне гипер- сферы S, т. е. находится от начала координат O на расстоянии,

большем r. Если же M совпадает с A, то OM = r. Следовательно, сумма x21 + x22 + ... + x2n, т.е. квадрат расстояния точки M с координа- тами (x1; x2; ...; xn) от начала координат, для всех точек M L при-

нимает наименьшее значение при M = A. Заметим теперь, что все координаты точки A равны между собой: x1 = x2 = ... = xn (поскольку

поворот пространства, переставляющий оси: x1 → x2, ..., xn−1 → xn, xn → x1, переводит гиперплоскость L в себя и гиперсферу S тоже в себя, а потому оставляет точку A неподвижной). Следовательно,

точка A имеет координаты x1 = x2 = ... = xn = 1n. Это и есть решение поставленной алгебраической задачи: при x1 + x2 + ... + xn = 1 сумма

Разумеется, это проведенное по аналогии геометрическое решение можно признать корректным лишь в том случае, если читатель вла- деет некоторыми понятиями и фактами n-мерной геометрии. И это дает хорошую иллюстрацию пользы «аналогии по размерности».

77. Прогнозирование

В заключение остановимся еще на одном моменте, который игра- ет важную роль в процессе поиска решения. Допустим, во время раздумий над возможными путями решения задачи нам пришел в голову некоторый «шажок мысли». Правильным ли он является? Приближает это преобразование к нахождению решения или же это ложный путь, уводящий в сторону от правильного направления? Критерием в этом вопросе является прогнозирование, т. е. предвиде- ние результата, получаемого в процессе анализа, синтеза, обобщения

— мы прикидываем, стали ли мы ближе к нахождению решения, куда продвинулись с помощью сделанного шага. Происходит маленький «инсайтик»: «Ага, эврика! Кажется, так более вероятно получить решение, чем в предыдущей ситуации».

Маленький инсайтик, о котором шла речь, представляет собой действие, позволяющее ориентировочно судить о приближении к ре- шению или, напротив, об удалении от возможного пути решения и вследствие этого о целесообразности отбрасывания этого хода. Бла- годаря этому часто удается не перебирать все узлы полного дерева ходов, а двигаться лишь по части узлов и сравнительно быстро придти к решению. Без проведения такого контрольно-оценочного действия происходит тупой перебор, бесконечные преобразования задачи, напоминающие блуждание в потемках, а не целенаправлен- ный поиск решения.

Итак, формирование умения прогнозировать, предвидеть резуль- таты, к которым приведет каждый отдельный шажок мысли, является важным компонентом развития мышления. С этой целью на уроках математики при обсуждении идеи решения, когда кто-либо из уча- щихся предлагает воспользоваться той или иной формулой, теоремой, тождественным преобразованием, целесообразно добиваться того, чтобы он обосновал разумность своего предложения и хотя бы в общих чертах указал, к чему оно приведет.

Пример 1. Доказать тождество

Обсудим учебную ситуацию, возникшую в классе при решении этой задачи. Один из учащихся предложил обозначить 3,5x через a;

тогда 7x = 2a, 10,5x = 3a и слева будет стоять некоторое выражение от a и 2a, а справа sin 3a. После этого второй ученик посчитал целесо- образным разложить правую часть по формуле sin (2a + a) и объяснил, что при этом уменьшится число аргументов: не будет 3a, а слева и справа останутся a и 2a. Учащиеся считали, что оба шага, выполнен- ные один за другим, могут приблизить к решению, хотя еще не все детали предстоящих преобразований им были достаточно ясны.

Вызванный к доске учащийся реализовал путь, указанный в про- цессе прогнозирования:

Дальше решение легко было доведено до конца. Прогнозирование имело форму обратимого анализа, схема кото-

рого представлена на рис. 452; жирная штриховая стрелка изображает инсайт, т. е. озарение, которое испытали все учащиеся класса (эврика!

— в результате этих преобразований мы приблизимся к решению). Прогнозирование нередко сопровождается использованием на- глядной модели и аналогии. В следующем примере мы рассматриваем ситуацию, когда используется векторная наглядная модель, о приме-

нении которой уже говорилось выше.

Пример 2. Доказать, что в произвольном четырехугольнике сумма квадратов длин диагоналей равна удвоенной сумме квадратов длин средних линий (т. е. отрезков, соединяющих середины противо- положных сторон четырехугольника).

Во время обсуждения один учащийся сказал, что поскольку речь идет о квадратах длин отрезков, то надо применить скалярное произ- ведение векторов. Однако учитель посчитал такое прогнозирование

недостаточно определенным. Другой учащийся добавил, что надо обо-

→ → → →

значить через a, b, c, d векторы, идущие от некоторой точки O к

→ →

вершинам четырехугольника ABCD (рис. 453). Тогда векторы a − c и

→ →

b − d направлены по диагоналям, и можно легко получить векторы, идущие к серединам сторон, а через них выразить векторы, направлен-

И все же перебор — лишь крайний случай. Основой выбора очередного логического шажка и всего пути решения (с использова- нием анализа, синтеза, обобщения, аналогии) является именно про- гнозирование, а не перебор. При индивидуальном решении задач учащийся молча, «про себя» осуществляет прогноз и воплощает его в решении, а иногда даже как бы не замечает скрытую работу мысли на этапе прогноза. Обсуждение процесса поиска решения и, в част- ности, прогнозирование решения при активном участии всего класса

— мощное средство развития навыков логического мышления уча- щихся.

Пример 3. Рассмотрим следующее игровое задание, о котором уже шла речь выше.

Вы едете на трамвае или автобусе и приобретаете билет (или компостирует талон), на котором имеется шестизначный номер. Ска- жем, достался билет с номером 327147. Ставится задача расставить между цифрами этого билета такие знаки действий, чтобы при их выполнении получилось 100. При этом между некоторыми цифрами можно не ставить никаких знаков действий, соединяя две рядом стоящие цифры в одно двузначное число.

Как подходить к решению этой задачи? Если поставить в первом промежутке знак плюс, то этим осуществляется некоторое преобра-

зование задачи: уже получено число 3 + 2 = 5 и остается составить 95 с помощью оставшихся четырех цифр. Это не удается, приходится пробовать вставлять другие знаки. Такие преобразования могут про- должаться долго, нудно и безуспешно. Но вдруг появляется новая идея: (3 + 2) (...) = 100. И сразу же осуществляется контрольно-оце- ночное действие: «Ага, так мы приближаемся к решению — ведь нужно лишь из оставшихся четырех цифр составить 20, а это может оказаться намного легче!» Например, это можно осуществить так:

(3 + 2)(−7 − 1 + 4 7).

В результате возникает представление о структурировании зада- чи. Так как имеют место равенства 100 = 5 20, 100 = 4 25, 100 = 1010, то можно попытаться разбить шесть цифр на две группы так, чтобы, скажем, в одной группе получилось 5, а в другой 20. Эта структу- рированность дает новый подход к обзору дерева всех возможных ходов, дает хорошую ориентировку в процессе решения. И при появ- лении нового билетика мы уже будем искать — нет ли возможности получить (справа или слева) 4, 5 или 10.

С точки зрения поиска пути решения эта структуризация облег- чает осуществление прогнозирования и получение вывода о разум- ности сделанного хода. Однако возможности структуризации этим не ограничиваются. Еще одна идея структуризации состоит в том, что число 71 достаточно близко к 100 и нужно лишь распорядиться оставшимися четырьмя цифрами так, чтобы получилось 29. О таком способе решения уже шла речь выше; возможно и другое решение,

реализующее ту же идею: 3 − 2 + 71 + 4 7.

Результат состоит не только в приобретении навыков выполнения ориентировочных действий, но также (в математическом плане) в развитии навыков числовой комбинаторики.

Пример 4. В задаче складывания целой фигурки из кирпичиков, имеющих форму уголков (см. задачу 2 в п. 67), можно заметить, что

из двух уголков удается сложить прямоугольничек 2×3 (рис. 455).

Теперь этот прямоугольничек становится зна′ком, символом, с помо- щью которого можно попытаться выложить всю заданную фигуру. В некоторых случаях это удается (рис. 456). Это означает, что такой прямоугольничек выступает агрегированным блоком, символом, с помощью которого задача решается в свернутом виде. Иначе говоря, пытаясь заполнить данную фигуру этими блоками (как на рис. 456), мы не разбивает каждый блок на уголки, а мыслим символами, т. е. свертками-блоками. Уже не нужно разбивать блоки на уголки, по- скольку возможность заполнения фигуры такими блоками доказыва- ет возможность заполнения и уголками, т. е. задача принципиально решена. Вместе с тем эта знаковая модель не является изоморфной первоначальной задаче. Если некоторая фигура не может быть запол-

нена блоками 2×3, то это еще не означает, что и первоначальная задача о заполнении фигуры уголками неразрешима (например, фи- гура на рис. 385 не может быть заполнена блоками 2×3, но заполнение ее уголками возможно). Иными словами, возможность заполнения фигуры агрегированными блоками является достаточным, но не не- обходимым условием возможности заполнения фигуры уголками.

Пример 5. Рассмотрим теперь задачу заполнения уголками дру- гой фигуры (рис. 457). Эта фигура составлена из 20 единичных квад- ратиков (что сразу не видно, т. е. нужно мысленно расчленить фигуру на квадратики и произвести подсчет). В этом случае для решения задачи также можно использовать знаковую символику. Задача агре- гируется, т. е. мы уже не рассматриваем фигуру с точки зрения раз- личных ее геометрических свойств. Из всех свойств выступает только одно — площадь (т. е. число единичных квадратиков, из которых можно составить эту фигуру). В то же время уголок составлен из трех единичных квадратиков, т. е. он имеет площадь 3.

Теперь на уровне этой новой модели мы получаем новую поста- новку задачи: можно ли составить фигуру, имеющую площадь 20, из нескольких уголков, каждый из которых имеет площадь 3? И если мы в чистом виде вычленили эту модель, то легко получаем ответ:

составить эту фигуру из уголков нельзя, поскольку 20 не делится на 3. Иными словами, делимость площади на 3 является необходимым критерием возможности заполнения фигуры уголками. Однако этот необходимый критерий не является достаточным.

Такой способ получения доказательства невозможности нередко используется в математике. Именно, пусть рассматривается некото- рый класс M математических объектов и среди них выделена часть объектов, обладающих интересующим нас (и достаточно сложным) свойством P. Рассматривается задача о том, как определить, обладает ли конкретно заданный объект класса M этим свойством P.

Если свойство P проверяется сложно, то вместо такой проверки нередко применяется некоторый необходимый критерий. Для этого подбирается другое свойство Q, более просто проверяемое. Если удается доказать, что все объекты, обладающие свойством P, неиз- менно обладают и свойством Q, то для «доказательства невозмож- ности», т. е. для установления того факта, что взятый конкретный объект не обладает свойством P, достаточно проверить, что он не обладает свойством Q.

Именно так мы поступили в примере 5. Свойство P состоит в возможности заполнения фигуры уголками, а свойство Q заключается в делимости площади фигуры на 3. Для фигуры на рис. 457 свойство Q проверяется просто, и этот критерий удобен для доказательства невозможности: если свойство Q не выполняется, то и свойство P не имеет места. И идея «проверить делимость на 3» воспринимается в виде свернутой рекомендации, включающей в себя несколько дейст- вий, обозначенных одним символом «делимость на 3». Таким обра- зом, применение необходимого критерия часто может служить мощ- ным средством прогнозирования.

Вот еще пара задач, связанных с остатками при делении. Пример 6. Капризная девочка нарисовала что-то на листе бума-

ги, но рисунок ей не понравился, и она разорвала его на четыре части. Потом одну из частей она разорвала еще на четыре части, потом один из кусочков еще на четыре части, потом еще и еще ... Через некоторое время около нее лежала куча кусочков бумаги. Могло ли оказаться, что число кусочков в этой куче равно 2001?

Решение опять связано с делимостью на 3. Сначала был один лист бумаги. После первого разрыва листа стало четыре куска, т. е. число частей увеличилось на 3. После следующего разрыва вместо одного из кусков появилось четыре меньших, т. е. опять число кусков увели- чилось на 3. Продолжая таким образом, мы заключаем, что каждый раз число кусочков увеличивалось на 3. Поэтому число кусочков в куче получалось равным 1, 4, 7, ..., т. е. все время получались числа, дающие при делении на 3 остаток 1. А так как число 2001 при делении на 3 не дает единицу в остатке, то никогда число кусочков в куче не будет равным 2001. Мы опять получаем доказательство невозможно- сти!

Пример 7. Змей-горыныч имел три головы. Илья Муромец в битве со Змеем срубал ему головы. Но каждый раз на месте срублен-