для решения и почему в результате должно получиться уравнение уже известного типа. Например, в отношении уравнения (1) «работают» такие соображения: коэффициенты при x в обоих подкоренных вы- ражениях одинаковы, так что, уединяя один радикал и возводя в квадрат, мы получим уравнение, в котором члены, содержащие x, в сумме дают нуль и останется только один радикал. Такое обсуждение требует меньшего времени, чем полное решение уравнения, а дает не меньше (если не больше) для осознания процесса решения.

70. Обратимый анализ

Рассмотрим теперь вопрос о применении анализа при доказатель- стве неравенств. Это дает нам представление о другой форме прове- дения анализа.

Задача 9. Доказать, что для любого натурального n справедливо неравенство

Умножая обе части на «сопряженный множитель» √n + 1 + √n −1 (он положителен) и производя дальнейшие преобразования, последо- вательно перепишем это неравенство следующим образом:

Наконец, мы замечаем, что неравенство (6) нам известно: это —

a + b

частный случай неравенства √ab ≤ 2 , справедливого для любых

неотрицательных чисел a, b. На этом процесс анализа и заканчивает- ся: установлена некоторая связь между неравенством (1), подлежащим доказательству, и известными фактами.

Но чего мы добились выполнением этих преобразований? В пол- ном виде проведенные рассуждения можно осмыслить следующим образом. Предположим, что задача решена, т. е. справедливость не- равенства (1) уже установлена. Тогда, домножая на «сопряженный множитель», находим, что неравенство (2) также должно быть спра- ведливо. Далее последовательно убеждаемся, что должны быть спра- ведливы неравенства (3), (4), (5), (6). Наконец, замечаем, что неравен- ство (6) нам известно. Цикл замкнулся, причем в данном случае цикл имеет тот же вид, что и раньше (рис. 402).

Получили ли мы в результате проведения анализа доказательство неравенства (1)? Разумеется, нет! Ведь, формально говоря, мы лишь установили, что из неравенства (1) (если бы мы его уже умели дока- зывать!) можно было бы вывести (6), т. е. частный случай хорошо известного неравенства. Вроде бы невелико приобретение! Однако мы нашли при этом цепочку неравенств (1) – (6), каждое из которых примыкает к предыдущему, т. е. как бы построили «лесенку» из шести ступенек, ведущую от известных фактов к неравенству (1). Возникает надежда, что если в этой цепочке (1) – (6) не только каждое неравен- ство следует из предыдущего, но и наоборот, из каждого неравенства можно было бы вывести предыдущее, то мы смогли бы, идя от (6) к (1), получить искомое доказательство неравенства (1). Иными слова- ми, в процессе анализа был осуществлен поиск доказательства, в результате которого найден возможный путь доказательства:

(6) (5) (4) (3) (2) (1).

Легко проследить, что в данном случае этот путь доказательства реализуется, т. е. действительно из (6) непосредственно вытекает (5), из (5) вытекает (4) и т. д.

Таким образом, решение поставленной задачи состоит из двух стадий:

1) анализа (в процессе которого осуществляется поиск пути дока- зательства);

2) доказательства.

Разумеется, при некотором навыке можно проводить обратимый анализ, т. е. совместить обе стадии: сразу устанавливать, что все «шаги» обратимы (т. е. устанавливать справедливость не только

(1) (2), (2) (3) и т. д., но и (1) (2), (2) (3) и т. д.).

Но, может быть, стадия анализа является лишней (ведь все равно доказательство приходится проводить заново)? Конечно, нет! Вряд ли ученик (даже очень хороший) сможет по виду неравенства (1), не проводя анализа, определить, что надо исходить именно из неравен- ства (6), вывести из него (5) и т. д.

Может быть, в таком случае лишним является доказательство (ведь оно повторяет в обратном порядке рассуждения, проведенные на стадии анализа)? Опять нет! Ограничиться одним анализом нельзя,

так как если хотя бы один шаг в цепочке (6) (5) (4) ... окажется необратимым, то доказательства мы на этом пути не получим. Про- верка обратимости всех шагов и представляет собой доказательство. Таким образом, обе стадии (анализ и доказательство) являются не- отъемлемыми частями решения.

Заметим, что в рассматриваемом случае жирная стрелка на рис. 402, замыкающая цикл, означает озарение («ага, это неравенство мы уже умеем доказывать!»). В момент замыкания цикла происходит скачок от незнания к знанию: становится виден путь доказательства.

Наконец, мы замечаем, что соотношение (3) нам известно — сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны. Цикл замкнулся (рис. 406) — стадия анализа закончена. Идя в обратном

порядке (3) (2) (1), мы получаем доказательство требуемого не- равенства (1).

В данном случае процесс анализа несложен: он содержит всего три «ступеньки». Однако для понимания доказательства он очень важен. В самом деле, представим себе, что кто-то, доказывая нам неравенство (1), демонстрирует рис. 404 и затем вдруг проводит от- резок AC (рис. 405). Почему? Зачем? Далее говорится: «применим теорему о том, что сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны». Почему именно эту теорему? К тому же на основании этой теоремы можно написать три различных неравенства, связывающих длины сторон треугольника. Почему же используется именно неравенство (3)? На эти вопросы может быть только один ответ: «Потому что таким путем удается получить нужное доказа- тельство». Не видя стадию анализа, мы становимся пассивным на- блюдателем, а не активным, сознательным участником процесса до- казательства теоремы.

Заметим, что если нам объясняют лишь доказательство теоремы (не проводя анализа), то озарение (возникающее при понимании изла- гаемого доказательство), имеет психологически совершенно иной ха- рактер, показанный на рис. 407 («да, действительно, из уже установ- ленного соотношения (2) следует то, что мы хотели доказать!»).

Таким образом, характер озарения, возникающего при проведе- нии анализа (т. е. поиска доказательства) и при прослушивании гото- вого доказательства, различен.

Задача 11. Двое играют в игру «Ицзяньши», которую в простей- шем варианте можно описать следующими правилами. Первый иг- рающий называет число 1 или 2. Второй прибавляет к названному числу еще 1 или 2 и называет сумму. Затем первый прибавляет к результату 1 или 2, затем второй и т. д. Выигрывает тот, кто назо- вет 10.

Чтобы найти стратегию, ведущую к выигрышу, проведем анализ. Сколько бы ни прибавил второй игрок, первый может добавить до трех: если второй сказал 1, то первый прибавляет 2, а если второй сказал 2, то первый прибавляет 1. Иначе говоря, первый игрок всегда может сделать так, что в итоге двух ходов прибавляется 3. Значит, если первый сумеет назвать число 7, то он обязательно выиграет: сколько бы ни сказал после этого второй игрок, первый добавит до 3 и назовет 10. Таким образом, 7 — это для первого игрока выиг- рышное число. Иными словами, мы осуществили преобразование задачи: правила те же, но выигрывает тот, кто назовет число 7.

Теперь ясно, что если первый назовет число 4, то он также выиграет (назвав следующим ходом 7). Это — второй шаг преобра- зования задачи. Но чтобы добраться до 4, первому надо начинать с числа 1: тогда, что бы ни прибавил второй, он сможет назвать 4. И