Рис. 401

разрешается); кроме того, не разрешается класть больший диск на меньший.

Задача 7. За какое наименьшее число ходов можно в «Ханой- ской башне» перенести все диски с первого стержня на третий?

Мы наметим решение «Ханойской башни» из трех дисков (рис. 401). Так как за один прием разрешается перекладывать только один диск, то можно с первого стержня снять только один (верхний) диск, и его можно поместить на второй или на третий стержень. Если верхний диск снят с первого стержня и надет на третий, то следующим ходом можно снять еще один диск с первого стержня, но надеть его на третий стержень не разрешается (нельзя класть больший диск на меньший); поэтому его можно надеть только на второй стержень. Затем можно маленький диск с третьего стержня перенести на другой стержень и т. д. Постепенно наращивается сфера достижимости, при- чем решение получается на ее седьмом ярусе, т. е. для переноса всех трех дисков с первого стержня на третий потребуется 7 ходов.

В «Ханойской башне» с четырьмя дисками для переноса всех четырех дисков с первого стержня на третий требуется уже 15 ходов. Далее, для башни с пятью дисками требуется 31 ход, а для башни с шестью дисками — 63 хода, и вообще для башни с n дисками требу-

ется 2n − 1 ход. Таким образом, количество ходов очень быстро воз- растает с увеличением числа дисков. Так, если каждую секунду пере- кладывать один диск и работать круглые сутки, то, чтобы решить головоломку «Ханойская башня» с двадцатью дисками, требуется более двенадцати дней, при тридцати дисках требуется более тридца- ти четырех лет, а тридцать пять дисков требуют уже более тысячи лет. Что же касается «Ханойской башни» с 64 дисками, то скорее погаснет Солнце, чем жрецы успеют решить эту головоломку!

69. Анализ и синтез

Современное общество ставит человека перед необходимостью находить и принимать решения в различных жизненных и производ- ственных ситуациях. Производство и сбыт почти ежедневно требует от начальника цеха, инженера, рабочего, менеджера безотлагательно найти правильное решение. Нахождение решений важно и в семейной жизни, и в быту. От того, будут ли юноши и девушки знать методы поиска решений и обладать навыками их нахождения, зависит их психологическая подготовленность к жизни в обществе.

За последние десятилетия возникла новая наука — системный анализ, которая, в частности, рассматривает вопросы поиска и

выбора решений в различных ситуациях не только при индивидуаль- ном, но и при коллективном рассмотрении проблем, при использова- нии человеко-машинного диалога и т. д.

Методы нахождения решений и психическая деятельность, связан- ная с поиском решения, во многом сходны как в жизненных или производственных задачах, так и в школьных (по математике, физике, химии). Поэтому ознакомление еще в средней школе с методами поиска решений готовит к решению проблем в любой будущей дея- тельности, в жизни.

Важнейшими элементами любого метода поиска решения являют- ся анализ и синтез. При решении математических задач синтез может использоваться в двух формах рассуждения: когда двигаются от дан- ных к искомым фактам или когда элементы объединяют в одно целое. Точно так же и анализ может выступать в двух формах: когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи или когда целое (фигуру, выражение и т. п.) расчленяют на части.

Синтез, проведенный в форме постепенного «восхождения» от данных к искомому, позволяет изложить уже найденное решение четко и логично: из данных делается один вывод, затем другой, из них логически следует третий и т. д., а в конце цепочки выводов получается то, что требовалось вычислить, узнать или доказать. Это позволяет убедить слушающего в правильности, логической безуп- речности решения. Однако тому, кто слушает решение, не всегда понятно, как можно до всего этого догадаться. При синтетическом изложении «за кадром» остается вопрос о том, почему был выбран именно этот путь рассуждения и как (при самостоятельном поиске) избежать ложных, побочных шажков мысли. Можно сказать, что изложение решения следует законам математической логики, а не «математической психологии», позволяющей научить делать пусть маленькие, но открытия.

Анализ же в первую очередь направлен на поиск пути решения: после завершения анализа нередко требуется заново провести синте- тическое рассуждение, чтобы оформить и изложить найденное реше- ние. Но зато анализ позволяет показать, как можно самому решить задачу. Он в большой мере способствует развитию мышления и твор- ческих способностей.

Анализ задачи состоит в том, что мы предполагаем ее уже решен- ной и находим различные следствия (или предпосылки) этого пред- положения, а затем, в зависимости от вида этих следствий, пытаемся найти путь отыскания решения поставленной задачи. Грубо говоря, «рецепт» проведения анализа состоит в последовательном проведении трех этапов рассуждений:

1) предположим, что задача решена;

2)посмотрим, какие из этого можно извлечь выводы;

3)теперь, сопоставляя полученные выводы, попытаемся найти путь для действительного решения задачи.

Применение этого «рецепта» анализа к решению задач на постро- ение хорошо известно. Но и в других случаях — при решении урав-

нений, доказательстве неравенств и т. д. — мы постоянно применяем метод анализа (не всегда осознавая это).

Рассмотрим применение анализа при решении уравнений. Задача 8. Решить уравнение

После этого находим, что x = 2, проводим проверку (подстанов- кой в уравнение (1)) и получаем ответ: единственным корнем уравне- ния (1) является x = 2.

Легко видеть, что последовательный переход от уравнения (1) к уравнению (6) представляет собой анализ предложенной задачи, хотя в явном виде никто на уроках алгебры об этом не говорит. Что же происходит в описанном процессе решения уравнения?

В полном виде этот процесс может быть осмыслен следующим образом. Мы вначале не знаем корней заданного уравнения (1), т. е. решение задачи нам неизвестно. Но предположим, что задача решена, и пусть число x1 является искомым корнем этого уравнения. Тогда

нем уравнения (2). Далее мы последовательно убеждаемся, что x1

является корнем каждого из уравнений (3), (4), (5), (6). Наконец, мы замечаем, что уравнение (6) принадлежит к известному нам типу (уравнение первой степени с одним неизвестным). На этом процесс анализа и заканчивается. Дальнейшее решение состоит в нахождении корня уравнения (6) и проверке.

Проведенный процесс анализа схематически показан на рис. 402. Штриховая стрелка изображает сделанное в начале анализа допуще- ние («предположим, что задача решена, т. е. нам известен корень x1

уравнения (1)»). Дальнейшие стрелки (тонкие) показывают следствия, которые мы выводим из этого предположения («тогда x1 является

корнем каждого из уравнений (2), ..., (6)»). Наконец, замечаем, что полученное уравнение (6) принадлежит известному типу («ага, такое

уравнение мы уже умеем решать!»); это изображено на рис. 402 жир- ной стрелкой. Цикл замкнулся — анализ решения задачи закончен (дальнейшая часть решения на этой схеме не показана).

Подобным же образом проводится решение уравнений, принад- лежащих к другим типам. Заданное уравнение постепенно преобра- зовывается, например, «расщепляется» на одно или несколько урав- нений все более простых типов, пока не обнаружится, что уравнения, к которым мы в конце концов пришли, решаются известными нам методами.

Конечно, не всегда процесс анализа проходит так гладко. Нахож- дение описанного выше цикла, символизирующего завершение ста- дии анализа, может быть осложнено тем, что мы начнем производить преобразования, которые ведут по ложному пути, уводят от решения. Например, может показаться, что для решения уравнения (1) нужно обе его части умножить на «сопряженное выражение»

√x + 2 − √x −1, подобно тому, как это делается при освобождении от иррациональности в знаменателе. В результате получается уравнение

которое после упрощения приводится к виду

Однако само по себе это уравнение не проще первоначального. Поэ- тому придется вернуться к уравнению (1) и искать другие пути. Воз- можны и иные попытки, не приводящие к решению (рис. 403).

Жирная стрелка на рис. 403, замыкающая цикл анализа, симво- лизирует озарение, происходящее в сознании решающего. До этого момента он делает шаги, если и не вслепую, то, во всяком случае, не зная точно, по верному или ложному пути следует. Иными словами, до замыкания цикла нельзя сказать, что мы видим уже, как решить задачу. Замыкание цикла — озарение: «нашел!», «понял!», «эврика!».

Анализ представляет собой наиболее трудную, творческую ста- дию процесса решения задачи. Поэтому весьма важно учить процессу анализа. Один из возможных путей для этого состоит в том, чтобы устно проводить обсуждение процесса анализа. Можно предложить, не решая уравнения, объяснить, какие преобразования надо бы сделать