Рис. 390 Рис. 391

системы пошаговых действий («Ага, эврика! Теперь я вижу, что на этом пути решение получится»).

Задача 3. Заполнить уголками фигуру на рис. 391а.

В результате различных попыток укладывания уголка в этой фи- гуре мы замечаем, что способ укладывания, показанный на рис. 391б дает единственную возможность заполнить левый нижний квадратик заданной фигуры. После этого имеется единственный способ запол- нить нижний квадратик оставшейся части фигуры (рис. 391в). Остав- шаяся фигура очень похожа на исходную, но стала меньше. А теперь происходит инсайт, позволяющий постепенно прийти к обобщению: если дана ступенчатая фигура такого вида, как на рис. 391а, причем у нее слева четное число «зубцов» (на рис. 391а слева шесть зубцов), то ее удается заполнить уголками. Если же у этой фигуры слева нечетное число зубцов, то ее не удастся заполнить уголками.

68. Сфера достижимости

Предложенная выше математическая модель озарения требует для своего более полного осуществления введения понятия «сферы дости- жимости». Мы опишем это понятие на примере следующей арифме- тической задачи.

Задача 4. По рации сообщили, что в далеком селе лежит тяже- лобольной геолог, нуждающийся в срочном лечении. Автомашина со специализированной аппаратурой может двигаться лишь со скоро- стью 60 км/ч. Поэтому одновременно с ней выслали машину скорой помощи (СП) (135 км/ч), которая сможет доехать до села за 2 ч 40 мин, заберет больного и сразу же поедет обратно на встречу со спецмашиной. Через сколько времени больному будет оказана помощь?

С помощью имеющихся в задаче данных можно:

А. Определить расстояние до села (для этого надо скорость СП 135 км/ч умножить на время 2 23 ч).

Б. Найти разность скоростей машин, т. е. узнать, на сколько отстает за час спецмашина от машины СП.

В. Узнать, во сколько раз быстрее едет машина СП по сравнению со спецмашиной.

Г. Найти сумму скоростей машин, т. е. узнать, на сколько кило- метров за час будут сближаться машины, когда они поедут навстречу друг другу.

Д. Узнать расстояние, пройденное спецмашиной к моменту, когда машина СП прибудет в село.

Е. Узнать, какую часть пути (от больницы до села) проезжает машина СП за час.

Каждое из этих данных можно получить в одно арифметическое действие, исходя из имеющихся данных (первый ярус, рис. 392).

С помощью полученных данных можно:

Ж. Определить (учитывая А), сколько времени нужно спецмаши- не, чтобы доехать до села.

З. Узнать (Б), на сколько километров отстанет спецмашина к тому времени, когда машина СП приедет в село (то же можно узнать из А и Д).

И. Узнать (В), какую часть всего пути проезжает спецмашина за час.

К. Узнать (А и Д), какую часть всего пути проехала спецмашина к моменту, когда машина СП приехала в село.

Л. Узнать (А и Г), на какую часть всего пути сближаются машины за час при движении навстречу друг другу.

Все это составляет второй ярус. Теперь (третий ярус, см. рис. 392) можно:

М. Узнать (З и Г), через сколько времени после выезда машины СП из села обе машины встретятся.

Н. Узнать (К или А и З), какую часть всего пути составляло расстояние между машинами в момент, когда машина СП прибыла в село.

О. Узнать (З), сколько еще времени (после приезда машины СП в село) потребуется спецмашине, чтобы доехать до села.

Аналогично строятся четвертый и следующие ярусы: П. Учитывая Н и Л, можно вновь найти М.

Р. Можно установить (М или П), через сколько времени после выезда машин из больницы они встретятся.

С. Можно узнать (Р), на каком расстоянии от больницы встрети- лись машины.

Т. Можно определить (А и С или М), на каком расстоянии от села встретились машины, и т. д.

Получается постепенно растущая область («сфера достижимос- ти»), которая сначала захватывает первый ярус, затем второй, третий и т. д. Путь решения задачи можно считать найденным, когда посте- пенно растущая сфера достижимости «поглотит» точку, изображаю- щую то, что спрашивается в задаче — в данном случае Р. К искомой точке можно прийти различными путями:

Б→ З → Г → М → Р;

А→ Д → З → Г → М → Р;

А→ Д → К → Н → Г → Л → П → Р;

Рис. 392 Рис. 393 Рис. 394

А → Д → З → Н → Г → Л → П → Р;

Б → З → А → Н → Г → Л → П → Р.

Каждый из этих путей схематически изображает путь решения задачи. Например, полное решение (с вычислениями), следующее пер- вому пути, можно изложить так.

машины СП из села расстояние между машинами равно 200 км. Но за каждый час машины будут сближаться на 135 + 60 = 195 (км). Сле- довательно, для встречи им понадобится 200:195 (ч), т. е. примерно 1 ч 2 мин. Таким образом, помощь больному будет оказана через 2 ч 40 мин + l ч 2 мин = 3 ч 42 мин.

Вернемся к вопросу об озарении. На первый взгляд кажется, что первому пути решения задачи соответствует схема на рис. 393 (жир- ная стрелка — озарение: «Теперь я и смогу узнать то, что требуется!»). Однако эта схема неполна. Возможно, схема рассуждения будет раз- ветвленной (рис. 394), содержащей боковые ветви (ложные попытки, уводящие в сторону и постепенно отбрасываемые).

На рис. 394 видно, что жирная стрелка, символизирующая озаре- ние, замыкает цикл, т. е. завершает замкнутый путь схематически изображенных мыслительных актов. До этого решающий делает шаги, не зная точно, по верному или ложному пути он следует (т. е. не может еще сказать, что он видит путь решения).

Еще одну иллюстрацию понятия сферы достижимости дает ста- ринная головоломка о переливании жидкостей.

Задача 5. Бак емкостью 8 литров доверху наполнен маслом (рис. 395). Имеются, кроме того, два пустых бака, имеющих емкости 5 литров и 3 литра. Как можно, пользуясь этими баками, отмерить точно 4 литра масла (рис. 396)?

Решение получается следующим образом. Сначала мы можем, например, заполнить пятилитровый бак. В самом большом остается

тогда 8 − 5 = 3 литра масла. А можно поступить и иначе: полностью

залить маленький бак (тогда в большем останется 5 л). Таким обра- зом, начальная позиция головоломки может быть обозначена запи- сью: А = (8; 0; 0), а после переливания получится одна из записей

(1) Б = (3; 5; 0), В = (5; 0; 3).

Это — первый ярус сферы достижимости.

Теперь, имея игровую позицию Б, мы можем из второго бака перелить масло в третий (самый меньший), наполняя его полностью.

Во втором баке останется 5 − 3 = 2 литра. Получается запись Г = (3; 2; 3). Аналогично можно найти и другие позиции, получаемые из Б, В. Они составляют второй ярус:

(2) Г = (3; 2; 3), Д = (0; 5; 3), Е = (5; 3; 0).

Далее мы можем достичь двух новых позиций, исходя из позиции

Г(сливая масло из меньшего бака в больший) или Е:

(3)Ж = (6; 2; 0), З = (2; 3; 3).

Четвертый ярус содержит две игровые позиции:

(4)И = (6; 0; 2), К = (2; 5; 1),

апятый — позиции

(5)Л = (1; 5; 2), М = (7; 0; 1).

Дальнейшие переливания дают шестой ярус:

(6)Н = (1; 4; 3), О = (7; 1; 0),

азатем седьмой:

(7)П = (4; 4; 0), Р = (4; 1; 3).

Растущая сфера достижимости дошла до требуемой позиции П, это и дает решение задачи (рис. 396). Решение можно, таким образом, получить двумя путями:

А → Б → Г → Ж → И → Л → Н → П;

или

А → В → Е → З → К → М → О → Р → П.

Рис. 399 Рис. 400

Аналогичным образом решается задача в случае, если имеется бак вместимостью 12 литров, наполненный маслом, и два пустых бака 7 и 5 литров (или, вообще, бак вместимостью 4n литров, наполненный

маслом, и два пустых бака вместимостью 2n + 1 и 2n − 1 литров). Возможны и другие задания.

Интересна головоломка, известная под названием «Игра Люка». Она также может быть проиллюстрирована понятием сферы дости- жимости. В самом простом варианте она формулируется так.

Задача 6. Имеется пятиклеточная доска, на которой стоят 2 белых шашки и 2 черных (рис. 397). За один ход разрешается либо передвинуть шашку на свободное соседнее поле, либо перепрыгнуть через одну шашку на свободное поле (перепрыгивать можно через шашку любого цвета, причем друг друга шашки не «едят»). Сколько ходов нужно, чтобы поменять местами белые и черные шашки?

Решение можно осуществить за 8 ходов (рис. 398), т. е. на вось- мом ярусе сферы достижимости.

Можно предложить более сложный вариант игры с 6 шашками (рис. 399, 15 ходов) или еще более сложный с 8 шашками (рис. 400). Маленькое указание для нахождения наиболее коротких решений: не следует прыгать через шашку того же цвета.

С головоломкой «Ханойская башня» связана старинная буддий- ская легенда. В старинном храме укреплены три стержня, инкрусти- рованные бриллиантами. На первом стержне нанизаны 64 золотых диска — внизу самый большой, а следующие — все меньше и меньше. Жрецы храма должны без устали перекладывать диски с одного стержня на другой по определенным правилам. И когда, следуя этим правилам, они перенесут все диски с первого стержня на третий, наступит конец света.

А правила, которым должны следовать жрецы, заключаются в следующем. За один прием разрешается перекладывать только один диск (т. е. сразу два или большее число дисков перекладывать не