66. Полнота аксиоматики

280 Беседа 13. Непротиворечивость, независимость, полнота

тивной группе целых чисел, ни аддитивной группе действительных чисел.

Итак, аксиоматика коммутативной группы является неполной. Легко видеть, что аксиоматика метрического пространства также не является полной. Существуют метрические пространства, состоящие из конечного числа точек. Например, определив в множестве

M = {a, b, c} расстояния соотношениями d(a, b) = d(a, c) = d(b, c) = 1 (и, разумеется, считая, что расстояние между двумя совпадающими точ- ками равно нулю), мы получаем метрическое пространство, содержа- щее лишь три точки (проверка аксиом метрического пространства не представляет труда). Как мы видели в п. 58, вся плоскость представ- ляет собой метрическое пространство. Прямая — тоже метрическое пространство. Все эти модели метрического пространства не изо- морфны между собой, и это показывает, что система аксиом метри- ческого пространства не является полной.

В п. 57 мы говорили, что список аксиом геометрии, предложен- ный Евклидом, был неполным. Тогда это утверждение имело инту- итивно понятный смысл. Но теперь мы можем придать этому утвер- ждению точный математический смысл. Именно, система аксиом Гильберта является полной, т. е. любые две модели геометрии, по- строенные с учетом всех аксиом Гильберта, изоморфны. Если же мы возьмем лишь часть из этих аксиом, то можем получить неполную аксиоматику. В частности, отбросив аксиому измерения, предложен- ную Архимедом, мы получаем систему аксиом, допускающую в ка- честве моделей не только евклидову геометрию, но и различные неархимедовы геометрии. Отсутствие аксиом расположения (включа- ющих описание термина «точка лежит между двумя другими», а также аксиомы Паша, о которой речь шла в п. 62) также приводит к существованию моделей, не изоморфных евклидовой. К их числу относятся, например, проективные геометрии.

Наконец, отбрасывание пятого постулата (аксиомы параллель- ности) дает весьма интересную систему аксиом, которая описывает так называемую абсолютную геометрию. К ней относятся все теоремы геометрии, доказываемые без использования аксиомы параллельнос- ти: свойства равнобедренного треугольника, свойства перпендикуля- ров и наклонных, упоминавшуюся в п. 53 теорему о том, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, и т. д. Аксиоматика абсолютной геометрии неполна. В самом деле, геометрия Евклида и геометрия Лобачевского представляют собой две неизоморфные модели абсолютной геометрии, т. е. в обеих этих геометриях все положения абсолютной геометрии имеют место. Можно сказать, что абсолютная геометрия — это и есть все то общее, что имеется в геометриях Евклида и Лобачевского.

Заметим в заключение, что полные и неполные аксиоматики име- ют принципиально различную значимость. Гильбертова аксиоматика геометрии полна. Она описывает только одну, с точностью до изо- морфности, модель, т. е. дает построение одной ветви знания. Смысл

ее в том, что эта ветвь знания (в данном случае евклидова геометрия) получает свое до конца аксиоматизированное изложение, до конца выясненную логическую структуру. И как только аксиоматизация (в этом смысле, т. е. вплоть до получения полной системы аксиом) за- кончена, эта ветвь знания близка к своему полному завершению. Иными словами, если в этой науке (евклидовой геометрии) и возни- кают новые идеи, методы, понятия, то они выделяются в отдельную новую ветвь науки. Примерами могут служить топология, теория графов, дифференциальная геометрия, теория выпуклости, дискрет- ная (или, иначе, комбинаторная) геометрия и другие ветви геометрии. Но в своем типичном понимании (в духе элементарной геометрии) рамки евклидовой геометрии с завершением ее полной аксиоматиза- ции закрываются. И если появляются (трудами учителей и любителей математики) новые теоремы, относящиеся именно к евклидовой гео- метрии, они не делают погоды. Наука эта завершена. Обычно так и бывает: завершенная, в основном, в своем развитии наука получает в качестве венца свою полную аксиоматику. Кроме евклидовой гео- метрии, другим примером является теория действительного числа.

Совершенно иную роль играют неполные аксиоматики, и об этом мы уже частично говорили в п. 58 в связи с метрическими простран- ствами. Неполная аксиоматика имеет неизоморфные модели, имеет различные реализации в других областях знания. Например, теория групп применяется в ядерной физике, кристаллографии, математичес- кой экономике и других науках, не говоря уже о многих разделах самой математики. Понятия и факты теории групп, один раз разра- ботанные, многократно живя новой жизнью в других разделах зна- ния, являются важными кирпичами и блоками, используемыми при возведении зданий других наук.

И еще одно замечание о математической логике. Мы впоследст- вии будем иметь случай говорить о системе аксиом Цермело—Френ- келя, служащей ее базой. Эта система аксиом неполна. И, подобно тому как, добавляя к аксиомам абсолютной геометрии либо евклидо- ву аксиому параллельности, либо ее отрицание (т. е. аксиому Лоба- чевского), мы получаем разные геометрии, так и в математической логике добавление к аксиоматике Цермело—Френкеля новых поло- жений дает «разные логики». В XX веке появилась замечательная работа Поля Коэна, который установил, что можно добавить к акси- омам Цермело—Френкеля либо аксиому выбора, либо ее отрицание, и в обоих случаях мы получим две «логики», которые в одинаковой степени непротиворечивы. Точнее, хотя их непротиворечивость до конца не установлена, но если принять непротиворечивость одной, то непротиворечива и другая, и обратно. Это в какой-то мере напо- минает положение дел в геометрии. Аксиоматика абсолютной геомет- рии неполна. Добавляя к этой геометрии либо аксиому параллель- ности, либо ее отрицание, мы получаем две различные геометрии (Евклида или Лобачевского), которые в одинаковой степени непро- тиворечивы, т. е. если принять непротиворечивость одной, то непро- тиворечива и другая.

Глава IV. ПОИСК РЕШЕНИЙ Беседа 14. Инсайт

67. Цикл озарения

Математическая логика вовсе не отвечает на вопрос, как мы мыслим при решении задач. По существу, математическая логика позволяет оформить уже найденное решение в таком виде, что мы можем убедить другого человека в правильности решения: шаг за шагом рассуждение проверяется на его строгость, логическую безу- пречность, и в конце доказательства получается подтверждение уста- новленного факта. Но когда мы ищем еще не известное нам решение, ищем путь решения, мы, как правило, мыслим иначе. Как именно? На это должна ответить еще не созданная «математическая психология».

Условимся считать, что задания делятся на упражнения и задачи. Непременным условием того, чтобы задание можно было считать упражнением, является указание (явное или неявное) о способе его выполнения. Решающий должен быть осведомлен (перед выполнени- ем упражнения или группы упражнений), хотя бы в общих чертах, о характере той деятельности, которую он должен выполнить, — иначе это не будет упражнением.

Иногда указание о способе выполнения включается в текст уп- ражнения. Например: «Применяя формулу квадрата суммы или раз-

ности двух чисел, вычислите 212, 182, 322, 982». Здесь указание о применении формулы (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 сформулировано явно,

чтобы избежать типичной ошибки: для вычисления, например 322, производится умножение 32 32 «в столбик», что представляет собой (при изучении алгебры) пустую трату времени и сил. В большинстве же случаев указание о способе выполнения в текст упражнения не включается. Однако тот факт, что это упражнение дается после того, как на предыдущих уроках был изучен определенный теоретический материал, является, как правило, неявным указанием на необходи- мость применить при выполнении упражнения именно этот материал.

Но помимо знания правил, необходимых для выполнения упраж- нения, обучаемый должен обладать определенной культурой, харак- теризующей уровень уже имеющихся у него знаний. Итак, опреде- ленный уровень знаний плюс четко очерченный круг применяемых правил (законов) — вот что характеризует упражнение. Как правило, при выполнении упражнения применение этих законов является стан- дартным, типичным.

Заметим, что обычно выполнение упражнения вовсе не сводится к одному мыслительному акту, а представляет собой определенную

деятельность. Так, при нахождении числа 322 требуется, во-первых, представить себе, что число 32 надо записать в виде суммы или разности. Во-вторых, надо фактически осуществить такую запись: 32 = 30 + 2. В-третьих, надо уточнить, что здесь сумма (а не раз-

ность), так что надо применить именно формулу квадрата суммы. В-четвертых, надо подставить в эту формулу конкретные значения:

322 = 302 + 2 30 2 + 22. Наконец, в-пятых, надо произвести подсчет в правой части последнего равенства, чтобы получить окончательный

ответ: 322 = 1024. Вначале учащийся выполняет все эти операции обособленно, сознательно контролируя каждую из них. Однако после нескольких однотипных упражнений как бы «сразу» выполняются лишь двух последние из описанных выше операций. В действитель- ности же это лишь означает, что навык в выполнении упражнений такого типа приобретен, в результате чего первые три операции выполняются свернуто, автоматизированно.

В отличие от упражнения задача носит более творческий характер. Разумеется, различие между упражнениями и задачами условно и в значительной степени субъективно. Вопрос о том, «стандартный» или «творческий» характер имеет определенное задание, зависит от склон- ностей, знаний, уровня общей культуры человека, выполняющего его. Более того, один и тот же человек после решения достаточного числа сходных между собой задач будет склонен относить их к разряду упражнений, так как они утратят для него творческий характер. И все же, несмотря на условность и относительность деления заданий на упражнения и задачи, между первыми и вторыми есть существен- ная разница. Решение задачи расчленяется на несколько отдельных этапов, проведение каждого из которых сводится к выполнению оп- ределенного упражнения, существенно более простого, чем вся задача в целом. Иными словами, для решения задачи нужно сформулировать и выполнить несколько упражнений в определенной (заранее не ука- занной) последовательности. При этом трудность решения задачи заключается не только (и не столько) в том, что надо выполнить несколько упражнений; основная трудность состоит в отыскании необходимой последовательности тех упражнений, выполнение кото- рых ведет к решению задачи. Даже если выполнение упражнений, которые могут понадобиться, доведено до стадии навыка, вопрос о том, какие упражнения и в какой последовательности (подчас совер- шенно неожиданной) нужно выполнить для решения задачи, остается основным и нетривиальным.

Каждый из нас многократно наблюдал такую картину. Решаю- щий долго и напряженно думает над задачей (скажем, по физике). Вдруг вспышка, озарение, инсайт (insight в переводе с английского как раз и означает «озарение»). Откуда-то в сознании появляется путь решения задачи, «видна» та последовательность упражнений, кото- рую надо выполнить, чтобы получить решение задачи. Что же про- изошло, что означает это озарение? Попытаемся ответить на этот вопрос. Точнее, попытаемся построить математическую модель оза- рения. Разумеется, озарение — сложный мыслительный процесс. Предлагаемая модель (как, впрочем, и любая другая) огрубляет его, приближенно имитируя основные черты. Однако применение этой

модели будет полезно при решении задач. Для пояснения предлагае- мой модели озарения рассмотрим следующую задачу.

Задача 1. Доказать тождество

Замечаем, что 40° — это двойной угол по отношению к 20°. В связи с этим вспоминаем, что имеются специальные формулы синуса и косинуса двойного угла. Применить формулы для синуса двойного

угла sin 2α = 2sin α cos α можно было бы, если домножить выражение на sin 20° (так как cos 20° там уже есть). А чтобы выражение не изменилось, надо не только умножить, но и разделить на sin 20°. Таким образом, у нас в сознании осуществился переход от первона- чально поставленной задачи (1) к новой ее формулировке:

Но теперь мы видим, что можно еще раз применить формулу синуса двойного угла, т. е. переписать доказываемое равенство в виде

И опять можно уже в третий раз применить формулу синуса двойного угла, хотя мы с опаской замечаем, что величины углов увеличиваются. Все же двигаемся дальше, т. е. переписываем доказы- ваемое равенство в виде

До сих пор хотя мы и рассуждали в нужном для решения задачи направлении, но не могли еще сказать, что он уже нашли решение. И вдруг — эврика! — в числителе и знаменателе сумма углов равна

180°, и потому sin 160° = sin (180° − 160°) = sin 20°, что и завершает доказательство требуемого равенства.

Структурная схема рассуждений показана на рис. 384. Здесь за- штрихованный прямоугольник обозначает исходный уровень знаний, а кружками обозначены формулировки, указанные в проведенном выше рассуждении. Пунктирная стрелка ведет к постановке задачи, тонкие сплошные стрелки показывают логические связи, постепенно

накапливаемые в процессе рассуждения, жирная стрелка символизи- рует озарение, инсайт. Она замыкает цикл: именно замыкание цикла на структурной схеме, изображающей ход рассуждения, характеризу- ет озарение.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Задача 2. Замостить фигуру на рис. 385, содержащую 18 квадра- тиков, с помощью «уголков».

Решение осуществляется в несколько приемов. Например, уложив один кирпичик («прикинув», как он может располагаться в целой фигуре, рис. 386), мы уже осуществляем один шаг, как бы заменив исходную задачу другой, более простой, в которой требуется выло- жить кирпичиками меньшую фигуру (рис. 387). Тем самым наша задача преобразована в другую, тесно связанную с первоначальной, но все же другую. Теперь у нас меньший простор, меньшая по пло- щади фигура и мы делаем выводы о путях дальнейшего решения.

Осуществляя такие шаги, постепенно можно прийти к отысканию решения, последовательно продвигаясь по более и более простым фигуркам к игровой ситуации, уже допускающей очевидное разреше- ние, либо возвращаясь назад (полностью или частично), если некото- рая подпоследовательность шагов заводит попытку решения в тупик (рис. 388), и продвигаясь вперед другими шагами (рис. 389).

Схематически процесс решения можно изобразить в виде графа (дерева, рис. 390), в котором кружки изображают последовательно перебираемые игровые ситуации, каждая стрелка символизирует не- который шаг рассуждения, нижний прямоугольник задает условие задачи, а штриховая линия ведет к искомой ситуации, т. е. изобра- жает желаемое решение задачи. На рис. 390 показана не только пос- ледовательность стрелок, прямо ведущая к решению, но также побоч- ные пути, которые заводят игрока в тупиковые ситуации. А жирная стрелка — инсайт, озарение. Она схематизирует заключительный шаг