64. Модель геометрии Лобачевского

несколько лет позже первой книги Лобачевского. Впоследствии Бойяи узнал о трудах Лобачевского и специально изучал русский язык, чтобы их прочитать, поскольку он опасался, что его обманы- вают, ссылаясь на какого-то русского, чтобы не признавать открытие, сделанное Бойяи.

Гаусс не опубликовал ни одной работы, относящейся к неевкли- довой геометрии. То, что он владел идеями Лобачевского, было обнаружено лишь после смерти ученого при изучении его архива. Неподготовленность математического мира к восприятию этих идей была настолько велика, что даже гениальный Гаусс, к мнению кото- рого прислушивались все, не рискнул опубликовать свои работы или выступить открыто в поддержку Лобачевского. Свое отношение к научному подвигу русского ученого он выразил тем, что добился избрания Лобачевского членом-корреспондентом Геттингенского ко- ролевского научного общества. Это была единственная научная по- честь, которая выпала на долю Лобачевского при жизни.

Признание открытия Лобачевского пришло во второй половине XIX в., после появления работ итальянского математика Эудженио Бельтрами, английского математика Артура Кэли, немецкого мате- матика Феликса Клейна, французского математика Анри Пуанкаре.

Лобачевский был абсолютно уверен, что сколько бы новых тео- рем ни доказывалось, никаких противоречий в его геометрии обна- ружено не будет, но доказательства внутренней непротиворечивости своей геометрии он так и не представил. Такое доказательство было дано в работах названных выше ученых. Каждый из них построил модель геометрии Лобачевского. В частности модель, построенная в работах А. Кэли и Ф. Клейна, может быть описана следующим об- разом.

Рассмотрим в евклидовой плоскости круг K. В модели Кэли— Клейна рассматриваются только точки, лежащие внутри этого круга (а точки граничной окружности и точки, лежащие вне круга, не рассматриваются). Под «прямыми линиями» в этой модели понима- ются всевозможные хорды круга K. В этой модели можно говорить о пересекающихся и непересекающихся прямых (на рис. 378 «прямые» a и b пересекаются, а a и c и также b и c не пересекаются). Непосред- ственно проверяется, что в рассматриваемой модели выполняется аксиома: через две точки можно провести прямую, и притом только одну (рис. 379). Расстояния между точками и величины углов опре-

деляются в модели Кэли—Клейна весьма сложными формулами. Но когда эти формулы были найдены, удалось проверить, что и все остальные аксиомы евклидовой геометрии, кроме аксиомы парал- лельности, в модели Кэли—Клейна также выполняются. Остается рассмотреть вопрос об аксиоме параллельности. Если бы оказалось, что в этой модели справедлива евклидова аксиома параллельности, то мы имели бы лишь еще одну модель все той же евклидовой геометрии. Если же в этой модели евклидова аксиома параллельности не выполняется, то перед нами — модель геометрии Лобачевского.

Легко видеть, что в рассматриваемой модели реализуется именно второй случай: через точку A, взятую вне l, проходит более одной «прямой», не пересекающейся с l (рис. 380). Таким образом, в модели Кэли—Клейна реализуется геометрия Лобачевского.

Как мы уже отмечали, длины отрезков и величины углов выра- жаются в модели Кэли—Клейна довольно сложными формулами. Поэтому хотя «прямая» изображается в модели Кэли—Клейна огра- ниченным отрезком, на ней можно откладывать отрезки любой «длины». Точно так же, хотя треугольники в модели Кэли—Клейна похожи на обычные евклидовы треугольники, сумма углов треуголь- ника в этой модели, вычисленная по относящимся к этой модели

формулам, оказывается меньше π.

Построение модели Кэли—Клейна полностью решило вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского. В самом деле, каждая теорема геометрии Лобачевского интерпретируется в этой модели в виде некоторого утверждения, касающегося точек и хорд круга K. И если бы в геометрии Лобачевского существовало какое-либо внут- реннее противоречие, это означало бы, что мы можем прийти к противоречию, рассуждая о точках и хордах круга K в обычной евклидовой плоскости. Поэтому если мы не сомневаемся в непроти- воречивости геометрии Евклида, то мы обязаны признать, что и геометрия Лобачевского является столь же непротиворечивой.

Этим была полностью решена проблема пятого постулата: евкли-

дова аксиома параллельности не может быть доказана на основе остальных аксиом геометрии. Действительно, все остальные аксиомы, кроме пятого постулата, выполняются как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского, но в одной из них аксиома парал- лельности имеет место, а в другой нет. Иными словами, аксиома параллельности (или пятый постулат Евклида) является независимой от остальных аксиом геометрии.

65. Изоморфизм моделей

Каждая модель представляет собой множество, на котором зада- ны один или несколько предикатов. Рассмотрим, например, понятие коммутативной группы. На множестве всех элементов коммутатив-

ной группы задан один предикат p(a, b, c) ≡ (a + b = c). В группе Z def

целых чисел высказывание p(2, 3, 5) истинно (т. е. 2 + 3 = 5), а вы-

сказывание p(3, 5, 7) ложно. И заданием этого предиката p (от трех переменных) операция сложения в группе полностью определяется.

В геометрии на плоскости рассматривается много предикатов. Например, обозначим через α(X, y) утверждение: «точка X принадле-

жит прямой y», т. е. α(X, y) ≡ (X y). Это — предикат от двух пере- def

менных; для прямых и точек, изображенных на рис. 381, мы можем с помощью этого предиката (подставляя те или иные точки и прямые)

получить ряд высказываний: α(A, l ) — истинно; α(A, m) — истинно; α(A, p) — ложно; α(B, l ) — истинно; α(B, m) — ложно и т. д.

Еще один геометрический предикат β задается утверждением «прямые y1 и y2 имеют общую точку» (т. е. их пересечение непусто):

β(y1, y2) def≡ (y1 I y2 ≠ ). Для прямых на рисунке 381 высказывание β(l, m) истинно, а высказывание β(l, p) ложно.

Можно также рассмотреть геометрический предикат «точка C расположена между A и B» (т. е. точки A, B, C лежат на одной прямой и при этом точка C принадлежит отрезку AB). Обозначим

этот предикат через γ(A, B, C). Например, на рис. 382 высказывание

γ(A, M, P) истинно (т. е. P лежит между A и M), а высказывания

γ(A, P, M) и γ(B, M, P) ложны.

Между прочим, шесть прямых и семь точек, показанные на рис. 382, представляют собой модель, в которой выполняется аксиома «из трех точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна расположена между двумя другими». Однако в этой модели аксиома «через каждые две точки проходит прямая» не выполняется (напри- мер, через точки M и N в этой модели не проходит прямая). Иначе

говоря, если мы обозначим через σ(X, Y) предикат «через точки X,

Y проходит прямая», то высказывание (> X, Y) σ(X, Y) в рассматри- ваемой модели ложно. В обычной же (евклидовой) геометрии выска- зывание (> X, Y) σ(X, Y) истинно (т. е. через любые две точки X, Y проходит прямая).

Добавим, однако, к модели, изображенной на рис. 382, еще одну линию — окружность, проходящую через точки M, N, Q (рис. 383) и условимся эту окружность также считать «прямой». В получающейся

модели высказывание (> X, Y) σ(X, Y) уже будет истинным.

Рассмотренные примеры позволяют дать общее описание весьма важного понятия изоморфизма моделей. Условимся записью

<A; α, β, γ> выражать тот факт, что рассматривается модель, пред-

ставляющая собой множество A, на котором заданы предикаты α, β, γ. Две модели <A; α, β, γ, ...> и <A′; α′, β′, γ′, ...> условимся называть подобными, если, во-первых, число предикатов в первой модели равно числу предикатов во второй модели, и, во-вторых, предикат α зависит

от стольких же переменных, что и предикат α′, предикат β зависит от стольких же переменных, что и предикат β′ и т. д.

Например, модели, изображенные на рис. 382 и 383, подобны, если в каждой из них рассматриваются три предиката:

ρ(X) ≡ {X есть точка}; def

τ(x) ≡ {x есть прямая}; def

σ(X, Y) ≡ {через точки X и Y проходит прямая}. def

При этом модель на рис. 382 задана на множестве, состоящем из 13 элементов (7 точек и 6 прямых), а модель на рис. 383 задана на множестве, содержащем 14 элементов (7 точек и 7 прямых).

Две подобные модели <A; ρ, τ, σ, ...> и <A′; ρ′, τ′, σ′, ...> называют- ся изоморфными, если можно установить такое взаимно однозначное соответствие f: A → A′ между множествами A и A′, что при отобра-

жении f, так же как и при обратном отображении f −1, сохраняется истинность высказываний. Иначе говоря, высказывание ρ(a) истинно тогда и только тогда, когда истинно ρ′(f(a)), высказывание σ(a, b) истинно тогда и только тогда, когда истинно σ′(f(a), f(b)) и т. д.

Например, модели на рис. 382 и 383 не изоморфны, поскольку первая из них задана на множестве A, содержащем 13 элементов, а

вторая — на множестве A′, содержащем 14 элементов, так что уста-

новить между A и A′ взаимно однозначное соответствие не удастся. Но если бы даже мы не обратили внимание на число элементов в множествах A и A′, мы могли бы указать и другую причину, по которой эти модели не изоморфны: в первой из этих моделей выска- зывание (> т. X, Y) σ(X, Y) ложно, тогда как во второй модели оно истинно.

А теперь приведем примеры изоморфных моделей. Обозначим через R модель, состоящую из всех действительных чисел, для ко-

торых мы рассмотрим только один предикат p(a, b, c) ≡ (a + b = c). def

Далее, через R′ обозначим множество всех положительных действи- тельных чисел, для которых мы рассмотрим только один предикат

p′(a, b, c) ≡ (ab = c). def

Например, высказывания p(1, −5, −4), p′(√2 , √3 , √6 ) истинны, а вы- сказывания p(1, 2, 4), p′(2, 2, 5) ложны.