вывода, лежащие в основе математической логики? Мы здесь отметим лишь, что, согласно теореме, доказанной в начале XX столетия ав- стрийским логиком Куртом Гёделем (1906 – 1978), в любой аксиома- тической теории можно сформулировать теорему, которая не может быть ни доказана, ни опровергнута в пределах этой теории, без выхода за границы этой теории. Так что с чего-то все-таки надо начинать!

Всвязи с этим иногда произносят сакраментальную фразу: «В непротиворечивости теории натуральных чисел нас убеждает много- вековая история науки». Пусть эта фраза служит читателю утеше- нием!

62.Построение аксиоматики геометрии

Вотличие от ранее рассматривавшихся аксиоматических теорий геометрия принадлежит к числу наиболее сложно аксиоматизируемых разделов математики. Система аксиом, впервые предложенная Евк- лидом, не давала окончательного решения вопроса. Мы отложим до следующего пункта проблему существования неевклидовых геометрий, связанную с V постулатом Евклида (или аксиомой о параллельных). Здесь же мы рассмотрим вопрос о пополнении евклидова списка евк- лидовых аксиом, оказавшегося явно недостаточным.

Дело в том, что Евклид, доказывая ту или иную теорему, нередко обращался к чертежу и аргументировал свои доводы словом «Смотри!». Напри- мер, вычисляя длины отрезков, на кото- рые в прямоугольном треугольнике де- лится гипотенуза, к которой из вершины прямого угла проведен перпендикуляр (рис. 368), Евклид, нимало не сумнящеся,

говорил, что основание перпендикуляра (точка P) лежит «между» концами гипоте- нузы.

Но что значит «между»? Проще всего сказать, что это одно из первоначальных, неопределяемых понятий геометрии. Но тогда надо указать аксиомы, описывающие свойства этого понятия — иначе мы не сможем о нем рассуждать! Ведь «Смотри!» или «очевидно, что» для строгой, аксиоматической теории неуместны.

Такими аксиомами могут быть, например, следующие.

Из трех точек на прямой одна и только одна находится между двумя другими.

Если точка C находится между A и B, а точка D находится между A и C, то D находится между A и B.

Легко дать иллюстрации этих аксиом: именно лишь иллюстрации, т. е. что-то вроде утешения для наших наглядных представлений (чтобы не было очень сухо и абстрактно), а вовсе не «подтвер- ждения», «доказательства», «обоснования» и т. п. Ведь в аксиома- тической теории все утверждения должны либо быть объявлены аксиомами, либо должны быть получены строгими логическими рас-

геометрии. Гильберт также доказал непротиворечивость этой аксио- матики. Точнее, он доказал, что из материала теории действительных чисел можно построить модель геометрии Евклида. Значит, если тео- рия действительных чисел признается непротиворечивой, то, как по- казывает построенная Гильбертом модель, геометрия Евклида также лишена противоречий. Что же касается теории действительных чисел, то ее непротиворечивость (как показывают модели, построенные Кан- тором и Дедекиндом) сводится к непротиворечивости рациональных чисел, а это, как мы видели, сводится к непротиворечивости теории натуральных чисел. Этим проблема непротиворечивости геометрии Евклида была решена.

Однако с появлением книги Гильберта работа по аксиоматизации геометрии вовсе не завершилась. Дело в том, что одна и та же теория может быть построена на основе различных систем аксиом. Это легко понять на примере аксиоматики коммутативной группы.

Выше были указаны четыре аксиомы коммутативной группы. Однако можно было бы определить коммутативную группу при по- мощи другой системы аксиом, содержащей следующие три аксиомы.

Аксиома 1*. (> a, b G) (a + b = b + a).

Аксиома 2*. (> a, b, c G) ((a + b) + c = a + (b + c)). Аксиома 3*. (> a, b G) (?! x G) (a + x = b).

Нетрудно понять, что эта аксиоматика эквивалентна той, которая была указана ранее. В самом деле, аксиома 1* и аксиома 2* просто совпадают с аксиомами 1 и 2. Аксиома 3* выводится как теорема из аксиом 1 – 4 (мы это видели в п. 59).

Таким образом, если выполняются аксиомы 1 – 4, то выполняют- ся и аксиомы 1* – 3*. В свою очередь, из аксиом 1* – 3* можно вывести в качестве теорем утверждения аксиом 1 – 4.

Например, покажем, как выводится аксиома 4. Применяя аксиому 3* к случаю b = 0, получаем, что для любого элемента a существует

и притом только один элемент x G, для которого a + x = 0, а это и есть аксиома 4.

Из сказанного видно, что все выводы, которые можно получить из аксиом 1 – 4, можно также получить из аксиом 1* – 3*, и наобо- рот. Таким образом, понятие коммутативной группы может быть определено по-разному: либо с помощью аксиоматики 1 – 4, либо с помощью аксиоматики 1* – 3*.

Аналогично дело обстоит и с аксиоматикой геометрии: могут быть построены разные системы аксиом, задающие одну и ту же теорию — геометрию Евклида. Это выяснилось уже в конце XIX в. В это время, одновременно с гильбертовской аксиоматикой, были предложены и другие системы аксиом евклидовой геометрии. Одна из них была предложена в 1899 г. М. Пиери, другая, чуть позже, — нашим соотечественником В. Ф. Каганом.

Работа по усовершенствованию аксиоматики геометрии продол- жалась и в XX столетии. В 1911 г. Ф. Шур предложил аксиоматику, отличавшуюся от гильбертовской тем, что вместо аксиом конгруэн-

тности (III группа аксиом Д. Гильберта) он ввел аксиомы движений. Таким образом, аксиоматика Ф. Шура оказывается ближе к идеям Ф. Клейна, чем гильбертовская аксиоматика, и в этом смысле более прогрессивной.

Наиболее интересная с современной точки зрения аксиоматика была предложена выдающимся немецким математиком Германом Вейлем (1885 – 1955) в его книге «Пространство, время, материя», вышедшей в 1918 г. Вместо точек и прямых в качестве первоначаль- ных неопределяемых понятий Г. Вейль принимает точки и векторы, а среди его аксиом имеются, в частности, аксиомы, указывающие свойства суммы векторов, произведения вектора на число, скалярного произведения векторов. Таким образом, многие из свойств операций над векторами, которые при обычном изложении геометрии доказы- ваются, в аксиоматике Г. Вейля принимаются в качестве аксиом. Это позволяет значительно легче и короче (чем при использовании других аксиоматик) осуществить построение курса геометрии.

Когда-то царь Птолемей потребовал, чтобы Евклид указал ему «царский путь» в геометрии, ибо царю негоже идти тем же путем, что и все, а ему надлежит быстро достичь вершин знания: он ведь царь! Евклид ответствовал, что такого пути нет. Чтобы постичь геометрию, царь должен, как и прочие смертные, решать задачи и доказывать одну теорему за другой. Но вейлевская аксиоматика поистине откры- вает царский путь в геометрию, короче и яснее вводит понятия и факты.

К тому же, в отличие от аксиоматики Гильберта, направленной всецело в прошлое (как завершить дело, начатое свыше двух тысяче- летий назад Евклидом?), аксиоматика Г. Вейля направлена в будущее

— она связывает геометрию с теорией векторных пространств и

другими разделами современной математики, применяемыми в физи- ке, химии, математической экономике, биологии и других науках.

63. Геометрия Лобачевского

Как уже отмечалось, система аксиом геометрии, впервые предло- женная Евклидом, не давала окончательного решения вопроса. Уточ- нение аксиоматики Евклида шло не только по линии добавления недостающих аксиом. После того как было обнаружено, что аксиома «Все прямые углы равны между собой» является ненужной (т. е. может быть доказана как теорема с помощью остальных аксиом), были сделаны попытки определить, нет ли у Евклида и других «лиш- них» аксиом. Особое внимание математиков привлекал пятый посту- лат Евклида. Этот постулат, который у самого Евклида формулиро- вался довольно сложно, в XIX в. был заменен следующей аксиомой параллельности.

Пусть в плоскости даны прямая и лежащая вне этой прямой точка, тогда через эту точку можно провести к данной прямой только одну параллельную прямую.

Иначе говоря, если точка A не принадлежит прямой l, то (в плоскости, содержащей l и A) существует не более одной прямой p,

для которой истинно (A p) (l I p = ) (рис. 370).

По сравнению с другими аксиомами Евклида, аксиома параллель- ности формулируется наиболее сложно. Многие теоремы Евклида выражают гораздо более простые факты, например: «в равнобедрен- ном треугольнике углы при основании конгруэнтны». Неудивительно, что многие математики, жившие после Евклида, пытались доказать, что эта аксиома является лишней, т. е. может быть доказана как теорема на основании остальных аксиом. Среди математиков, рабо- тавших над разрешением загадки пятого постулата, были Д. Саккери (XVIII в.), И. Ламберт (XVIII в.), Жан Бертран (XIX в.), А. Лежандр (XVIII – XIX вв.) и др. Особенно интересны работы французского математика Лежандра. Его перу принадлежит учебник геометрии, представляющий собой переработку евклидовых «Начал». Этот учеб- ник неоднократно переиздавался. Почти в каждом издании своего учебника Лежандр помещал доказательство пятого постулата, однако после выхода книги выяснялось, что опубликованное доказательство ошибочно. В следующем издании Лежандр помещал новое доказа- тельство. И хотя среди опубликованных Лежандром доказательств не оказалось ни одного верного, тем не менее его работы прояснили кое-что в проблеме пятого постулата.

Заслуга решения проблемы пятого постулата принадлежит наше- му замечательному соотечественнику, профессору Казанского универ- ситета Николаю Ивановичу Лобачевскому. Первоначально он пытал- ся, как и его предшественники, доказать пятый постулат Евклида, исходя из остальных аксиом. С этой целью он попробовал провести рассуждения методом доказательства «от противного».

Исходную идею Лобачевского можно изложить следующим обра- зом. Рассмотрим в плоскости прямую l и не принадлежащую ей точку A. Проведем из точки A перпендикуляр AC к прямой l и луч AB, перпендикулярный AC (рис. 371). Рассмотрим некоторый луч AM, пересекающий прямую l в точке M. Меру угла CAM обозначим через

α. Будем теперь неограниченно удалять точку M от точки C по прямой l (так что точка M будет пробегать положения M1, M2, ...).

Угол α будет при этом возрастать, оставаясь все время меньше π/2. При неограниченном удалении точки M по прямой l луч будет все

более приближаться к некоторому предельному положению AN, при- чем логически могут представиться две возможности:

1) луч AN совпадает с лучом AB;

2) луч AN составляет с лучом AB некоторый острый угол.

Первый случай соответствует аксиоме параллельности: AB явля- ется единственной прямой, проходящей через точку A и не пересекаю- щей l.

Посмотрим теперь, какое положение вещей мы имеем во втором случае. Обозначим меру острого угла CAN через γ (рис. 372). Луч AN отделяет лучи, пересекающие прямую l, от лучей, не пересекаю- щих ее. Иначе говоря, всякий луч p, исходящий из точки A и прохо- дящий внутри угла CAN, пересекает прямую l, а всякий луч q, про- ходящий внутри угла BAN, не пересекает ее. Сам же луч AN также с прямой l не пересекается. Если теперь продолжить луч AN за точку

A и построить прямую AN′, симметричную AN относительно AC, то получим при точке A две пары вертикальных углов (рис. 373). Всякая прямая, проходящая через точку A и расположенная внутри пары

вертикальных углов NAN′ и KAK′, пересекается с l. Прямые же, проходящие через точку A и расположенные внутри пары вертикаль- ных углов NAK′, N′AK, не пересекаются с l.

Для того, чтобы доказать справедливость пятого постулата Евк- лида, нужно было бы установить, что случай, изображенный на рис. 373, невозможен.

Проводя доказательство «от противного», т. е. допуская, что имеет место случай, показанный на рис. 373, Лобачевский начал выводить различные следствия из этого допущения, надеясь, что рано или поздно он придет к противоречию, чем и завершится доказатель- ство пятого постулата. Однако он доказал много десятков теорем, вытекающих из сделанного им допущения, не обнаружив при этом никаких логических противоречий. Доказанные Лобачевским теоре- мы были непривычны с точки зрения евклидовых представлений и вроде бы даже противоречили здравому смыслу. Тем не менее, все выводы были логически безупречны. И тогда Лобачевскому пришла в голову гениальная догадка: заменив аксиому параллельности ее

отрицанием, т. е. предположив, что через точку A l можно провести более одной прямой, не пересекающей l, мы получаем новую геомет- рию, в корне отличающуюся от геометрии Евклида. В этой геометрии

(Лобачевский назвал ее «воображаемой») выполняются все аксиомы Евклида, кроме аксиомы параллельности, которая заменена ее отри- цанием.

Приведем примеры теорем, которые имеют место в геометрии Лобачевского. Прежде всего заметим, что все теоремы, доказываемые в евклидовой геометрии без использования аксиомы параллельности, сохраняются и в геометрии Лобачевского. Например: вертикальные углы конгруэнтны; углы при основании равнобедренного треуголь- ника конгруэнтны; из данной точки можно опустить на данную пря- мую только один перпендикуляр. Теоремы же евклидовой геометрии, при доказательстве которых применяется аксиома параллельности, в геометрии Лобачевского видоизменяются. Первой встретившейся тео- ремой, при доказательстве которой использовались свойства парал- лельных прямых, была теорема о сумме углов треугольника. Здесь ожидает нас первый «сюрприз»: в геометрии Лобачевского сумма

величин углов любого треугольника меньше π.

Если два угла одного треугольника соответственно конгруэнтны двум углам другого, то в евклидовой геометрии конгруэнтны и третьи углы; как известно, такие треугольники подобны. В геометрии Лоба- чевского это уже не так. Более того, здесь вообще не существует подобных треугольников (не конгруэнтных между собой): если углы одного треугольника соответственно конгруэнтны углам другого, то в геометрии Лобачевского эти треугольники конгруэнтны.

Разность π − ( A + B + C) называется дефектом треугольника ABC. Лобачевский доказал, что в его геометрии площадь треуголь- ника пропорциональна дефекту, т. е. выражается формулой

где коэффициент k зависит от выбора единицы измерения площадей. Термин «параллельные прямые» Лобачевский применяет не к любым непересекающимся прямым, а лишь к таким прямым, как l и b (или l и b′) на рис. 374 (мы здесь изображаем прямые в виде искривленных линий, поскольку иначе с помощью наших евклидовых представлений не удается изобразить положение вещей, характерное для геометрии Лобачевского). Другие же пары непересекающихся

прямых Лобачевский называет расходящимися.

Теорема о постоянстве расстояний между параллельными прямы- ми не сохраняется в геометрии Лобачевского: параллельные прямые неограниченно сближаются между собой в направлении параллель- ности и неограниченно удаляются друг от друга в противоположном направлении, т. е. расположение двух прямых на плоскости Лобачев- ского напоминает расположение двух искривленных линий (рис. 374).

Далее, две прямые в том и только в том случае являются расхо- дящимися, если они имеют общий перпендикуляр (рис. 375). Заметим, что двух общих перпендикуляров две прямые в геометрии Лобачев- ского иметь не могут: ведь в геометрии Лобачевского сумма углов