242. Является ли коммутативной группой множество отображений (по- воротов и симметрий) правильного шестиугольника на себя?

243. Образуют ли группу нечетные числа относительно операции умно- жения a b = ab?

244. Образует ли группу множество целых чисел, если в качестве опера- ции a b берется остаток при делении числа a + b на 3?

245. Будет ли группой множество целых чисел, если для любых чисел a и b их сумма считается равной нулю?

Беседа 13. Непротиворечивость, независимость, полнота

60. Непротиворечивость и понятие модели

Имеются важные принципиальные категории, относящиеся к лю- бым системам аксиом. К ним относится в первую очередь понятие непротиворечивости. Мы рассмотрим его на простом примере.

Несколько восьмиклассников решили организовать шахматный турнир. Однако при обычной схеме (когда каждый участник играет с каждым из остальных и притом по две партии: белыми и черными) требуется очень много времени для проведения турнира. Поэтому мальчики решили провести турнир по упрощенной схеме: каждый должен сыграть ровно три партии с кем-либо из остальных участни- ков (а белыми или черными — по жребию). Так как составить рас- писание турнира никак не удавалось, двое из мальчиков, Петя и Сережа, решили обратиться к учителю.

Учитель прежде всего поинтересовался, четно или нечетно число участников предполагаемого турнира. Оказалось, что число участни- ков нечетно. Тогда учитель предложил сформулировать требования, которые ученики предъявили к турниру, в виде аксиом. Для этого потребовалось ввести три первоначальных (неопределяемых) поня- тия: «игрок», «партия», «участие игрока в партии». Аксиом получи- лось четыре:

Аксиома 1. Число игроков нечетно.

Аксиома 2. Каждый игрок участвует в трех партиях. Аксиома 3. В каждой партии участвуют два игрока.

Аксиома 4. Для каждых двух игроков имеется не более одной пар- тии, в которой они оба участвуют.

Из этих аксиом можно вывести ряд теорем. Первую из них пред- ложил для примера сам учитель.

Теорема 1. Число игроков не меньше пяти.

Доказательство. Так как нуль — четное число, то по аксиоме 1 число игроков не равно нулю, т. е. существует хотя бы один игрок A. Этот игрок в силу аксиомы 2 участвует в трех партиях, причем в каждой из этих партий, помимо A, участвует еще один игрок (аксио- ма 3). Пусть B, C, D — игроки, отличные от A, которые участвуют в этих партиях. По аксиоме 4 все игроки B, C, D различны (если бы,

например, было B = C, то оказалось бы, что имеются две партии, в которых участвуют игрок A и игрок B = C). Итак, мы уже нашли

четырех игроков A, B, C, D. Но тогда, по аксиоме 1, число игроков не меньше пяти.

Следующую теорему доказал Петя. Для этого он определил новое понятие: если q — некоторая партия и A — один из участвующих в

ней игроков, то пару (q; A) назовем выступлением игрока.

Теорема 2. Число всех выступлений игроков четно.

Доказательство. Если в партии q участвуют игроки A и B, то мы получаем два выступления игроков: (q; A) и (q; B), т. е. каждая партия дает ровно два выступления игроков (аксиома 3). Значит, число всех выступлений игроков четно, так как оно вдвое больше числа всех партий.

Однако Сережа доказал теорему, противоречащую предыдущей:

Теорема 3. Число всех выступлений игроков нечетно.

Доказательство. По аксиоме 2 игрок A участвует ровно в трех партиях, скажем, q1, q2, q3. Это дает три выступления игрока A:

(q1; A), (q2; A), (q3; A). Отсюда следует, что число всех выступлений

игроков равно 3n, где n — число участников. Так как n нечетно (аксиома 1), то и 3n нечетно.

Учитель подвел итоги проведенного исследования. Взятая аксио- матика позволяет доказать ряд теорем (три из них были рассмотре- ны). Однако среди этих теорем имеются две, противоречащие друг другу: теорема 2 утверждает, что некоторое число четно, а теорема 3 гласит, что то же самое число нечетно. Аксиоматика, из которой можно вывести две противоречащие друг другу теоремы, называется противоречивой. Таким образом, взятая аксиоматика противоречива, т. е. требования, выдвинутые организаторами турнира, несовмести- мы. Неудивительно, что мальчики не сумели составить расписание турнира: такого расписания просто не существует.

Противоречивая аксиоматика не может служить основой постро- ения содержательной теории. «Теория» основанная на противоречи- вой аксиоматике, считается несостоятельной, бессодержательной. Ма- тематика такие «теории» отвергает.

Зачем учитель предложил Пете и Сереже другую систему органи- зации турнира, при которой каждый из участников должен сыграть, не три, а четыре партии с кем-либо из остальных участников. Иначе говоря, он предложил рассмотреть теорию, в которой те же первона- чальные понятия (игрок, партия и участие игрока в партии); далее, аксиомы 1, 3, 4 остаются без изменения, а аксиома 2 формулируется по-новому:

Аксиома 2. Каждый игрок участвует в четырех партиях.

Однако Петя и Сережа не спешили выводить теоремы из этих аксиом: вдруг опять, после доказательства нескольких теорем, обна- ружится противоречие. Учитель же заверил мальчиков, что, сколько бы теорем они ни выводили из этих аксиом, никогда противоречий не будет. Вот как он убедил их в этом.

Рассмотрим девятиугольник (рис. 367), в котором, кроме сторон, проведены девять диагоналей, соединяющих вершины через одну.

Вершины девятиугольника будем считать «игрока- ми», проведенные отрезки (стороны и диагонали) будем считать «партиями», а «игроками», участву- ющими в некоторой «партии», будем считать концы соответствующего отрезка. Мы получаем модель (или схему) интересующего нас турнира. Легко про- веряется, что все четыре аксиомы (в том числе ак- сиома 2 в новой редакции) здесь выполняются. Итак, удалось построить модель, в которой выпол-

няются все рассматриваемые аксиомы, причем эта модель построена из «материала» геометрии, т. е. науки, в непротиворечивости которой мы не сомневаемся.

Предположим теперь, что из рассматриваемых четырех аксиом можно вывести две теоремы, противоречащие друг другу. Тогда до- казательства этих теорем можно было бы повторить и в построенной модели (ведь в этой модели все четыре аксиомы имеют место). В результате получилось бы, что, рассуждая о правильном девятиуголь- нике, мы можем получить две противоречащие друг другу теоремы. Но это означало бы, что геометрия — наука противоречивая, чего мы не допускаем. Таким образом, мы должны признать, что две противоречащие друг другу теоремы вывести из рассматриваемых четырех аксиом невозможно.

Вообще, пусть рассматриваются две теории P и Q, причем теория Q задается аксиоматически (и в ее непротиворечивости мы заранее не уверены), а P — это хорошо известная нам теория, в непротиво- речивости которой мы не сомневаемся. Если из «материала» теории P удастся построить модель, в которой выполняются все аксиомы теории Q, то этим непротиворечивость теории Q считается установ- ленной.

61. Математические примеры моделей

Приведем некоторые математические примеры построения моде- лей. Примем теорию целых чисел в качестве основной теории, в справедливости которой мы не сомневаемся (причем мы рассматри- ваем в этой теории не только натуральные числа, но также нуль и отрицательные целые числа). Множество всех целых чисел обознача- ется через Z. Теорию же поля рациональных чисел Q мы хотим постро- ить аксиоматически. Именно, в множестве Q определены сложение, умножение и неравенства, удовлетворяющие следующим аксиомам.

Аксиома 1. Множество Q содержит Z в качестве подмножества,

причем выполняется принцип перманентности Ганкеля — имеющиеся в Q сложение, умножение и порядок совпадают на множестве Z Q с имеющимися в Z сложением, умножением и порядком.

Аксиома 2. (> r1, r2 Q) (r1 + r2 = r2 + r1).

Аксиома 3. (> r1, r2, r3 Q) ((r1 + (r2 + r3)) = ((r1 + r2) + r3)).

Аксиома 4. (> r Q) (r + 0 = r).

Аксиома 5. (> r Q) (? (−r) Q) (r + (−r) = 0).

Аксиомы 1 – 5 означают, что Q представляет собой коммутатив- ную группу по сложению.

Аксиома 6. (> r1, r2 Q) (r1r2 = r2r1).

Аксиома 7. (> r1, r2, r3 Q) ((r1(r2r3)) = ((r1r2)r3)). Аксиома 8. (> r Q) (r 1 = r).

Аксиома 9. (> r ≠ 0, r Q) (? (r−1) Q) (r (r−1) = 1).

Аксиомы 6 – 9 означают, что множество всех положительных рациональных чисел (см. далее аксиому 13) является группой относи- тельно операции умножения. Она называется мультипликативной группой, ее «нулем» является число 1, а «противоположным» для r

является обратный элемент r−1.

Аксиома 10. Сложение и умножение связаны свойством дистрибу-

тивности: (> r1, r2, r3 Q) ((r1 + r2)r3 = r1r3 + r2r3).

Вместе взятые, аксиомы 2 – 10 означают, что множество всех рациональных чисел представляет собой поле.

Аксиома 11. Множество Q линейно упорядочено, т. е. имеется отношение порядка (неравенства), которое обладает свойствами тран- зитивности и исключительности.

Аксиома 12. Сумма двух положительных чисел (т. е. чисел, которые больше нуля) является положительным числом: (> r1, r2 Q) ((r1 > 0) (r2 > 0)) (r1 + r2 > 0).

Аксиома 13. Произведение двух положительных чисел является положительным числом: (> r1, r2 Q) ((r1 > 0) (r2 > 0)) (r1r2 > 0).

Построим теперь (из материала теории целых чисел) модель для этой аксиоматики. С этой целью рассмотрим множество M всех

упорядоченных пар (m; n), где m, n Z, причем n > 0. Иными словами, вместо дроби mn мы будем писать пару (m; n). Использование пар

(вместо дробей) удобно тем, что мы будем лишены соблазна приме- нять привычные (и кажущиеся «очевидными») свойства дробей. До- казательства формулируемых ниже теорем мы не приводим.

Определение 1. Пары (m; n) и (p; q) будем считать эквивалент-

ными, если mq = np.

Теорема 1. Введенное отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. оно определяет разбиение множе- ства M на классы эквивалентности.

Класс эквивалентности, содержащий элемент (m; n), будем обозна-

чать [(m; n)], а множество всех классов эквивалентности мы и обозна- чим через Q. Элементы множества Q будем называть рациональными числами.

Определение 2. Сложение и умножение в Q определим (по пред- ставителям) формулами

[(m; n)] + [(p; q)] = [(mq + np; nq)]; [(m; n)] [(p; q)] = [(mp; nq)].

Легко проверяется, что эти операции определены корректно, т. е. не зависят от выбора представителей.

Определение 3. Рациональное число [(p; 1)] условимся отожде- ствлять с целым числом p.

Теорема 2. В силу этих определений в модели Q выполнен принцип перманентности Ганкеля (аксиома 1).

Теорема 3. В силу определений 1, 2, 3 операция сложения в модели Q удовлетворяет аксиомам 2 – 5, т. е. Q является коммутативной группой.

Теорема 4. В силу определений 1, 2, 3 операция умножения в модели Q удовлетворяет аксиомам 6 – 10, т. е. Q является полем.

Теорема 5. В силу определений 1, 2, 3 любое рациональное число

имеет вид r = m n−1, где m, n Z, причем n > 0. Иначе говоря, модель

Q является полем частных над множеством Z.

Определение 4. Рациональное число r = [m; n] условимся счи- тать положительным, если m > 0. (Напомним, что n > 0 по определе- нию множества пар.) Далее, условимся для r1, r2 Q писать r1 > r2

(или, иначе, r2 < r1), если r1 = r2 + d, где число d положительно.

Теорема 6. В силу определений 1, 2, 3 в модели Q выполнены аксиомы 11 – 13, т. е. Q является упорядоченным полем.

Этим и завершается построение модели. Тем самым непротиворе- чивость рассматриваемой аксиоматики поля рациональных чисел ус- тановлена (при условии, что мы считаем непротиворечивой теорию целых чисел).

Заметим, что таким же путем устанавливается непротиворечи- вость теории целых чисел — при условии, что мы считаем непро- тиворечивой теорию натуральных чисел. С этой целью также рас-

сматривается множество всех упорядоченных пар (m; n), где m, n — произвольные натуральные числа (имеется в виду, что эта пара изо- бражает разность m − n). Пары (m; n) и (p; q) считаются эквивалент-

ными, если m + q = n + p. Затем в множестве получающихся классов эквивалентности вводится сложение и неравенства по представите-

лям: [(m; n)] + [(p; q)] = [(m + p; n + q)]; [(m; n)] > [(p; q)] если m + q > n + p.

Наконец, проверяется, что в этой модели выполняются все аксио- мы теории целых чисел (которые получаются из рассмотренных выше аксиом 1 – 5 заменой Q на Z и вытекающими отсюда изменениями).

Итак, непротиворечивость теории рациональных чисел сводится (построением модели) к вопросу о непротиворечивости теории целых чисел. В свою очередь непротиворечивость этой последней сводится к непротиворечивости теории натуральные чисел. Что же дальше?

Поскольку натуральные числа возникают при пересчете предме- тов в конечных множествах, может быть, следует построить модель натуральных чисел, предполагая непротиворечивость теории мно- жеств? А как тогда быть с самой теорией множеств?

Да и к тому же при рассмотрении моделей мы доказывали теоре- мы. Но что такое доказательство? Значит, надо обосновать и правила