Рис. 361

Рис. 360 Рис. 362

меньше r, то круг радиуса r − p с центром B содержится в круге радиуса r с центром A (окружности этих кругов касаются внутренним образом, рис. 360).

В метрическом пространстве R множество Ur(A) = {x: |x − a| < r}

представляет собой интервал длины 2r, серединой которого служит точка a (рис. 361). Теорема 2 в этом случае означает, что если

|a − b| = p < r, то интервал длины 2(r − p) с центром b содержится в интервале длины 2r с центром a (рис. 362).

Задачи и упражнения

236. Пусть точками пространства Г являются города России, а в качестве расстояния между любыми двумя городами возьмем минимальную стоимость проезда из одного города в другой. Будет ли Г метрическим пространством?

237. Будет ли метрическим пространством множество точек сферы, если в качестве расстояния между точками взять:

а) расстояние по прямой; б) расстояние по дуге большого круга, проходящего через эти точки?

238. Рассмотрим множество кругов на плоскости и введем расстояние между любыми двумя из них как число, равное сумме площадей этих кругов без удвоенной площади их пересечения. Будет ли полученное пространство метрическим?

239. Рассмотрим на плоскости n различных точек. Расстояние между любыми двумя различными точками будем считать равным единице. Обра- зуют ли при любом n эти точки метрическое пространство?

240. Будут ли образовывать метрическое пространство точки координат- ной прямой, если в качестве расстояния между точками взять d(a, b) = |a − b|?

59. Коммутативные группы

В этом пункте приводится еще один пример аксиоматической теории.

Рассмотрим некоторое множество G, в котором каждым двум элементам a и b поставлен в соответствие третий элемент c, называе-

мый суммой элементов a и b и обозначаемый через a + b. Таким образом, первоначальными понятиями являются элемент и сумма элементов. Операция нахождения суммы называется сложением. Пе- речислим теперь аксиомы. В рассматриваемой теории их четыре.

Аксиома 1. Сложение коммутативно, т. е. для любых двух элемен- тов a и b справедливо соотношение a + b = b + a.

Аксиома 2. Сложение ассоциативно, т. е. для любых трех элемен- тов a, b и c справедливо соотношение (a + b) + c = a + (b + c).

Рис. 363 Рис. 364

Аксиома 3. Существует элемент 0, обладающий тем свойством, что для любого a справедливо равенство a + 0 = a.

Аксиома 4. Для любого элемента a существует элемент, который в сумме с элементом a дает 0. Этот элемент называется противопо-

ложным элементу a и обозначается через −a.

Множество G, для элементов которого указано, что понимается под их суммой, и в котором выполняются сформулированные выше аксиомы 1 – 4, называется коммутативной группой. Аксиомы группы символами записываются следующим образом:

Аксиома 1. (> a, b G) (a + b = b + a);

Аксиома 2. (> a, b, c G) ((a + b) + c = a + (b + c)); Аксиома 3. (? 0 G) (> a G) (a + 0 = a); Аксиома 4. (> a G) (? (−a) G) (a + (−a) = 0).

Рассмотрим множество T всех параллельных переносов плоскости. Под суммой двух параллельных переносов f и g будем в данном случае понимать их композицию g f (сначала f, потом g), т. е. будем

писать f + g = g f.

Из свойств параллельных переносов, изученных в курсе геомет- рии, непосредственно вытекает, что аксиомы 1 – 4 в данном случае выполняются. Таким образом, множество T всех параллельных пере- носов плоскости с указанной выше операцией сложения является коммутативной группой.

Рассмотрим теперь множество V всех векторов на плоскости. Напомним, что вектором называется класс всех направленных отрез- ков, имеющих одну и ту же длину и одно и то же направление

известно, что множество V всех векторов на плоскости удовлетворяет аксиомам 1 – 4 и потому представляет собой коммутативную группу. Кстати, именно тем, что не удается непосредственно определить

258 Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе

сумму двух направленных отрезков (например, OA и A′B′ на рис. 364) и объясняется определение вектора не как одного направленного отрезка, а как класса направленных отрезков. Определение «вектором называется направленный отрезок» является математически некор- ректным.

Дальнейшими примерами коммутативных групп могут служить: множество всех поворотов плоскости вокруг заданной точки O (в качестве операции сложения рассматривается композиция поворо- тов); множество всех целых чисел Z (включая отрицательные числа) с обычной операцией сложения; множество всех многочленов степени не выше второй (при обычном сложении); множество всех многочле- нов вообще.

Приведем в качестве примера несколько теорем теории коммута- тивных групп.

Теорема 1. Элемент 0 коммутативной группы G определен одно-

значно: (?! 0 G) (> a G) (a + 0 = a).

Доказательство. Допустим, напротив, что существует, поми- мо 0, еще один элемент 0′, обладающий тем же свойством (> a G) (a + 0′ = a). Тогда 0 + 0′ = 0, поскольку 0′ обладает указан- ным свойством. С другой стороны, 0 + 0′ = 0′ + 0 (аксиома 1), и потому 0 + 0′ = 0′ + 0 = 0′ (аксиома 3). Таким образом, 0 и 0′ совпадают с одним и тем же элементом 0 + 0′, т. е. 0 = 0′.

Аналогично устанавливается единственность противоположного элемента.

Теорема 2. Пусть a1, a2, ..., an — элементы коммутативной

группы G. Тогда в каком порядке мы бы их последовательно ни скла- дывали друг с другом, результат будет одним и тем же.

Поясним формулировку этой теоремы на примере четырех эле- ментов a1, a2, a3 и a4. Теорема утверждает, что при вычислении суммы

этих элементов мы можем располагать слагаемые и выполнять сло- жение в произвольном порядке. Например,

Здесь в левой части сначала находится сумма a1 + a2, затем к ней прибавляется элемент a3 и, наконец, к результату прибавляется a4; в

правой же части порядок расположения слагаемых и порядок выпол- нения действий другой.

В общем виде доказательство этой теоремы можно провести с помощью метода математической индукции.

Теорема 3. Для любых двух элементов a и b группы G уравнение a + x = b всегда имеет в группе G решение и притом единственное.

Знаками формулировку этой теоремы можно записать так:

(> a, b G) (?! x G) (a + x = b).

Доказательство. Для установления существования достаточно указать элемент, являющийся решением (корнем) этого уравнения.

Проверим, что таким корнем является элемент x = b + (−a). В самом деле, применяя последовательно аксиомы 1, 2, 4, 1 и 3, получаем (для этого значения x):

a + x = a + (b + (−a)) = a + ((−a) + b) = (a + (−a)) + b = 0 + b = b + 0 = b.

Этим существование корня доказано.

Докажем единственность. Пусть x1, x2 — два корня рассматрива- емого уравнения, т. е.

Докажем, что x1 = x2. Действительно, из равенств (2) следует, что a + x1 = a + x2. Прибавим к элементу (−a) равные между собой элемен-

ты a + x1 и a + x2: (−a) + (a + x1) = (−a) + (a + x2). В силу аксиомы 2 это равенство можно переписать в виде ((−a) + a) + x1 = ((−a) + a) + x2, от-

куда, применяя аксиомы 1, 4 и 3, находим, что x1 = x2.

Замечание. Для краткости элемент b + (−a) принято записывать

без скобок в виде b − a и называть разностью элементов b и a. Таким образом, по определению

т. е. определяют один и тот же элемент x. Сравнивая форму записи равенств (3) и (4), мы получаем обоснование следующего хорошо известного правила.

Слагаемое из одной части равенства можно переносить в другую, меняя знак, стоящий перед этим слагаемым, на противоположный.

Доказанные теоремы 1, 2, 3 справедливы в любой коммутативной группе. Иначе говоря, какой бы пример (модель) коммутативной группы мы ни взяли, мы можем, не проводя заново доказательств, утверждать, что эти теоремы будут справедливы для этой модели коммутативной группы. В частности, они справедливы не только для рациональных чисел, но и для параллельных переносов, для векторов, для многочленов и т. д. Вообще, если нам в дальнейшем встретится пример коммутативной группы, мы можем применять теоремы 1, 2, 3, т. е. выполнять сложение в любом порядке, решать линейные урав-

260 Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе

нения, переносить слагаемые из одной части равенства в другую с изменением знака.

Коммутативные группы используются в разных областях прило- жений современной математики: в экономике, кристаллографии, ядерной физике, биологии и т. д.

В математике и в ее приложениях нередко встречаются также «некоммутативные группы», т. е. множества, в которых определена операция (сложение), удовлетворяющая только аксиомам 2, 3 и 4, но в которых соотношение коммутативности может выполняться не для всех элементов. При этом формулировки аксиом 3 и 4 видоизме- няются: требуется существование не только правого нуля (как в ак- сиоме 3), но и левого нуля; не только правого, но и левого противо- положного элемента. Единственность каждого из этих нулей (т. е. совпадение левого нуля и правого нуля) и единственность каждого из противоположных элементов имеют место и в этом случае, но дока- зываются чуть сложнее.

Примером группы может служить множество D всех движений плоскости, в котором в качестве операции сложения берется компо-

зиция: f + g = g f. Элементом 0 служит тождественное преобразова-

ние e D: для любого элемента f D имеем e f = f, т. е. f + 0 = f. Это означает, что выполнена аксиома 3. Наконец, противоположным

элементу f служит обратное преобразование f −1: f −1 f = e, т. е. f + (−f ) = 0.

Группа D не является коммутативной. Если, например, f — пово-

В качестве еще одного примера можно указать группу подстановок из n элементов, т. е. множество всех взаимно однозначных отображе-

ний множества M = {1, 2, ... n} на себя. Элементы этой группы обычно задаются в виде двухстрочной матрицы вида

где i1 есть образ элемента 1, далее, i2 — образ элемента 2 и т. д. При этом все элементы ik различны (поскольку отображение взаимно од-

нозначно), т. е. вторая строка представляет собой некоторую пере- становку элементов 1, 2, ..., n. Суммой двух подстановок f, g, т. е.

взаимно однозначных отображений M → M, называется композиция

этих отображений: f + g = g f. Роль элемента 0 здесь играет тожде- ственная подстановка e, а противоположным для элемента f является

обратное отображение f −1. Эта группа подстановок обозначается че- рез Sn и называется симметрической группой порядка n. Она содержит

n! элементов. Таким образом, симметрическая группа (любого поряд- ка) представляет собой пример конечной группы.

Рис. 365 Рис. 366

Вообще, пусть M — произвольное множество. Преобразованием множества M называется всякое взаимно однозначное отображение множества M на себя. Для любых двух преобразований f, g множества M можно определить их композицию g f, которую условимся обо-

значать через f + g и называть суммой этих преобразований. Пусть теперь G — некоторое множество преобразований множества M (не обязательно совпадающее с множеством всех его преобразований). Говорят, что G представляет собой группу преобразований множест- ва M, если выполняются следующие три условия:

1) e G; 2) (> f G) (f −1 G); 3) (> f, g G) (g f G).

Нетрудно проверить, что если G — группа преобразований мно- жества M, то G является группой.

По существу, мы имеем здесь дело с новой аксиоматической теорией — теорией групп преобразований, в которой указанные выше условия 1 – 3 служат аксиомами. В качестве примера рассмотрим группу всех преобразований множества M, состоящего из трех эле-

ментов: M = {1, 2, 3} (т. е. симметрическую группу порядка 3). В дан- ном случае преобразований, т. е. взаимно однозначных отображений множества M на себя, существует шесть:

Здесь e — тождественное отображение, i, j — так называемые циклические перестановки (рис. 365), а каждое из преобразований f, g, h оставляет один элемент множества M неподвижным (т. е. пере- водит его в себя), а два другие переставляет между собой.

Заметим, что эта группа преобразований по существу совпадает с группой самосовмещений равностороннего треугольника. В самом деле, обозначим вершины равностороннего треугольника цифрами 1, 2, 3 (рис. 366). Группа самосовмещений этого треугольника состоит из поворотов на 0°, 120°, 240° вокруг центра треугольника (это дает преобразования e, i, j), а также трех осевых симметрий (например, g

— симметрия относительно оси, проходящей через вершину 2).

Задачи и упражнения

241. Является ли коммутативной группой множество нечетных чисел с обычной операцией сложения a + b?