252 |
Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе |
аксиоматическим методом проведем на более простых примерах:
метрического пространства и группы.
58.Метрические пространства
Вэтом пункте рассматривается аксиоматическое построение гео- метрии метрических пространств, широко используемых в современ- ной математике (причем не только в геометрии).
Прежде всего мы должны перечислить первоначальные понятия. В теории метрических пространств имеется два первоначальных по- нятия: точка и расстояние. Расстояние между точками A и B обозна-
чается через d(A, B).
Далее мы должны перечислить аксиомы. В теории метрических пространств имеется всего три аксиомы.
Аксиома 1. Расстояние между двумя любыми точками A и B есть число неотрицательное, причем d(A, B) = 0 в том и только в том случае, если A = B.
Аксиома 2. Для любых двух точек A и B справедливо равенство d(A, B) = d(B, A).
Аксиома 3. Для любых трех точек A, B и C справедливо неравен- ство
d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C).
Аксиому 2 иногда называют аксиомой симметричности расстоя- ния, а аксиому 3 — аксиомой треугольника.
Таким образом, метрическим пространством называется множе- ство M, элементы которого считаются точками и в котором задано расстояние, удовлетворяющее перечисленным трем аксиомам.
В качестве первого примера рассмотрим множество P всех точек плоскости. Расстояние между точками будем понимать в обычном смысле (единица длины предполагается заданной).
Множество P является метрическим пространством, т. е. рассто- яния между точками на плоскости удовлетворяют аксиомам 1, 2 и 3.
Рассмотрим другой пример метрического пространства. Будем теперь считать «точкой» произвольное действительное число, а за «расстояние» между a и b примем модуль разности этих чисел:
d(a, b) = |a − b|.
Докажем, что множество всех действительных чисел R есть ме- трическое пространство. Для этого надо проверить, что рассматри- ваемые «точки» и «расстояния» удовлетворяют аксиомам 1, 2 и 3.
Справедливость аксиом 1 и 2 легко проверяется. Например, спра- ведливость аксиомы 2 проверяется так:
d(a, b) = |a − b| = |b − a| = d(b, a).
58. Метрические пространства |
253 |
|
|
Рис. 359
Справедливость аксиомы 3 следует из неравенства |x + y| ≤ |x| + |y|, до- казываемого в курсе алгебры. Действительно, если в этом неравенстве положить x = a − b, y = b − c, то оно запишется в виде
|a − c| ≤ |a − b| + |b − c|.
Аэто и означает, что d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c).
Вкачестве третьего примера метрического пространства рассмо- трим множество S всех многочленов от буквы x, т. е. «точкой»
метрического |
пространства S будет произвольный многочлен |
|
f(x) = a |
xn + a |
xn−1 + ... + a . Под «расстоянием» d(f, g) между «точка- |
0 |
1 |
n |
ми» будем понимать наибольшее значение функции |f(x) − g(x)| на
отрезке 0 ≤ x ≤ 1 (рис. 359). Проверка показывает, что и в этом случае введенное расстояние удовлетворяет аксиомам 1, 2 и 3, т. е. множе- ство S представляет собой метрическое пространство.
Итак, мы рассмотрели три примера, или, как говорят математики, три модели метрического пространства, причем модель P имеет гео- метрический характер, а модели R и S — алгебраический. В разных моделях «точки» выглядят по-разному. Например, в модели P точки имеют привычный смысл, в модели R за «точки» принимаются числа,
ав модели S — многочлены. В соответствии с этим в различных моделях по-разному определяются и расстояния.
Вприложениях современной математики рассматриваются метри- ческие пространства, «точками» которых являются линии, фигуры, траектории полета космических кораблей, плановые задания заводов и т. д. В чем же заключается выгода от введения общего термина «метрическое пространство» для всех этих столь различных между собой случаев? Дело в том, что, доказав (на основе аксиом 1, 2 и 3) некоторую теорему в геометрии метрических пространств, мы сможем утверждать, что эта теорема будет справедлива и в модели P, и в модели S, и в модели R, и вообще в любой модели метрического пространства. Ведь в каждой модели аксиомы 1, 2 и 3 выполняются,
апри доказательстве теорем в аксиоматической теории метрических пространств мы только этими аксиомами и пользуемся.
Таким образом, построение теории метрических пространств (или иной аксиоматической теории) дает выводы, применимые к различным областям: геометрии, алгебре, экономике, астронавтике и
254 |
Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе |
вообще в любом случае, когда выполняются рассматриваемые аксио- мы. Положение вещей здесь в какой-то мере аналогично тому, кото- рое мы имели при выводе геометрических фактов с помощью рассуж- дений. Например, измерив транспортиром меры углов конкретного треугольника и убедившись, что сумма этих мер равна, насколько позволяет судить точность используемых инструментов, 180° (и даже проведя такие измерения для многих конкретных треугольников), мы еще не можем утверждать, что это справедливо для любого треуголь- ника. А геометрическое рассуждение (доказательство) позволяет, не проводя повторных измерений углов треугольника, утверждать, что этот вывод имеет общий характер, т. е. что в каждом треугольнике сумма мер углов равна 180°.
Подобно этому, развив аксиоматическую теорию, мы можем, не проводя повторных рассуждений, утверждать, что выводы этой акси- оматической теории имеют место в каждой модели метрического пространства. Это позволит, один раз доказав теоремы о метричес- ком пространстве, применять их в геометрии, алгебре, экономике, астронавтике, т. е. во всех тех областях, где появляются метрические пространства.
Разница, однако, будет в том, что отдельное доказательство (на- пример, в геометрии) позволяет получить теорему, приложимую хотя и к различным фигурам, но в рамках одной области — геометрии. Аксиоматический же метод позволяет целые аксиоматически разви- тые теории применять в различных областях знаний. В этом состоит сила аксиоматического метода, широко используемого сейчас в раз- личных областях как мощное орудие познания.
Здесь мы рассмотрим лишь две самые простые теоремы и одно определение из теории метрических пространств для того, чтобы показать, как проводится доказательство в аксиоматической теории.
Теорема 1. Пусть a1, a2, ..., an — произвольные точки метричес- кого пространства M (где n ≥ 3). Тогда
d(a1, an) ≤ d(a1, a2) + d(a2, a3) + ... + d(an−1, an).
Доказательство. При n = 3 доказываемое неравенство имеет вид d(a1, a3) ≤ d(a1, a2) + d(a2, a3); оно вытекает непосредственно из аксио-
мы треугольника.
Теперь, для проведения доказательства по индукции, достаточно осуществить переход от n к n + 1. Пусть для некоторого n ≥ 3 утверж- дение теоремы справедливо. Возьмем произвольные n + 1 точку a1, ...,
an, an+1. В силу предположения индукции справедливо неравенство
d(a1, an) ≤ d(a1, a2) + d(a2, a3) + ... + d(an−1, an). Кроме того, согласно ак-
сиоме треугольника, d(a1, an+1) ≤ d(a1, an) + d(an, an+1). Складывая эти неравенства и производя упрощения, мы получаем соотношение
d(a1, an+1) ≤ d(a1, a2) + d(a2, a3) + ... + d(an−1, an) + d(an, an+1), которое и
58. Метрические пространства |
255 |
показывает, что утверждение теоремы справедливо для n + 1 точки. Этим и завершается индукция.
Определение. r-окрестностью точки a в метрическом простран- стве M называется множество всех точек x M, находящихся от a на расстоянии, меньшем r.
Обозначать эту окрестность будем через Ur(a):
Ur(a) = {x M: d(a, x) < r}.
Теорема 2. Обозначим через p расстояние между точками а и b. Тогда если p < r, то (r − p)-окрестность точки b содержится в r-ок- рестности точки а.
Знаками эту теорему можно записать так:
(> a, b M; r > 0) (p = d(a, b) < r) (Ur−p(b) Ur(a)).
Доказательство. Пусть x принадлежит (r − p)-окрестности точ-
ки b, т. е. |
d(b, x) < r − p. Это неравенство можно переписать в виде |
||||
p + d(b, x) < r, т. |
е. d(a, b) + d(b, x) < r. По |
аксиоме |
треугольника |
||
d(a, x) ≤ d(a, b) + d(b, x). |
Поэтому имеем d(a, x) < r, т. е. точка x при- |
||||
надлежит r-окрестности точки a. |
|
|
|||
Итак, |
для |
любой |
точки x Ur−p(b) |
имеем |
x Ur(a), т. е. |
Ur−p(b) Ur(a).
Доказанные теоремы 1 и 2 справедливы в любом метрическом пространстве.
Рассмотрим, какой смысл имеют эти теоремы в метрическом про- странстве P (на плоскости) и в метрическом пространстве R (в мно- жестве всех действительных чисел).
На плоскости P расстояние d(A, B) между точками A и B равно длине соединяющего их отрезка AB. Поэтому сумма
d(A1, A2) + d(A2, A3) + ... + d(An−1, An)
представляет собой сумму длин отрезков A1A2, A2A3, ..., An−1An, т. е. длину ломаной A1A2 ... An. Далее, d(A1, An) есть длина отрезка A1An,
соединяющего концы этой ломаной. Таким образом, в применении к плоскости P теорема 1 означает, что длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосходит длины этой ломаной.
В метрическом пространстве R теорема 1 имеет следующий смысл: для любых действительных чисел a1, a2, ..., an справедливо неравен-
ство |a1 − an| ≤ |a1 − a2| + |a2 − a3| + ... + |an−1 − an|.
Обратимся теперь к теореме 2.
На плоскости P множество Ur(A) = {X: d(A, X) < r} представляет
собой открытый круг (круг без границы) с центром A и радиусом r. Теорема 2 утверждает, что если расстояние p между точками A и B