248 |
Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе |
ким определениям, а именно тем, в которых видовое отличие содер- жит два условия, соединенные дизъюнкцией.
Организация адекватной деятельности предусматривает исследо- вание многих, разнообразных объектов, для которых выполняется или не выполняется принадлежность к родовому понятию, выполня- ются или не выполняются отдельные видовые отличия (дизъюнктивно или конъюнктивно связанные) и т. д. Выполняя такую деятельность, учащийся охватит все части определения, т. е. усвоит изучаемое по- нятие. Именно после полного усвоения у него будет создано впечат- ление, что он «сразу» видит, принадлежит или не принадлежит предъ- являемый объект к изучаемому понятию, хотя в действительности он проверяет все факторы, имеющиеся в определении, но делает это свернуто, незаметно для него самого.
Задачи и упражнения
231. Что можно сказать об истинности высказывания @ (A B C) A, если A — истинно, а B и C — ложны?
232. Пусть A — ложное высказывание, а B и C — истинные. Будет ли истинным высказывание (A B) (B C) (C A)? (B A) (C A)?
233. В каких случаях высказывания A (B C) и (A C) (A B) одно- временно истинны или ложны?
234. Пусть A — высказывание: «число делится на 3», B — «число делится на 2», C — «число делится на 6». Какие из следующих высказываний истинны:
а) C A B; б) A B C; в) @ C B @ A?
235. Покажите, что высказывания A и (A B) (A @ B) всегда одновре- менно истинны или ложны.
Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе
57. Возникновение аксиоматического метода в математике
Начальные геометрические знания были получены опытным путем. Первые сведения о геометрических фактах дошли до нас из глубокой древности. Например, формулы вычисления площадей зе- мельных участков, имеющих форму прямоугольников, треугольни- ков, трапеций, приведены в древнеегипетских математических папи- русах и в клинописных таблицах древнего Вавилона.
Опытное происхождение геометрических фактов подтверждается тем, что в древних источниках упоминаются как верные, так и неточ- ные сведения. Например, древние египтяне вычисляли площадь про- извольного четырехугольника с последовательными сторонами a, b,
c, d (рис. 356) по формуле S = |
a + c |
|
b + d |
, что дает неверный резуль- |
|
2 |
|
2 |
|
тат даже для параллелограммов, отличных от прямоугольников. По- видимому, на практике встречались лишь четырехугольники, имею- щие близкую к прямоугольнику форму, а для них вносимая этой формулой погрешность невелика.
Получение новых геометрических фактов при помощи рассужде- ний (доказательств) относится к VI веку до нашей эры и связано с именем древнегреческого математика Фалеса (его называют также
57. Возникновение аксиоматического метода в математике |
249 |
Фалесом Милетским, поскольку он был родом из Милета). Собствен- но говоря, Фалес был не профессиональным математиком, а купцом. Плавая по Великому (Средиземному) морю на своих кораблях и занимаясь торговлей, он посвящал свободное время математике. И вот, этот купец сделал гениальное открытие: он обнаружил, что геометрические истины можно добывать не только опытным путем, с помощью измерений, но также чисто умозрительно. Ему при- писывают установление свойств равнобедренного треугольника, до- казательство равенства величин вертикальных углов (рис. 357), дока- зательство того, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 358), и другие начальные факты геометрии. Фалес, по- видимому, применял поворот части фигуры и перегибание чертежа, т. е. то, что в наши дни называют движениями.
Постепенно доказательства приобретают в геометрии все большее значение. К III веку до нашей эры геометрия становится дедуктивной наукой, т. е. наукой, в которой подавляющее большинство фактов устанавливается путем вывода, доказательства. К этому времени от- носится книга «Начала», написанная древнегреческим ученым Евкли- дом. В своей книге Евклид систематизировал известные к этому вре- мени геометрические сведения. В ней доказываются многие теоремы, которые мы изучаем и сейчас, например: свойства параллелограммов и трапеций, теорема Пифагора, подобие многоугольников. Изложе- ние материала в книге Евклида было настолько продуманным, что в течение двух тысячелетий она служила основным учебным пособием при изучении геометрии.
В IV веке до н. э. крупнейший мыслитель древности Аристотель создал основы логики. Аристотель учил, что изложение всякой тео- рии должно начинаться с первоначальных предложений (аксиом), из которых путем рассуждений выводятся дальнейшие факты. Греческое слово «аксиома» означает «удостоенное, принятое положение». Весь набор (система) аксиом называется аксиоматикой. Таким образом, аксиомы — это первоначальные факты науки (геометрии), которые принимаются без доказательства и позволяют вывести из них все дальнейшие факты этой науки. Утверждения, выводимые из аксиом, называют теоремами.
При изложении геометрии Евклид полностью следует идеям Ари- стотеля. Точка зрения Евклида была примерно следующей. Взяв ка- кую-либо теорему, можно проследить по ее доказательству, какие
Рис. 356 |
Рис. 357 |
Рис. 358 |
250 Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе
ранее доказанные теоремы были использованы при ее выводе. Для этих ранее доказанных теорем в свою очередь можно указать те более простые факты, из которых они выводятся, и т. д. В конце концов получается некоторый список простых фактов (аксиом), которые, во-первых, позволяют, идя обратным путем, доказать, исходя из них, все изучаемые теоремы геометрии, а, во-вторых, они настолько про- сты, что не возникает вопроса о необходимости их «вывода».
Евклид выделил полтора десятка аксиом геометрии, на которых основывалось все его изложение. Среди сформулированных им акси- ом имеются, например, следующие.
«Через две точки можно провести прямую». «Совмещающиеся между собой равны». «Порознь равные третьему, равны между собой».
Формулировка первой из этих аксиом понятна. Вторая из указан- ных аксиом говорит о том, что две фигуры, совмещающиеся между собой (подразумевается, при помощи движения), конгруэнтны. (Ев- клид не пользовался термином «конгруэнтность», а говорил о «рав- ных» фигурах.) Третья из указанных аксиом имеет общематемати- ческий характер, т. е. она относится не только к геометрическим фигурам, но также и числам, площадям и иным величинам. Напри- мер, в применении к числам она означает, что если числа а и b
порознь равны третьему числу с, т. е. a = c и b = c, то эти числа равны между собой, т. е. a = b.
Эта аксиома вместе с «очевидными» условиями рефлексивности и симметричности равносильна транзитивности. Таким образом, этой аксиомой Евклид фактически вводил отношение эквивалентно-
сти.
С понятиями геометрии дело обстоит примерно так же, как с теоремами. Каждое новое понятие вводится (с помощью определения) на основе ранее введенных понятий. Эти ранее введенные понятия, в свою очередь, определяются через предыдущие и т. д. В конце концов мы приходим к небольшому числу первоначальных понятий, через которые, идя обратным путем, можно определить все встречающиеся в курсе геометрии понятия. Евклид попытался дать определение всех без исключения понятий геометрии, в том числе и первоначальных. Например, «точка», относящаяся к числу первоначальных понятий, определяется у Евклида следующим образом: «Точка есть то, что не имеет частей».
Нетрудно понять, однако, что эта фраза не может служить опре- делением, так как сразу же возникают дальнейшие вопросы: какой смысл имеет слово «то»? Что такое «часть»? Что означает «иметь часть»? Неудивительно, что это туманное «определение» нигде даль- ше в изложении Евклида не используется. По существу, фраза Евк- лида представляет собой обращение к нашему жизненному опыту: Евклид убежден, что читатель имеет представление о чем-то предель- но маленьком, неделимом далее, и предлагает это понятие именовать термином «точка». Таким образом, следует признать, что у Евклида
57. Возникновение аксиоматического метода в математике |
251 |
понятие «точка» является первоначальным, вводимым без определе- ния, а фраза Евклида является лишь пояснением, показывающим опытное происхождение этого понятия.
Современная точка зрения на аксиоматическое построение курса геометрии заключается в следующем.
Во-первых, перечисляются первоначальные (не определяемые) по- нятия.
Во-вторых, указывается список аксиом. При формулировке акси- ом используются первоначальные понятия. Смысл аксиом в том, что они устанавливают некоторые связи и взаимоотношения между пер- воначальными понятиями.
После этого дальнейшие геометрические факты (теоремы) выво- дятся дедуктивным путем (доказываются) с помощью правил вывода
(в частности, правил использования знаков >, ?, , @, , , ).
Первоначальные понятия и аксиомы заимствованы из опыта и возникли в процессе долгого и сложного исторического развития науки. Первоначальные факты накапливаются в результате практи- ческой деятельности человека. Их проверяют, уточняют, системати- зируют. Исключают из них те, которые могут быть выведены из других первоначальных фактов. Иногда обнаруживается, что остав- шийся список первоначальных фактов (аксиом) — неполный, т. е. этих фактов недостаточно для вывода всех теорем, и тогда к этому списку добавляют недостающие аксиомы. В результате и получается полный набор аксиом (аксиоматика).
Это делает понятным, почему все последующие геометрические факты, хотя они и получаются на основе системы аксиом чисто умозрительным, дедуктивным путем, имеют тесную связь с жизнью, достаточно хорошо описывают свойства реального пространства, применяются в практической деятельности человека.
Евклид не сумел последовательно и до конца провести аксиома- тическую точку зрения. Дело не только в том, что он не отделил первоначальные, неопределяемые понятия от последующих понятий. Основной недостаток изложения Евклида заключается в том, что приведенный им список аксиом был неполным.
После Евклида многие поколения математиков стремились улуч- шить данную им систему аксиом (аксиоматику) геометрии. Большую роль сыграли работы современника Евклида — древнегреческого ученого Архимеда, который сформулировал аксиомы, относящиеся к измерению геометрических величин. Из математиков более позднего времени большой вклад в усовершенствование аксиоматики геомет- рии внесли замечательный русский математик Н. И. Лобачевский, а также А. Лежандр, М. Паш и другие ученые.
Итог этих исследований был подведен выдающимся немецким математиком Д. Гильбертом, который на рубеже XIX и XX столетий завершил работу по аксиоматизации геометрии.
Полный список аксиом геометрии содержит около двух десятков аксиом и является достаточно сложным. Поэтому знакомство с