достаточно проверить истинность высказывания

(? F ) (A(F ) и @ B(F )).

Иными словами, чтобы убедиться в ложности высказывания вида (15), достаточно, как и всегда, привести один контрпример, причем в этом случае контрпри-

мером будет элемент F, для которого одновре-

менно истинны высказывания A(F ) и @ B(F ).

показывает, что теорема «если диагонали четырехугольника перпен- дикулярны, то он является ромбом» неверна.

Задачи и упражнения

221. Постройте отрицание высказывания: «Нет ничего лучше плохой погоды» (название одного из болгарских кинофильмов).

222. Постройте отрицание высказывания: «Каждому овощу свое время». 223. Постройте отрицание высказывания: «Среди ста двузначных нату- ральных чисел найдутся два равных». Какое из этих двух высказываний

истинно?

224. Запишите теорему, обратную теореме Пифагора.

225. Запишите теорему, обратную теореме Больцано.

55. Необходимое и достаточное условие

В предыдущем пункте мы рассмотрели пример обратной теоремы. Вообще для каждой теоремы, записанной в форме импликации

можно составить обратную ей теорему, меняя местами условие и за- ключение (при сохранении той же разъяснительной части):

(> x M) (Q(x) P(x)).

В качестве еще одного примера возьмем следующую теорему о натуральных числах:

(> n N) (n делится на 6) (последняя цифра числа n — четная). Эта теорема справедлива, но обратная ей теорема

(> n N) (последняя цифра числа n четная) (n делится на 6) неверна.

Таким образом, доказав некоторую теорему, мы еще не можем утверждать, что справедлива обратная теорема. Справедливость об- ратной теоремы требует отдельного доказательства.

Рассмотрим теперь теоремы, для которых обратные теоремы также справедливы. Вот пример:

(> n N) (n делится на 9) (сумма цифр числа n делится на 9).

Обратной является теорема

(> n N) (сумма цифр числа n делится на 9) (n делится на 9).

В этом случае и исходная теорема, и обратная ей — обе справед- ливы. Приведем геометрический пример. Следующая теорема выра- жает одно из свойств равнобедренного треугольника (рис. 343):

т. е. если в треугольнике величины углов при основании равны, то этот треугольник — равнобедренный.

В математике принято формулировать теоремы, имеющие форму импликации, с помощью слов необходимо, достаточно. Рассмотрим, например, снова теорему о перпендикулярности диагоналей ромба

(рис. 344):

Эту теорему можно разъяснить так: достаточно знать, что четы- рехугольник ABCD является ромбом, и тогда мы можем утверждать, что его диагонали перпендикулярны. Или иначе: для перпендикуляр- ности диагоналей четырехугольника достаточно, чтобы он был ром- бом.

Вообще, если сказано, что выполнение некоторого утверждения P является достаточным для Q, то это означает, что утверждается справедливость теоремы, в которой P — условие, а Q — заключение

(см. (16)).

Теорему (19) можно разъяснить еще и так: если ABCD — ромб, то непременно его диагонали перпендикулярны. В математике

принято эту формулировку выражать по-другому, используя слово «необходимо»: для того чтобы четырехугольник был ромбом, необ- ходимо, чтобы его диагонали были перпендикулярны.

Вообще, если сказать, что выполнение некоторого утверждения Q является необходимым для P, то это означает, что утверждается справедливость теоремы, в которой P — условие, а Q — заключение

(см. (16)).

Если для некоторой теоремы справедлива также и обратная ей теорема, то ее формулировку можно выразить по-другому, используя слова необходимо и достаточно. Например, теорема (17) и обратная ей теорема (18) обе справедливы. Иными словами, для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы у него вели- чины углов при основании были равны (см. (17)); в то же время для того, чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, чтобы у него величины углов при основании были равны (см. (18)). Это кратко записывается в виде

(> :ABC) (BC = AC) (A = B)

и читается словами так: для того, чтобы треугольник был равнобед- ренным, необходимо и достаточно, чтобы у него величины углов при основании были равны.

А рассмотренный выше признак делимости на 9 можно выразить так: для того, чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9:

(> n N) (n делится на 9) (сумма цифр числа n делится на 9). (20)

Заметим еще, что слова «необходимое условие» часто заменяются словами: «только в том случае», «только тогда». Например, теорему (19) можно сформулировать еще и так:

четырехугольник только в том случае может быть ромбом, если его диагонали перпендикулярны.

Слова «необходимо и достаточно» нередко заменяются словами «тогда и только тогда, когда» или «в том и только в том случае, если». Например, четырехугольник в том и только в том случае является параллелограммом, если его диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

Вместо того, чтобы сказать «достаточное условие», «необходимое условие», иногда говорят «достаточный признак», «необходимый признак». Иногда даже говорят просто признак, считая ясным, о каком из признаков (достаточном или необходимом) идет речь. На- пример, теорема (20) называется признаком делимости на 9; этот признак является необходимым и достаточным для делимости числа на 9.

В школьном обиходе термин «признак» также используется. На-

пример, мы говорим о признаке параллельности двух прямых. Под этим понимается следующая теорема: две прямые в том и только в том случае параллельны, если при пересечении с третьей прямой

(«секущей») они образуют конгруэнтные накрест лежащие углы (рис. 345). Таким образом, признак параллельности прямых является

необходимым и достаточным условием.

Взаключение рассмотрим метод доказательства от противного

исвязанное с ним понятие противоположной теоремы.

Рассмотрим в качестве примера следующую теорему: выпуклый многоугольник не может иметь более трех острых углов.

Для доказательства предположим, что это утверждение неверно, т. е., что верно его отрицание: существует выпуклый многоугольник M, имеющий не менее четырех острых углов.

Рассмотрим внешние углы выпуклого многоугольника M. Так как угол, смежный с острым, является тупым (рис. 346), то у многоуголь- ника M не менее четырех тупых внешних углов. Значит, сумма вели- чин всех внешних углов выпуклого многоугольника M больше 360°. Но это противоречит теореме о том, что сумма внешних углов вы- пуклого многоугольника всегда равна 360°. Полученное противоре- чие доказывает теорему.

Приведенное рассуждение было проведено методом доказательст- ва от противного: мы предположили, что доказываемое утверждение неверно (т. е. верно его отрицание), и показали, что это приводит к противоречию. Тем самым была установлена ложность отрицания и, следовательно, истинность доказываемого утверждения.

Обратимся теперь к понятию противоположной теоремы. Из каж- дой теоремы, имеющей форму импликации

(см. (16)), можно получить еще три теоремы, показанные на следую- щей схеме:

По отношению к исходной теореме (21а) теорема (21b) является обратной. Теорема (21с) получается из исходной теоремы (21а) заме- ной условия и заключения их отрицаниями, она называется противо- положной исходной теореме (21а). Теорема (21d) — противоположная обратной.

Проиллюстрируем схему (21) на примере теоремы о перпендику- лярности диагоналей ромба. Для этого обозначим через M множество всех четырехугольников и рассмотрим следующие предикаты:

P(x) = {x — ромб};

Q(x) = {диагонали четырехугольника x перпендикулярны}.

Тогда четыре теоремы, показанные на схеме (21) означают сле- дующие утверждения:

(21а): если четырехугольник является ромбом, то его диагонали перпендикулярны;

(21b): если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он является ромбом;

(21с): если четырехугольник не является ромбом, то его диагонали не перпендикулярны;

(21d): если диагонали четырехугольника не перпендикулярны, то он не является ромбом.

Обратная (21b) и противоположная (21с) теоремы здесь неверны, это показывает контрпример, приведенный на рис. 342.

Теорема (21d), противоположная обратной, так же как и исходная теорема (21а), обе справедливы.

Вообще, теорема, противоположная обратной, равносильна исход- ной теореме, т. е. если истинна одна теорема, то истинна и другая. Поэтому, если доказательство исходной теоремы вызывает труднос- ти, можно вместо нее доказать теорему, противоположную обратной. В этом и заключается метод доказательства от противного.

Итак, подведем итоги. По отношению к теореме (21а) теорема (21b) является обратной, теорема (21с) — противоположной, теорема (21d) — противоположной обратной. Как мы уже знаем, теоремы (21а) и (21d) равносильны.

Если же за исходную мы примем теорему (21b), то теорема (21а) будет обратной. Поэтому теоремы (21b) и (21с) также равносильны

(рис. 347).

Для того, чтобы установить, что A(x) является необходимым и

достаточным условием для B(x), нужно доказать, во-первых, одну из теорем (21а) или (21d) и, во-вторых, одну из теорем (21b) или (21с).

Заметим еще, что при формулировке обратной теоремы (а также теорем, противоположных к исходной и обратной) весьма существен- ную роль играет разъяснительная часть теоремы. Рассмотрим в каче- стве примера все ту же теорему о перпендикулярности диагоналей ромба. Обозначим через M множество всех четырехугольников, а через П — множество всех параллелограммов, и рассмотрим следую- щие две теоремы:

Казалось бы, они различаются лишь по форме, но по существу вы- ражают одно и то же: если четырехугольник (или параллелограмм)