в отличие от предыдущего случая, когда мы рассматривали уравне-

ние (7).

В данном случае все ясно: знаменатель функции g(x) принимает нулевое значение при x = √3 ≈ 1,73, а потому функция, хотя и меняет

знак при переходе через x = √3 , но «обращается в бесконечность» при этом значении (рис. 340). Однако и в более сложных случаях факт существования корня (или какого-либо другого математического объ- екта) является важным фактором при решении различных задач во многих вопросах математики и ее приложений.

Задачи и упражнения

216. Запишите с помощью кванторов следующую теорему: «Сумма любых трех последовательных целых чисел делится на 3».

217. Запишите с помощью кванторов следующую теорему: «Для любого треугольника существует единственная вписанная окружность».

218. Запишите утверждение: «В течение любого часа существует момент, во время которого минутная и часовая стрелка совпадают». Истинно ли это утверждение?

219. Запишите утверждение: «Среди любых трех целых чисел найдутся два, сумма которых четна». Истинно ли это утверждение?

220. Используя теорему Больцано, докажите, что при любых значениях a, b и c многочлен x3 + ax2 + bx + c имеет действительный корень.

54. Отрицание

Из всякого высказывания можно получить новое высказывание, отрицая его, т. е. утверждая, что исходное высказывание не имеет места, не выполняется. Для записи отрицания используется знак @ (его называют знаком отрицания или, короче, знаком «не»).

Обозначим через A высказывание 5 7 = 35. Его отрицание можно

записать так: 5 7 ≠ 35. В данном случае высказывание A истинно, а @A ложно.

Возьмем теперь следующее высказывание B: «в нашем классе более 100 учеников». Его отрицание @B можно прочитать словами так: «в нашем классе не более 100 учеников». Обычно высказывание B ложно, а его отрицание @B истинно.

В качестве геометрического примера рассмотрим следующее вы- сказывание: «в прямоугольном треугольнике с катетами, имеющими длины 4 и 5, длина гипотенузы равна 9». Его отрицание утверждает, что в прямоугольном треугольнике с катетами, имеющими длины 4 и 5, длина гипотенузы не равна 9. Здесь первоначальное высказывание ложно, а его отрицание истинно.

Из двух высказываний, одно из которых является отрицанием дру- гого, одно истинно, а другое ложно.

Это положение математической логики называют законом исклю- ченного третьего. Иными словами, либо A, либо не A; третьего быть не может.

Операцию отрицания можно применять не только к высказы- ваниям, но и к предикатам. Обозначим, например, через A(T ) сле-

дующий предикат, заданный на множестве всех треугольников: «треугольник T — равносторонний». Отрицание @A(T ) тоже пред- ставляет собой предикат: «треугольник T не является равносторон- ним».

Дважды отрицая какое-либо высказывание A (или, как гово- рят, взяв его двойное отрицание), мы получаем высказывание @ @A, которое означает то же самое, что и первоначальное высказы- вание A.

@(5 7 ≠ 35). Оно означает, «неверно, что 5 7 ≠ 35», т. е., иными слова- ми, оно утверждает, что 5 7 = 35. Таким образом, двойное отрицание

@@ (5 7 = 35) означает то же самое, что и первоначальное высказы-

вание 5 7 = 35.

Заметим, что существует в математической логике школа интуи- ционистов, которые не признают абсолютной истинности закона ис- ключенного третьего, т. е. считают неправомочной (во всяком слу- чае, не очевидной) возможность отождествлять двойное отрицание @ @A с исходным высказыванием A. Из представителей отечествен- ной науки к школе интуиционизма примыкал известный математик А. А. Марков.

Таким образом, интуиционистская логика отлична от излагаемой здесь (и принимаемой подавляющим большинством математиков) формальной логики, которая принимает закон исключенного третье- го одной из логических аксиом. В дальнейшем мы будем оставаться в рамках формальной логики и, без всякого сомнения, будем отожде- ствлять высказывания @ @A и A.

Сказанное означает, что операция отрицания определяется сле- дующей таблицей истинности:

Из этой таблицы нетрудно заключить, что @ @A совпадает с A, т. е. эта таблица относится всецело к формальной логике.

В том случае, если высказывание выражено простым предложе- нием с одним сказуемым, для образования его отрицания достаточно добавить «не» к сказуемому (а если частица «не» уже стояла перед сказуемым, то для образования отрицания достаточно опустить эту частицу). Например:

A = {Париж находится в Италии}; @A = {Париж не находится в Италии}.

Другой пример получим, рассматривая рис. 341, на котором точка C — середина стороны BD треугольника ABD:

Рис. 341

B = {площади треугольников ABC и ADC на рис. 341 равны};

@B = {площади треугольников ABC и ADC на рис. 341 не равны}.

Однако такой простой способ образования отрицаний применим только в том случае, если в высказывании нет знаков >, ? (или равнозначных им слов). Чтобы пояснить сложность образования от- рицаний для высказываний, содержащих кванторы, обратимся к сле- дующему древнему софизму. В нем говорится о лжецах (всегда гово- рящих неправду), остальные же люди (не лжецы) всегда говорят правду. Вот этот софизм.

Один критянин (т. е. житель острова Крит) утверждал, что все критяне лжецы. Но он сам критянин и потому лжец. Значит, он сказал неправду, т. е. все критяне вовсе не лжецы, а правдивые люди. Но тогда он (как критянин) тоже правдивый человек. Значит, он все же сказал правду, и потому все критяне лжецы. Но это значит, что и он лжец, т. е. он сказал неправду, а потому критяне правдивы...

Как же выйти из этого порочного круга, т. е. как раскрыть этот софизм? На этот вопрос мы ответим чуть позже, когда детально рассмотрим взаимодействие отрицания с кванторами.

Рассмотрим, например, высказывание

P = {в любом треугольнике ABC величины углов A и B равны}.

Если просто добавить «не» к сказуемому, то получится высказы- вание

Q = {в любом треугольнике ABC величины углов A и B не равны}.

Легко видеть, что высказывание Q не является отрицанием вы- сказывания P (ведь оба высказывания P и Q — ложные, а из двух высказываний P и @P одно должно быть истинным).

Как же составить отрицание высказывания P? Запишем это вы- сказывание знаками:

P = (> :ABC) (A = B).

Отрицание его получается, если поставить знак @ перед всем выска- зыванием:

Словами высказывание @ P можно прочитать так: «не для любого треугольника ABC величины углов A и B равны». Это означает, что найдется (существует) :ABC, в котором не имеет места соотношение

A = B:

Итак, чтобы образовать отрицание высказывания, начинающего- ся квантором >, можно либо поставить знак @ перед высказыванием (см (8)), либо же заменить квантор > на ? и при этом поставить знак @ перед остальной частью высказывания (см. (9)).

Аналогично можно получить отрицание высказывания, начинаю- щегося знаком ?. Рассмотрим в качестве примера следующее выска- зывание:

т. е. существует действительное число x, квадрат которого отрицате- лен. Его отрицание можно получить, поставив знак @ перед всем вы- сказыванием:

Это читается так: «не существует действительного числа x, для кото-

рого x2 отрицательно». Это означает, что, какое бы число x мы ни взяли, его квадрат не будет отрицательным числом:

Итак, чтобы образовать отрицание высказывания, начинающего- ся знаком ?, можно либо поставить знак @ перед всем высказыванием (см. (11)), либо же заменить знак ? на > и при этом поставить знак @ перед остальной частью высказывания (см. (12)).

Если мы условимся знаки > и ? называть противоположными, то правило составления отрицания можно сформулировать так:

Чтобы образовать отрицание высказывания, начинающегося одним из знаков > или ?, можно либо поставить знак @ перед всем выска- зыванием, либо 1) заменить начальный знак (> или ?) на противопо- ложный и 2) поставить знак @ перед остальной частью высказывания.

Теперь мы можем вернуться к рассмотренному выше софизму. Обозначим через K множество всех критян, а через A(x) обозначим предикат «x — лжец». Тогда высказанное критянином утверждение можно записать так:

Первый вывод, указанный в софизме, совершенно правилен: если все критяне лжецы, то он сам лжец, т. е. он сказал неправду. Значит, написанное высказывание ложно, т. е. истинным является его отри-

цание: @ (> x K) A(x). Иначе говоря, не все критяне лжецы, т. е. существует (хотя бы один) критянин, не являющийся лжецом:

(? x K) @ A(x).

Итак, существует критянин, являющийся правдивым человеком. Но это вовсе не означает, что все критяне правдивы. Поэтому ниот-

куда не следует, что тот критянин, который высказал утверждение (13), правдив. Иначе говоря, мы не вправе заключить, что он сказал правду. На этом и обрывается приведенное в софизме рассуждение, т. е. никакого замкнутого круга не получается.

В заключение рассмотрим роль контрпримеров при решении во- проса о том, верно ли некоторое утверждение, содержащее кванторы

>, ?.

Пусть B(x) — некоторый предикат, заданный на множестве M.

Поставим вопрос: истинно ли высказывание (> x M) B(x)? Если множество M конечно, можно попытаться перебрать все его элементы и убедиться, что для любого элемента m M высказывание B(m) истинно. Если же множество M бесконечно (или конечно, но содер- жит очень много элементов), то такой перебор неосуществим, и по- тому в справедливости высказывания (> x M) B(x) можно убедить- ся только общим рассуждением.

Если разные попытки доказать справедливость высказывания (> x M) B(x) не приводят к успеху, то возникает предположение, что, быть может, это высказывание неверно, т. е. истинным является его отрицание @ (> x M) B(x). А как можно убедиться в правиль- ности этого предположения? Для этого заметим, что высказывание @ (> x M) B(x) означает то же самое, что и (? x M) @ B(x). А вот для подтверждения этого утверждения достаточно указать один эле- мент m M, для которого высказывание B(m) ложно, т. е., чтобы

убедиться в ошибочности общего высказывания (> x M) B(x), до- статочно привести один контрпример.

Рассмотрим еще один пример. Хорошо известна школьная теоре- ма о том, что диагонали ромба перпендикулярны. Справедлива ли обратная теорема: «если диагонали четырехугольника F перпендику- лярны, то он является ромбом»? Это высказывание можно записать в виде

где A(F) и B(F) — следующие предикаты:

A(F) = {диагонали четырехугольника F перпендикулярны}; B(F) = {четырехугольник F — ромб}.

Чтобы убедиться в ложности высказывания (14), нужно доказать, что истинно его отрицание @ (> F) (A(F) B(F)), т. е. что не для каждого четырехугольника F из справедливости A(F) вытекает спра-

ведливость B(F). Иначе говоря, нужно убедиться, что существует четырехугольник, у которою диагонали перпендикулярны, но ко- торый вместе с тем ромбом не является, т. е. для которого A(F )

истинно и одновременно B(F) ложно. Таким образом, высказывания @ (> F) (A(F) B(F)) и (? F) (A(F) и @ B(F)) означают одно и то же (или, как еще говорят, равносильны).