Глава I. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ Беседа 2. Конечные и бесконечные множества

7. Множество и его элементы

Мы часто говорим о стае птиц, наборе фломастеров, коллекции минералов, собрании картин и т. д. Обобщая, можно сказать, что речь идет о множестве некоторых предметов. Термин множество широко применяется в математике. Предметы, входящие в рассмат- риваемое множество, называются его элементами. Кроме основного термина множество, в математике иногда используются его синони- мы: система, семейство, класс и др. Например, мы говорим о системе уравнений, о семействе всех прямых на плоскости, о классе всех непрерывных функций и т. п. Однако эти синонимы используются лишь в целях разнообразия языка, и каждый из них может быть заменен универсальным термином «множество».

Множество является первоначальным математическим понятием, т. е. никакого определения понятия «множество» не предусматрива- ется. А апелляция к общеязыковым словам стая, набор, коллекция, собрание — это не определение (в точном математическом смысле), а лишь пояснение смысла этого понятия. Однако есть одно непремен- ное требование к математическому понятию множество: о каждом предмете, каждом элементе должно быть возможно точное выяснение того, принадлежит ли он рассматриваемому множеству или нет.

Обозначим, например, через F множество всех цифр, используе- мых при десятичной записи чисел. Тогда 5 есть элемент этого мно- жества, 8 тоже его элемент, а 12 и –1 не являются элементами мно- жества F. Это записывают следующим образом:

5 F, 8 F, 12 F, −1 F.

Знак говорит о том, что элемент принадлежит рассматриваемо- му множеству (или включается в данное множество). Он называется знаком включения и изображается одним из видов написания гречес-

кой буквы эпсилон. Тот же знак, но перечеркнутый ( ), говорит о том, что рассматриваемый элемент не принадлежит рассматриваемо- му множеству.

Когда мы говорим о том, что для каждого предмета должно быть возможным точное выяснение того, принадлежит ли он рассматрива- емому множеству, речь вовсе не идет о том, насколько просто это может быть выяснено. Речь идет лишь о принципиальной возможности выяснения этого. Например, в математике и ее приложениях часто

используется число π = 3,141592653... . На 4-м и 8-м местах после запятой в этой записи стоит цифра 5. Обозначим через Р множество всех «адресов» пятерок, т. е. таких натуральных чисел n, что на n-м

месте после запятой в десятичной записи числа π стоит цифра 5. Как видно из записи нескольких первых цифр, множеству Р принадлежат

числа 4 и 8. А принадлежит ли число миллиард множеству Р? Сегодня этого никто не знает, но нельзя сказать, что этот вопрос в принципе не может быть решен. Существует некий способ вычисления, алго-

ритм вычисления знаков числа π. Математик Шенкс, живший в XIX столетии, потратил много лет жизни на вычисление десятичных знаков числа π. Он нашел 707 знаков после запятой (правда, вслед- ствие ошибки, вкравшейся в его вычисления, верными из них были лишь первые четыре сотни цифр).

Современные компьютеры позволили найти несколько тысяч зна- ков числа π. Проведя огромное количество вычислений (что потре- бует огромного времени работы компьютера), можно найти, какая цифра стоит на миллиардном месте после запятой в записи числа π

и, тем самым, какая из формул 109 P, 109 P верна.

Но, скажем, множество всех молекул воды, налитой в стакан, не является математически точно определенным вследствие непрерывно происходящих процессов испарения и конденсации.

Приведем пример, показывающий, что иногда «определение» множества, кажущееся вполне четким, может оказаться математичес- ки некорректным. В одном взводе был взводный парикмахер. Коман-

дир приказал ему брить тех и только тех солдат, которые не бре-

ются сами. Обозначим множество этих солдат через B. Казалось бы, множество это вполне четко определено. Но принадлежит ли этому множеству сам парикмахер? Если да, то, значит, он не бреется сам. Но тогда его должен брить парикмахер, т. е. он сам. Выходит, что он все же бреется сам, т. е. он не принадлежит множеству B. Но в таком случае парикмахер не должен его брить, т. е. он не бреется сам. Поэтому он все же принадлежит множеству B. Получающийся парадокс показывает, что множество B не определено корректно.

Вот еще пример. Зададим A как множество всех натуральных чисел, которые можно определить при помощи не более двадцати слов русского языка. Это множество конечно (поскольку слов в рус- ском языке имеется лишь конечное множество). Пусть это будут числа

n1, n2, ..., nk. Возьмем теперь число m = n1 + n2 + ... + nk. Иначе говоря,

m есть сумма всех натуральных чисел, каждое из которых определя- ется не более чем двадцатью словами русского языка. Поскольку m

описано фразой, содержащей менее двадцати слов, это число принад- лежит множеству A, т. е. совпадает с одним из чисел n1, n2, ..., nk. Но

это невозможно, поскольку число m = n1 + n2 + ... + nk больше каждого из чисел n1, n2, ..., nk. Полученное противоречие показывает, что

множество A не определено корректно.

В рассмотренном примере мы употребили термин «конечное мно- жество», имея в виду множество, содержащее лишь конечное число элементов. Смысл этого термина совершенно ясен. Но в математике рассматриваются и бесконечные множества, т. е. такие, которые со- держат бесконечно много элементов. Например, множество N всех

x= k(m2 − n2),

y= 2kmn,

z= k(m2 + n2),

где k, m, n — натуральные числа (причем m ≠ n).

Решение неопределенных уравнений (т. е. содержащих более од- ного неизвестного в одном уравнении) в натуральных числах (как, например, уравнения (1)) изучалось древнегреческим математиком Диофантом, и потому эти уравнения называют диофантовыми урав- нениями. Великий математик Пьер Ферма, основатель теории чисел и один из создателей математического анализа, доказал ряд важных теорем о свойствах чисел. В частности, он рассмотрел диофантово

которые удовлетворяют соотношению (2) при заданном натуральном n > 2. На полях книги Диофанта «Арифметика» Ферма сформулиро-

вал эту задачу и написал, что ни при каком натуральном n > 2 урав- нение (2) не имеет натуральных решений. Иными словами, множе-

ство таких натуральных n > 2, для которых уравнение (2) имеет хотя бы одно решение в натуральных числах, является пустым множеством.

Ферма приписал к формулировке этого утверждения, что он на- шел удивительное его доказательство, но поля книги слишком узки, чтобы его уместить. В других бумагах Ферма доказательство найдено не было. Долгие годы многие математики пытались доказать это утверждение, названное «Великой теоремой Ферма». Она была уста-

новлена для n = 3, затем для всех n до ста, затем еще для многих n, но полного доказательства найти не удавалось. Таким образом, было неизвестно заранее, является ли множество натуральных чисел n > 2, для которых уравнение (2) имеет хотя бы одно натуральное решение, пустым или непустым. И лишь в 1993 году решение получил амери- канский математик Эндрю Уайлс: он установил, что это множество в самом деле пусто, т. е. теорема, которая была сформулирована Ферма, верна.

В заключение укажем еще одно бесконечное множество, которое имеет важное значение в математике. Напомним, что натуральное

число p > 1 называется простым, если оно не имеет других натураль- ных делителей, кроме 1 и p. Вот несколько первых простых чисел:

Получать простые числа можно при помощи следующего приема, на- зываемого решетом Эратосфена. Мы выписываем какое-то количе- ство натуральных чисел; скажем, числа от 1 до 50:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50.

Здесь первое число 1 вычеркнуто, поскольку оно не считается простым (простое число должно быть больше единицы). Следующее число, т. е. 2, простое — оно подчеркнуто. Теперь можно вычеркнуть все числа, делящиеся на 2 (т. е. четные числа 4, 6, 8, ...), — простыми они не являются, поскольку делятся не только на себя и единицу, но также на 2. Мы их вычеркиваем:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,

а первое из оставшихся чисел, т. е. 3, подчеркиваем — оно простое. Теперь вычеркиваем все числа, кратные числу 3, т. е. 6, 9, 12, .... По- лучается следующая картина:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,

в которой снова подчеркнуто первое оставшееся число, т. е. 5, — оно простое. Продолжая таким образом, мы постепенно вычеркиваем все числа, не являющиеся простыми. Остаются лишь простые числа — это и дает последовательность чисел (3), т. е. простых чисел, меньших

50.

Естественно возникает вопрос, как много имеется простых чисел? И прежде всего: конечное или бесконечное множество чисел остается после просеивания чисел решетом Эратосфена, т. е. конечно или бесконечно множество всех простых чисел? Замечательный результат

— доказательство бесконечности множества простых чисел — был установлен еще в древней Греции; он содержится в книге Евклида «Начала», написанной свыше двух тысяч лет назад. Рассмотрим это изящное евклидово доказательство.

Допустим, что простых чисел существует лишь конечное число. Обозначим их в порядке возрастания через p1, p2, ..., pk (p1 = 2,

p2 = 3 мы уже нашли, дальше идут еще какие-то простые числа, а последнее pk — наибольшее простое число).

Как и всякое натуральное число, большее 1, оно либо само явля- ется простым, либо может быть разложено на простые множители, т. е. представлено в виде произведения нескольких сомножителей, каждый из которых есть одно из чисел p1, p2, ..., pk. Но число n не