226 Беседа 11. Теоремы

(? T ) B(T ). Словами эта запись читается так: существует T, для ко-

торого справедливо B(T ) (т. е. существует треугольник T, один из углов которого — прямой).

И, наконец, предикат C(T ) ни для какого треугольника T не превращается в истинное высказывание (в Евклидовой геометрии).

Задачи и упражнения

211. Является ли высказыванием утверждение «У марсиан по три глаза»? 212. Найдите множество истинности следующего высказывания: сумму в

n рублей можно уплатить купюрами в 3 и 5 рублей.

213. Используя кванторы, запишите высказывание: «Уравнение ax = b имеет решение». Найдите множество истинности этого высказывания.

214. Используя кванторы, запишите высказывание: «Уравнение ax = b имеет положительный корень». Найдите множество истинности этого выска- зывания.

215. Используя кванторы, запишите высказывание: «Существует целое число, которое делится на любое другое целое число, отличное от нуля». Истинно ли это высказывание?

53. Структура теоремы

В школьном курсе математики устанавливаются различные свой- ства геометрических фигур. В качестве примера рассмотрим сле- дующее хорошо известное утверждение: диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам (рис. 330). Иными словами, если через центр окружности провести прямую, перпендикулярную хорде AB, то проведенная прямая пройдет через середину этой хорды.

Проверить это можно было бы опытным путем: начертить окруж- ность, провести в ней хорду и перпендикулярный ей диаметр, а затем, перегнув чертеж по диаметру, убедиться, что половинки хорды со- вмещаются. Такую проверку можно было бы повторить несколько раз для различных окружностей и хорд.

Однако сколько бы таких проверок мы ни произвели, это не может нас убедить в справедливости высказанного утверждения. Ведь по смыслу оно имеет общий характер, т. е. утверждается, что для любой хорды перпендикулярный к ней диаметр делит ее пополам. А общее утверждение, относящееся к любой хорде, не может быть доказано несколькими пробами. Для того, чтобы установить истин- ность некоторого общего утверждения, нужно провести рассуждение, убеждающее нас в его справедливости. Мы уже говорили об этом в п. 21 при рассказе о методе математической индукции. И справедли- вость сформулированного выше утверждения (о хорде и перпендику- лярном ей диаметре) была установлена в курсе геометрии именно с помощью некоторого рассуждения, которое убедило нас в том, что это высказывание справедливо для любой окружности и любой ее хорды.

В математике часто встречаются общие высказывания, справед- ливость которых устанавливается при помощи рассуждений. Такие высказывания называют теоремами, а рассуждение, которое убеждает в справедливости теоремы, называют доказательством.

Таким образом, высказывание «диаметр, перпендикулярный хор- де, делит эту хорду пополам» является теоремой.

Нередко в формулировках теорем встречаются выражения «если ... то», «из ... следует ...», «из ... вытекает ...» и т. д. Например, рассмотренную выше теорему можно сформулировать так: если диа- метр перпендикулярен хорде, то он делит эту хорду пополам (или: из перпендикулярности диаметра к хорде вытекает, что он делит ее пополам).

Условимся серединный перпендикуляр к отрезку AB (т. е. ось симметрии точек A и B, рис. 331), обозначать через S(A, B). Рассмот- рим в качестве еще одного примера следующую теорему: если рас- стояние от точки M до точек A и B одинаково, то точка M принад- лежит серединному перпендикуляру к отрезку AB (рис. 332). Тогда рассматриваемая теорема кратко формулируется так:

если AM = BM, то M S(A, B).

При этом теорема имеет общий характер, т. е. она справедлива для любых точек A, B, M. Иными словами, какие бы три точки A, B, M

мы ни взяли, если только AM = BM, то непременно точка M принад- лежит прямой S(A, B). Поэтому теорема может быть записана так:

Здесь знак используется вместо словесных выражений «если ...

то ...», «из ... следует ...» и т. д. Он называется знаком импликации.

Аналогичным образом могут быть записаны и другие теоремы: сначала ставится разъяснительная часть теоремы, т. е. запись вида

(> :ABC), (> т. A , B, M) и т. п., а затем пишутся два утверждения, соединенные знаком . Первое из этих утверждений (стоящее после разъяснительной части и перед знаком ) называется условием

теоремы, второе (стоящее после знака ) называется заключением

теоремы. Например, одно из свойств равнобедренного треугольника может быть записано в виде следующей теоремы (рис. 333): (> :ABC) (AB = CB) (A = C).

Здесь разъяснительная часть состоит в том, что рассматривается любой треугольник, вершины которого обозначены буквами A, B и

C. Запись AB = CB выражает условие теоремы (в рассматриваемом треугольнике ABC стороны AB и CB имеют одинаковые длины, т. е.

228 Беседа 11. Теоремы

конгруэнтны). Наконец, запись A = C выражает заключение тео- ремы (величины углов A и C равны, т. е. эти углы конгруэнтны).

Нередко эту теорему кратко формулируют так: в равнобедренном треугольнике величины углов при основании равны. Здесь подразу- мевается (но явно это не высказано), что теорема имеет общий смысл,

т. е. в любом треугольнике ABC, если только AB = CB, то обязательно и A = C. Общий характер этой теоремы явно указан в записи

(> :ABC).

Выше мы говорили, что импликация выражается словами: «если ... то», «вытекает», «следует» ... Но в каком случае мы можем применять эти слова? В каком случае импликация имеет место? При- нято считать, что если A и B — два высказывания, то импликация только в том случае является ложным высказыванием, если A истин- но, а B — ложно. Иными словами, из истины не вытекает ложь. Во всех остальных случаях импликация считается истинным высказыва- нием. Это отмечено в следующей таблице истинности, которую сле- дует рассматривать как определение операции импликации:

Последние две строки этой таблицы означают, что из ложного высказывания вытекает любое высказывание (как истинное, так и ложное). По меткому выражению Ф. Хаусдорфа, автора одной из первых книг по теории множеств и топологии (к тому же великолепно написанной), «если дважды два — пять, то существуют ведьмы».

Возьмем в качестве иллюстрации теорему (3). Пусть A, B, M — три произвольные точки, A ≠ B. Если окажется, что расстояния AM и BM не одинаковы, то высказывание AM = BM ложно, а из ложного

высказывания вытекает что угодно и, в частности, M S(A, B). Если же расстояния AM и BM одинаковы (рис. 332), то, как показывает несложное рассуждение, включение M S(A, B) справедливо. Таким образом, в любом случае импликация, указанная в теореме (3) имеет

(AM = BM) (M S(A, B)) представляет собой истинное высказыва- ние.

Часто разъяснительная часть теоремы начинается словом «пусть», а переход к условию теоремы отмечается словом «тогда». Вот как в этом случае формулируются теоремы, рассмотренные выше.

а) Пусть A, B, M — три произвольные точки; тогда если рассто- яния от точки M до точек A и B одинаковы, то M принадлежит серединному перпендикуляру отрезка AB.

— действительный или комплексный. Вот символическая запись этой теоремы:

Основная теорема алгебры представляет собой типичную теорему существования, т. е. в ней лишь утверждается наличие хотя бы одного корня, но ничего не говорится о том, как его можно найти. В этом она существенно отличается от теорем (4) и (5). Например, для тео- ремы (4) имеется четко описанный прием, позволяющий найти эту описанную окружность (надо провести к сторонам перпендикуляры через их середины, и тогда точка пересечения этих перпендикуляров как раз будет центром описанной окружности (рис. 335)). Для теоре- мы (6) такого общего приема нет: основная теорема алгебры только утверждает существование корня.

Несмотря на то, что теоремы существования, как правило, лишь утверждают факт существования какого-либо математического объ- екта без указания способа нахождения этого объекта (как это было, например, в случае теоремы (6)), они играют очень важную роль в современной математике. Приведем простой пример.

Известная теорема Больцано (теорема о промежуточном значе- нии) записывается следующим образом:

(> непр. ф. f(x) на [a; b]) (f(a) < 0, f(b) > 0) (? x [a; b]) (f(x) = 0).

Эта теорема имеет форму импликации, но в заключении теоремы использован квантор существования. Разъяснительная часть теоремы говорит о том, что рассматривается произвольная функция, непрерыв- ная на отрезке [a; b]. Теорема утверждает, что если в точках a и b функция принимает значения разных знаков (в точке a отрицатель- ное, а в точке b положительное), то существует на отрезке [a; b] хотя

бы один корень уравнения f(x) = 0, т. е. график этой функции хотя бы в одной точке пересекает ось абсцисс (рис. 336, 337). Например, вся-

кий многочлен третьей степени f(x) = x3 + ax2 + bx + c (или, вообще, нечетной степени) имеет хотя бы один действительный корень, по- скольку для больших по величине отрицательных x значения много-

Рис. 338 Рис. 339 Рис. 340

члена f(x) отрицательны, а для больших положительных x они поло- жительны (рис. 338, 339).

Чтобы пояснить, как работает эта теорема, рассмотрим уравнение

Многочлен f(x), стоящий в левой части этого уравнения, принимает при x = 1 отрицательное значение: f(1) = −3. А при x = 2 он принимает

положительное значение: f(2) = 5. Значит, на отрезке [1; 2] имеется ко- рень уравнения. Разобьем отрезок [1; 2] на десять равных частей точ- ками 1,1; 1,2; 1,3; ... . Вычисляя значения f(x) в этих точках (это легко сделать с помощью калькулятора), мы найдем, что f(1,5) = −0,375 < 0,

а f(1,6) = 0,456 > 0. Значит, искомый корень расположен на отрезке [1,5; 1,6]. Разобьем и этот отрезок на 10 равных частей точками 1,51; 1,52; ... . Теперь находим f(1,54) < 0, f(1,55) > 0. Таким образом, иско- мый корень примерно равен x = 1,54.

Можем ли мы быть уверенными, что таким путем мы вычисляем именно корень взятого уравнения, а не что-то иное? Такую уверен- ность дает нам теорема Больцано. Всякий многочлен есть непрерывная функция, а потому имеется корень на отрезке [1; 2], на отрезке [1,5; 1,6], на отрезке [1,54; 1,55], ... Таким образом, сам факт суще- ствования корня делает наши действия осмысленными.

А теперь рассмотрим уравнение xx2+−13 = 0.

Обозначая функцию, стоящую в левой части, через g(x), находим

g(1) = −1 < 0, g(2) = 3 > 0, т. е. в концах отрезка [1; 2] функция прини- мает значения разных знаков. Исследуя значения функции в точках

1,1; 1,2; ..., находим: g(1,7) = −24,5... < 0, g(1,8) = 11,6... > 0. Далее полу-

чаем g(1,73) = −384,507... < 0, g(1,74) = 99,275... > 0. Вроде, как в пре-

дыдущем случае, мы бы должны все более точно вычислять корень рассматриваемого уравнения (равный примерно 1,73...), однако подо- зрительно, что значения функции все более удаляются от нуля!

Дело в том, что рассматриваемая функция g(x) не является непре- рывной на отрезке [1; 2]; это видно из поведения ее графика (рис. 340). Поэтому у нас нет оснований делать вывод о существовании корня,