Плутон, Плутон → Венера, Венера → Марс, Марс → Меркурий, Марс →

Земля и Меркурий → Плутон. Можно ли добраться от Меркурия до Земли? 200. Докажите, что всякий полный ориентированный граф имеет простой

ориентированный путь, проходящий через все его вершины.

50. Конечные позиционные игры

Интересно применение ориентированных графов к теории игр. Чаще всего игра двух (или нескольких) участников заключается в том, что играющие поочередно делают ходы, которые по определенным правилам позволяют переходить от одной игровой позиции к некото- рой другой. Игра с полной информацией не зависит от случайных элементов (бросание кости, расклад карт, который партнеры друг другу не показывают, и т. д.), причем множество возможных игровых позиций конечно (хотя, может быть, необозримо велико). Правила игры задают некоторый ориентированный граф, по ребрам которого можно переходить от одной позиции к другой. Течение игры (партия) представляет собой ориентированную цепь, проходящую по неко- торым вершинам графа (т. е. по некоторым игровым позициям) и обрывающуюся в некоторой завершающей позиции, которая одно- значно расценивается как либо «выигрыш первого», либо «выигрыш второго», либо «ничья». Будем предполагать, что трехкратное повто- рение одной и той же позиции расценивается правилами как «ничья» (такое соглашение имеется в шахматах). Тогда каждая партия окан- чивается после конечного числа ходов.

В этих условиях справедлива следующая теорема: каждая игра двух участников (при фиксированной начальной позиции и четко оговоренных правилах) при правильном выборе стратегий игроков либо имеет ничейный исход, либо же несправедлива по отношению к одному из играющих. Иными словами, либо первый игрок (делаю- щий начальный ход) при правильной стратегии фатально выигрывает (что бы ни делал второй), либо первый фатально проигрывает (при правильной стратегии второго), либо же — при правильной игре — ни один не может одолеть другого и игра фатально оканчивается ничейным исходом. Однако в случае необозримо большого (как в шахматах) числа игровых позиций при отсутствии хорошей теории нахождение «правильной стратегии» (т. е. однозначного правильного ответа на каждый ход противника) выше возможностей человеческо- го интеллекта или возможностей компьютерного перебора позиций. В случае сравнительно несложных игр нахождение «правильной стра- тегии» возможно.

Рассмотрим в качестве примера следующую игру. Имеются две кучки предметов (скажем, пуговиц), в первой из которых 7, а во второй 8 предметов. При каждом ходе играющий берет либо один предмет из первой кучки, либо один предмет из второй кучки, либо же по одному предмету из каждой кучки. Выигрывает тот, кто заби- рает последний предмет (или оба последних предмета, если в каждой кучке осталось по одному).

Рис. 322

лать начальный ход) выигрывает: он берет один предмет из первой кучки, после чего второй игрок оказывается в позиции (6; 8), поме- ченной крестиком. Затем после любого хода второго игрока первый снова может сделать обе координаты четными и т. д. — вплоть до выигрыша.

Итак, предложенная игра несправедлива в отношении второго игрока: он при указанной начальной позиции всегда проигрывает. Если же предложить другой вариант игры: те же правила, но с начальным положением (8; 10), то игра будет несправедлива в отно- шении первого игрока.

В качестве второго примера рассмотрим игру с одной кучкой, содержащей 21 предмет. Правила игры: игрок A, делающий ход первым, может взять один или два предмета (по своему усмотрению). Второй игрок B может взять 3 или 4 предмета. Затем ходит A (и берет 1 или 2 предмета), затем снова B (3 или 4) и т. д. Игрок, забирающий последний предмет, считается выигравшим; если же должен ходить B, но в кучке осталось менее трех предметов, т. е. B не в состоянии сделать ход («патовая позиция»), то игра считается закончившейся вничью.

Граф игры показан на рис. 322. Заметим, что при любом ходе одного из игроков другой может своим ходом дополнить число взя- тых предметов до 5 (т. е. сделать так, что оба вместе возьмут во время этих двух ходов 5 предметов). Теперь ясно, что при начальной пози- ции 21 игрок A заведомо может выиграть: он берет один предмет, предлагая игроку B позицию 20. Что бы B ни сделал, игрок A следующим ходом предложит ему позицию 15, затем 10, 5 и, наконец, последним ходом перейдет к позиции 0, т. е. заберет все.

Читатель может проследить аналогично, что если заданная на- чальная позиция имеет вид 5n + 1 или 5n + 2, то выигрывает A. Далее, если начальная позиция имеет вид 5n, то выигрывает B. Наконец, если начальная позиция имеет вид 5n + 3 или 5n + 4, то при правиль- ном поведении игроков ни один из них не может одолеть другого, игра закончится патовым положением (ничья). Итак, при каждой фиксированной начальной позиции игра либо несправедлива в отно- шении одного на игроков, либо оканчивается вничью (если игроки не делают ошибок).

Теперь поговорим немного об играх типа «математические раз- влечения». Вот одно из таких развлечений.

При поездке в трамвае (или автобусе) пассажир компостирует проездной талон, содержащий некоторый шестизначный номер. За-

дача заключается в том, чтобы, расставив между этими цифрами знаки арифметических действий, получить в результате число 100.

Например, если номер талона имеет вид 482973, то это можно сделать так: 4 8 + 2 + 9 7 + 3 = 100.

Есть и другие возможности (с применением скобок):

4 + 8 − 2 + 9 (7 + 3) = 100, (4 + 8 − 2) 9 + 7 + 3 = 100, 4 (8 − 2 + 9 + 7 + 3) = 100.

Можно также две рядом стоящие цифры рассматривать как дву- значное число: (4 + 8) : 2 + 97 − 3 = 100 и т. д.

Множество таких развлечений можно найти в книгах замечатель- ного популяризатора Я. И. Перельмана. Решать подобные задачи гораздо интереснее, чем выполнять рутинные упражнения на сложе- ние чисел, и не случайно задачи такого типа стали появляться уже в школьных учебниках.

Увлекательны и другие, ставшие уже классическими, математи- ческие развлечения — лабиринты, задачи на разрезание и складыва- ние фигур, нахождение нескольких стертых цифр при выполнении умножения столбиком и т. п. Все эти игры укладываются в разобран- ный нами тип конечных позиционных игр с полной информацией, а процесс нахождения решения (достижения завершающей позиции) способствует совершенствованию вычислительных навыков, разви- тию элементов числовой комбинаторики, геометрической интуиции.

Особенно интересна в этом плане компьютерная реализация таких игр. За последние десятилетия рынок наводнился тысячами разно- образных компьютерных игр и развлечений. В некоторых из них надо сбить самолет «противника», поймать «преступника», убежать от хищных животных, выиграть гонку и т. п. Такими играми достига- ется тренировка быстроты реагирования (в связи с чем они нередко применяются в качестве тренажеров). Но есть и другие игры — действительно позиционные, в которых цель достигается за некоторое число шагов, причем на каждом шаге надо сравнительно небольшое число возможностей выстроить в виде «правильной» цепочки, приво- дящей к очередному успеху (например: найти ключ, выпустить на свободу «недоваренного» кота и т. п.). Компьютер оказался очень удобным инструментом для реализации таких игр — каждая позиция игры (вершина графа) изображается на мониторе, в каждой позиции простым нажатием клавиши мыши выбирается допустимый ход (ребро графа), переводящий в другую позицию, причем часто ком- пьютер сам сообщает, правильный ли сделан ход.

Подобную реализацию допускают многие математические игры и развлечения и таких компьютерных реализаций для интеллектуаль- ных, развивающих игр появляется все больше и больше. В компью- терном оформлении игра (скажем, выбор предметов из одной или двух кучек, задача на переливание жидкостей и т. п.) становится гораздо более привлекательной, а реализация игры — более удобной