210 |
Беседа 10. Комбинаторные задачи о графах |
Существует и иная формулировка проблемы четырех красок, также связанная с графами. Пусть на плоскости начерчена карта, требующая для своей раскраски C цветов. Выберем внутри каждой страны точку («столицу»). Для каждой из двух граничащих стран проведем по территории этих стран «железную дорогу», соединяю- щую их столицы (рис. 306), причем так, чтобы различные железные дороги не пересекались. Вместо окраски страны в некоторый цвет мы можем водрузить в ее столице флаг, имеющий этот цвет; если при этом две столицы соединены железной дорогой (т. е. страны грани- чат), то их флаги должны иметь разный цвет. Таким образом, надо покрасить вершины дуального графа G* (ребрами которого являются железные дороги) таким o6pазом, чтобы любые две смежные верши- ны (соединенные ребром) имели разный цвет. Ясно, что хроматичес- кое число графа G*, т. е. наименьшее число цветов, требуемых для его раскраски, равно C. Таким образом, проблема четырех красок может быть переформулирована следующим образом: доказать, что для лю- бого плоского графа G*, т. е. графа, располагаемого на плоскости без «лишних» пересечений ребер, его хроматическое число не более четырех.
Проблема четырех красок связана с рассмотрением именно плос- ких графов. Для графов, которые не располагаются на плоскости,
хроматическое число может быть и бо′ льшим четырех. Например, полный граф с n вершинами имеет хроматическое число n (поскольку любые две вершины соединены ребром, все вершины должны быть окрашены в разные цвета). Однако, возможны и такие случаи, когда неплоские графы имеют маленькое хроматическое число. Например, граф «домики и колодцы» (рис. 268) имеет хроматическое число 2: домики надо окрасить одним цветом, а колодцы — другим.
Задачи и упражнения
191. Докажите, что карту на плоскости, полученную в результате прове- дения нескольких прямых, можно правильно окрасить двумя красками.
192. Докажите, что карту на плоскости, полученную в результате прове- дения нескольких окружностей, можно правильно окрасить двумя красками.
193. Карта на плоскости получена путем проведения нескольких окруж- ностей и их диаметров (по одному в каждой окружности). Докажите, что полученную карту можно правильно раскрасить тремя красками.
194. На карте A страны являются многоугольниками. Проведена прямая, не проходящая ни через одну из вершин. Эта прямая разбивает некоторые страны на части, что дает карту B. Докажите, что если карта A раскраши- ваема четырьмя красками, то и карта B тоже раскрашиваема четырьмя красками.
195. Покажите, что на торе можно расположить семь стран так, что каждые две граничат между собой.
49. Ориентированные графы
Граф называется ориентированным (или направленным) если на каждом его ребре указано (стрелкой) некоторое направление. Мы уже упоминали ориентированные графы в п. 20 в рассказе об упорядочен-
49. Ориентированные графы |
211 |
ных множествах: элементы упорядоченного множества рассматрива- ются как вершины графа, и ребро, идущее в направлении от A к B,
имеется в том и только в том случае, если A < B. Однако при таком способе изображения упорядоченного множества мы обычно рисуем
слишком много стрелок (рис. 307). Именно, если A < B и B < C, то в
→ →
графе должны быть указаны не только ребра AB и BC, но также и
→
ребро AC, поскольку в силу условия транзитивности из A < B, B < C
→
следует A < C. Будем говорить, что наличие ребра AC является след-
→ →
ствием наличия ребер AB и BC в силу транзитивности.
Условимся теперь не изображать ребра, являющиеся следствием в силу транзитивности. Тогда граф, изображающий отношение по- рядка на рис. 307, будет выглядеть существенно более обозримым образом (рис. 308). А недостающие ребра (являющиеся следствием по
транзитивности) можно легко восстановить: соотношение X < Y имеет место на рис. 308 в том и только в том случае, если найдется в графе ориентированная цепь, идущая от X к Y (с учетом направления стрелок). Заметим, что в графе на рис. 308 нет ориентированных
циклов. Это и понятно: если бы существовал ориентированный цикл |
||||
→ → |
→ |
→ |
что |
X < Y, Y < Z, ..., |
XY, YZ, ..., VW, |
WX, то это означало бы, |
|||
V < W, |
W < X, т. |
е. было бы X < W, W < X, |
что |
в упорядоченном |
множестве невозможно.
Таким образом, ориентированный граф, изображающий отноше- ние порядка, не содержит ориентированных циклов. Справедливо и обратное: если дан ориентированный граф, не содержащий ориенти- рованных циклов, то, дополнив его ребрами по транзитивности, мы получаем некоторое отношение порядка в множестве его вершин. Это отношение порядка как раз и описывается указанным выше прави-
лом: X < Y если существует в графе ориентированная цепь (хотя бы одна), ведущая от X к Y. Так, для отношения порядка, определяемого графом на рис. 309, мы имеем A < C (поскольку имеется ориентиро- ванная цепь от A к C). А элементы A и M несравнимы, так как от одного к другому не ведет никакая ориентированная цепь.
Рис. 307 |
Рис. 308 |
Рис. 309 |
212 |
Беседа 10. Комбинаторные задачи о графах |
В графе, изображающем отношение порядка, отсутствие стрелок,
являющихся следствиями по транзитивности, означает, что мы соеди-
→
няем вершины U и V стрелкой UV только в том случае, если V
является элементом, непосредственно следующим за U, т. е. U < V, но нет элемента X, расположенного между ними (U < X < V).
Граф, изображающий отношение порядка, называется диаграммой Хассе, если он не содержит стрелок, являющихся следствиями по транзитивности, и при этим все стрелки идут в направлении снизу вверх, т. е. вершина, изображающая больший элемент, расположена выше, чем меньший. Так на рис. 310 изображена некоторая диаграмма Хассе. Она получается следующим образом: мы рассматриваем куб, диагональ AH которого перпендикулярна горизонтальной плоскости (рис. 311), и считаем, что из двух вершин куба та является большей, которая расположена выше (а две вершины, расположенные на одной высоте, несравнимы).
На рис. 310 граф изображен с «лишними» пересечениями ребер. Можно этот граф, точнее, изоморфный ему, расположить на плоскос- ти и без пересечений (рис. 312), однако это уже не будет диаграммой Хассе: хотя вершина H является наибольшей, но на рис. 312 она не расположена выше других. Возникает естественный вопрос: в каком случае отношение порядка в некотором конечном упорядоченном множестве M может быть изображено диаграммой Хассе без само- пересечений? Для случая, когда M содержит единственный максималь- ный и единственный минимальный элемент, ответ дается следующей теоремой, которую доказал канадский математик Прим.
Пусть M — упорядоченное множество, содержащее единственный максимальный и единственный минимальный элемент, и пусть G — ориентированный граф (без следствий по транзитивности), изобра- жающий отношение порядка в M. Обозначим через G1 неориентиро-
ванный граф, получающийся добавлением к G одного ребра, соеди- няющего минимальный и максимальный элементы. Диаграмма Хассе для упорядоченного множества M в том и только в том случае может быть изображена без пересечений, если граф G1 является плоским.
Например, для отношения порядка в множестве вершин куба, показанного на рис. 310, граф G1 получается добавлением к графу
рис. 310 ребра AH (рис. 313). Этот граф не является плоским (он содержит граф «домики и колодцы», рис. 314). Поэтому, согласно теореме Прима, диаграмма Хассе для рассматриваемого отношения порядка не может быть изображена без самопересечений.
Возможность расположения некоторого графа (ориентированного или нет) на плоскости без пересечений может показаться математи- ческой игрушкой, малоинтересной для практики. Однако это не так. Например, при изготовлении печатных плат для радиоприемников, магнитофонов и других приборов на пластине диэлектрика монти- руется некоторое количество контактов (для выводов от емкостей, трансформаторов и т. д.), которые, как вершины графа, нужно соеди-
49. Ориентированные графы |
213 |
|
|
Рис. 312
Рис. 310 Рис. 311
Рис. 313 |
Рис. 314 |
Рис. 315 |
нить (соответственно схеме) сетью токопроводящих дорожек. Если получающийся граф является плоским, то его можно изготовить трав- лением или напылением металла (предварительно защитив не подле- жащие соединению места лаком или каким-либо экраном) и это су- щественно упрощает и удешевляет технологию. Если же граф не является плоским, приходится перекидывать «мостики» или делать схему многослойной с изолирующими прослойками диэлектрика.
Диаграмма Хассе особенно удобна при расположении вершин «снизу вверх» в порядке возрастания узловых напряжений (в этом случае близкие друг к другу узлы имеют не очень большую разность потенциалов, и это уменьшает вероятность пробоя).
Задачи и упражнения
196. Закончился круговой турнир баскетболистов, в котором не было ничьих. Всегда ли можно занумеровать команды так, чтобы каждая команда была победителем во встрече с командой со следующим номером?
197. Дорожки бульвара расположены так, как показано на рисунке 315. По ним бегают спортсмены в направлениях, указанных стрелками, причем по первой дорожке каждую минуту пробегает один спортсмен, по второй — два и т. д. по десятой — десять спортсменов. Время бега по каждой дорожке
равно одной минуте. Расставьте на рисунке номера дорожек.
198. Несколько команд разыграли первенство по волейболу. Докажите, что если какие-нибудь две команды одержали одинаковое количество побед, то найдутся такие команды A, B и C, что A выиграла у B, B — у C, а C у A.
199. Между 5 планетами Солнечной системы установлено космическое сообщение. Ракеты летают по маршрутам: Земля → Меркурий, Земля →