47. Правильные многогранники и паркеты

на плоскость (как на рис. 277; на рис. 274 изображена центральная проекция скелета додекаэдра). Эта проекция представляет собой пра- вильный граф в том смысле, что каждая его грань имеет n ребер (включая и внешнюю, неограниченную грань), а из каждой вершины исходят k ребер. Число вершин, ребер и граней этого графа будем обозначать через В, Р, Г. Если каждую грань (включая и внешнюю, неограниченную) мы обойдем по контуру, считая ребра, то всего насчитаем nГ ребер. При этом каждое ребро мы засчитаем дважды (так как к нему примыкают две грани). Это дает соотношение

В + Г = 2 + Р, вытекающее из формулы Декарта—Эйлера, получаем:

Эта формула позволит найти все правильные графы, т. е. найти все те n ≥ 2 и k ≥ 2, которые удовлетворяют найденному соотношению

Г = 2, В = n. Этим определяется граф в виде замкнутой ломаной с n звеньями (рис. 287). Можно считать, что ему соответствует «много- гранник» на сфере, у которого две «грани» (северное и южное полу- шария), а n вершин и n ребер расположены на экваторе (рис. 288).

Аналогично при n = 2 мы получаем из (6), (2) и (5) следующие значе-

ния: P = k, Г = k, В = 2.. Соответствующий граф (рис. 289) содержит одно k-кратное ребро. Можно считать, что ему соответствует «много- гранник» на сфере, у которого имеются две вершины (северный и южный полюсы) и k ребер (меридианов), тогда как каждая грань представляет собой «двуугольник», ограниченный двумя меридиа- нами (рис. 290).

Рис. 286

Так как здесь правая часть больше 16, то n < 6. Таким образом, предо-

ставляются следующие три возможности (для которых В и Г вычис- ляются по формулам (2) и (5):

Графы (7) – (9) соответствуют правильному тетраэдру, кубу и правильному додекаэдру (рис. 286).

Далее, пусть n = 3. Тогда аналогично мы получим еще раз граф

(7) и два новых графа:

Эти графы соответствуют правильному октаэдру и правильному икосаэдру (рис. 286).

Наконец, случаи, когда одновременно n ≥ 4 и k ≥ 4, невозможны, поскольку тогда левая часть в (6) не больше 12, тогда как правая часть

больше 12. Таким o6pазом, все правильные графы (а потому и пра-

вильные многогранники) найдены.

В проведенном выше рассуждении были изучены конечные пра- вильные графы. Существуют, кроме того, бесконечные правильные графы на плоскости. На рис. 291 – 294 показаны паркеты, т. е. замо- щения плоскости конгруэнтными многоугольниками (треугольника- ми, четырехугольниками, шестиугольниками). На рис. 291, 294 сто- роны имеют неодинаковую длину (а грани не являются правильными многоугольниками). Тем не менее, граф, составленный из сторон многоугольников, и в этих случаях является комбинаторно правиль-

ным: каждая вершина имеет один и тот же индекс k, и каждая грань имеет одно и то же число сторон n.

А существуют ли комбинаторно правильные паркеты, составлен- ные из многоугольников, у которых число сторон n отлично от 3, 4, 6? Ответ на этот вопрос может быть как положительным, так и отрицательным — в зависимости от точки зрения.

Прежде всего покажем, что конгруэнтными многоугольниками можно настлать правильный паркет на плоскости (евклидовой!) только

в том случае, если число сторон n многоугольника равно 3, 4 или 6. В самом деле, пусть M — такой многоугольник, что конгруэнтными ему многоугольниками можно настлать паркет на плоскости, n — число сторон многоугольника M. Через h обозначим диаметр много- угольника M, т. е. наибольшее из расстояний между его вершинами,

ачерез S — его площадь. Мы предположим, что граф, составленный из ребер этого паркета, является правильным, и обозначим через k индекс каждой вершины этого графа.

Обозначим теперь через K круг радиуса r и рассмотрим все много- угольники паркета, имеющие с K общие точки. Они образуют конеч- ный граф G (рис. 295), число вершин, ребер и граней которого обозначим через В, Р, Г (причем к числу граней причисляется и внешняя, неограниченная область F∞). Числа В, Р, Г удовлетворяют

формуле (3).

Так как все рассмотренные многоугольники (т. е. все грани, оп- ределяемые графом G, кроме F∞) покрывают круг K, то сумма их

площадей больше площади этого круга:

π(r + h)2 − π(r − h)2 = 4πrh и потому число γ крайних многоугольников

удовлетворяет условию γS < 4πrh. Умножив это неравенство на нера- венство, обратное (12), получаем

Посчитав ребра по всем граням, определяемым графом G, мы насчитаем n(Г − 1) + ρ ребер, где ρ — число ребер наружного контура графа G, причем каждое ребро мы засчитаем дважды. Следовательно, 2P = n(Г − 1) + ρ, т. .е. 2P − n(Г − 1) = ρ. Но число ρ (т. е. число ребер внешнего контура графа G) меньше, чем число всех сторон, посчи- танных по всем крайним многоугольникам, т. е. меньше чем nγ.

вершину, не лежащую на внешнем контуре, мы засчитаем k раз, а каждую вершину внешнего контура — менее k раз. Значит, число

kB − n(Г − 1) положительно, но меньше чем взятое k раз число вершин

Но уравнение (18) имеет в натуральных числах n, k лишь следую- щие три решения: n = 3, k = 6; n = 4, k = 4; n = 6, k = 3. Это и означает, что правильный граф, осуществляющий на евклидовой плоскости паркет из конгруэнтных n-угольников, существует лишь при n = 3, n = 4 или n = 6.

В приведенном выше доказательстве мы использовали конгруэн- тность многоугольников, составляющих паркет, а также формулу площади круга, взятую из евклидовой геометрии. И то, и другое существенно. На рис. 296 показан фрагмент бесконечного правильно- го графа, дающего паркет из семиугольных областей. Правда, эти области не конгруэнтны между собой, да и паркет будет настлан не на всей плоскости, а лишь внутри круга. Но на плоскости Лобачев- ского такой паркет может быть осуществлен из конгруэнтных между собой правильных семиугольников и притом на всей плоскости. Во-

обще, для любых n ≥ 3, k ≥ 3 удовлетворяющих условию 1n + k1 < 12,

можно построить на плоскости Лобачевского бесконечный правиль- ный граф, имеющий в каждой вершине индекс k и разбивающий всю плоскость на конгруэнтные правильные n-угольники.

В заключение отметим, что существуют также полуправильные многогранники (так называемые архимедовы тела), т. е. выпуклые многогранники, гранями которых являются правильные многоуголь- ники двух типов. Так, на рис. 297 изображен кубоктаэдр, гранями которого служат квадраты и равносторонние треугольники. Формула Декарта—Эйлера позволяет найти все архимедовы тела. Их суще- ствует 16 типов, причем 14 из них определены, с точностью до подобия, однозначно, а два типа (правильные призмы и антипризмы,

рис. 298, 299) содержат бесконечно много представителей: их основа- ниями могут быть правильные многоугольники с любым числом сторон.

На плоскости можно также рассматривать паркеты, составленные из правильных многоугольников не одного, а двух типов. Они также могут быть все найдены с помощью формулы Декарта—Эйлера, при- чем на евклидовой плоскости таких паркетов имеется лишь конечное число (два примера приведены на рис. 300, 301), а на плоскости Лобачевского их бесконечно много.

Замечательной особенностью всех этих паркетов является их пери- одичность. Например, существует паркет, составленный из правиль- ных двенадцатиугольников и треугольников, причем любой двенад- цатиугольник может быть с помощью движения совмещен с любым другим двенадцатиугольником и при этом движении весь паркет снова целиком совместится с самим собой. Но в 1973 году Роджер Пенроуз обнаружил квазипериодические паркеты, которые сразу же привлекли внимание математиков и кристаллографов. На рис. 302 изображено разбиение ромба с углами 72° и 108° на два четырехуголь- ника (один из которых— невыпуклый).

С помощью этих четырехугольников и с условием, что никакие два из них не складываются в виде ромба, как на рис. 302, можно построить бесконечное (даже континуальное) множество паркетов, причем ни один из этих паркетов не будет периодическим, хотя некоторые из них имеют симметрию пятого порядка (т. е. совмеща- ются сами с собой при повороте вокруг некоторой точки на угол

ними не справлялся) компьютер решал задачу: может ли в рассмат- риваемом типе карт найтись такая, которая не раскрашивается в четыре цвета? Когда, выполнив десятки миллиардов арифметических и логических операций, компьютер давал ответ «нет», переходили к следующему типу карт и т. д. Получив ответ «нет» для всех типов карт, Аппель и Хакен объявили, что ими получено компьютерное решение проблемы четырех красок.

Новое компьютерное решение было предложено в 1978 году Д. Коэном. Число типов карт было у него существенно меньше, причем результат компьютерных вычислений по каждому типу и подтипу он получал не только в виде готового «нет», а в форме, допускающей «ручную» проверку. Исследование подтипа считалось завершенным, когда компьютер находил достаточно обозримый путь проверки окончательного «нет».

По мнению Коэна проверка найденного им решения проблемы четырех красок могла бы быть выполнена одним человеком в течение двух-трех лет (!) ежедневной восьмичасовой работы.

Однако гарантии правильности этих компьютерных решений нет. Ведь в каком-то, скажем, семнадцатом типе карт компьютер мог ответить «нет» не в результате безупречного анализа, а из-за сбоя в работе (что при длительной работе компьютера бывает нередко). Не зная об этом, вычислители переходят к восемнадцатому, девятнадца- тому типу карт, фактически пропустив исследование семнадцатого типа. Не будет гарантии правильности решения даже в том случае, если мы, затратив много месяцев, повторим уникальный компьютер- ный эксперимент: может быть, где-то в многомиллиардной цепочке вычислений, связанных с тем же семнадцатым типом, и в нашем компьютере произойдет сбой?

Решение Koэна кажется более предпочтительным, поскольку оно допускает «ручную» проверку. Однако человек, занимавшийся с утра до вечера в течение двух лет нудной проверкой, вряд ли может гарантировать, что он нигде не допустил ни одной ошибки.

В довершение всего в последнее время возникли сомнения в самом принципе программирования: похоже, что нет уверенности в переборе всех мыслимых карт с помощью тех типов, которые были указаны. Одним словом, сегодня нет достаточной уверенности в полноте ком- пьютерного решения. Все большее число скептиков склоняются се- годня к мнению о том, что проблема пока остается открытой.