194 Беседа 10. Комбинаторные задачи о графах

Задачи и упражнения

171. Докажите, что граф с n вершинами, представляющий собой простой

зависимости от четности числа n).

172. Является ли уникурсальным граф, изображенный на рисунке 260? 173. Для каждого из 5 правильных многогранников рассмотрим граф, состоящий из всех его вершин и ребер. Какие из этих графов уникурсальны

и какие гамильтоновы?

174. Верно ли, что можно обойти граф, пройдя каждое ребро ровно 3 раза, в том и только в том случае, если граф уникурсальный?

175. Является ли гамильтоновым граф, изображенный на рисунке 260?

45. Плоские графы

Любой граф можно изобразить на плоскости, взяв нужное число вершин и проведя линии, соединяющие некоторые пары вершин. Однако при этом проведенные линии (ребра графа) могут иметь «лишние» пересечения (как на рис. 234 и 238). Если граф можно так начертить на плоскости, что лишних пересечений не будет, то граф называется плоским.

Прежде чем изучать плоские графы, уточним, что значит «можно начертить граф на плоскости». На рис. 262 и 263 два графа G1 и G2

изображены на плоскости по-разному, но «устроены» они одинаково: в графе G1 вершины A1 и A3 соединены ребром, и в графе G2 соот-

ветствующие вершины B1 и B3 тоже соединены; в графе G1 вершины A2 и A5 не соединены ребром и в графе G2 соответствующие вершины B2 и B5 тоже не соединены и т. д. «Одинаково устроенные» графы

математики называют изоморфными (от греческих слов ςσοξ — оди- наковый и µορϕη — форма).

Более точно, два графа G1 и G2 называются изоморфными, если

они имеют одинаковое число вершин и при этом можно взаимно однозначно отобразить множество вершин первого графа на множе- ство вершин второго таким образом, что две вершины графа G1 тогда

и только тогда соединены ребром, когда образы этих вершин соеди- нены ребром в графе G2. Например, на рис. 264 и 265 графы кажутся

«непохожими», но в действительности они изоморфны (чтобы убе- диться в этом, достаточно каждой вершине первого графа поставить в соответствие во втором графе вершину с тем же номером).

Теперь понятие плоского графа можно точно определить следу- ющим образом: граф называется плоским, если существует на плос- кости изоморфный ему граф, изображенный без «лишних» пересече- ний. Например, граф, показанный на рис. 262, является плоским, поскольку он изоморфен графу (рис. 263), расположенному на плос- кости без «лишних» пересечений. Графы на рис. 266, 267 также явля- ются плоскими, в чем читатель может убедиться самостоятельно.

А теперь мы рассмотрим два графа, которые не являются плос- кими. Первый из них («домики и колодцы») получается следующим образом. На плоскости берутся шесть точек Д1, Д2, Д3 («домики») и

К1, К2, К3 («колодцы»). Эти точки являются вершинами графа, а его

ребрами являются девять дуг («тропинок»), которые соединяют каж- дый домик с каждым колодцем (рис. 268). Как мы видим, на рис. 268 две «тропинки» имеют точку пересечения. Оказывается, расположить «тропинки» на плоскости совсем без пересечений не удается. Иными словами, рассматриваемый граф не является плоским.

Вторым примером графа, не являющегося плоским, может слу- жить полный граф с пятью вершинами (рис. 238). Как бы мы ни провели девять непересекающихся ребер этого графа на плоскости (рис. 269), десятое ребро обязательно пересечет хотя бы одно из ранее проведенных ребер. Разумеется, сколько бы попыток, заканчиваю- щихся неудачей, мы ни сделали, это не дает доказательства того, что рассматриваемый граф не является плоским.

Приведем идею общего рассуждения, доказывающего, что этот граф не является плоским. Начертим в виде ломаных линий все 10 ребер полного графа с пятью вершинами A1, A2, A3, A4, A5 (с «лиш-

ними» пересечениями, рис. 269). Два ребра будем называть несмеж- ными, если они не имеют общих концов. Теперь обозначим через I число точек пересечения по всем парам несмежных ребер. На рис. 269

мы имеем I = 1, а для рис. 238 справедливо равенство I = 5. В обоих случаях число I нечетно. Мы докажем, что и при любом способе проведения ребер число I будет нечетным (мы при этом предполага-

Рис. 268 Рис. 269 Рис. 270

ем, что каждые два несмежные ребра пересекаются «по-настоящему», т. е. таких общих точек, как на рис. 270а, нет — от них легко избавиться малым шевелением ребер, рис. 270б).

Предположим, что мы меняем положение, скажем, ребра p1, т. е. заменяем p1 другой ломаной p1′, с теми же концами A1, A2 (рис. 271). Вместе взятые, ребра p1 и p1′ образуют замкнутый контур. Ребра p2, p3, p4, несмежные с ребром p1′, также образуют замкнутый контур.

Но любые два замкнутых контура на плоскости имеют четное число точек пересечения (об этом мы говорили в п. 39). Следовательно, число точек пересечения ребра p1 с этим контуром p2 p3 p4 имеет ту

же четность, что и число точек пересечения ребра p1′ с этим контуром. Это означает, что при замене положения ребра p1 любым новым положением p1′ четность числа I не меняется. То же справедливо не только для p1, но и для любого другого ребра.

Из этого следует, что если мы последовательно заменим все ребра начерченного на плоскости полного графа с пятью вершинами лю- быми новыми положениями ребер, то четность числа I не изменится. А так как на рис. 269 число I нечетно, то оно останется нечетным при любом способе вычерчивания ребер. Значит, в любом случае

I ≠ 0, т. е. без «лишних» пересечений ребер этот граф вычертить на плоскости невозможно.

Аналогично доказывается, что и граф «домики и колодцы» не является плоским, т. е. не может быть изображен на плоскости без «лишних» пересечений ребер.

Интересно отметить, что полный граф с пятью вершинами и граф «домики и колодцы» являются «эталонами» графов, не вложимых в плоскость: если граф не является плоским, то он непременно содержит один из двух указанных графов. Это было доказано польским матема- тиком Казимиром Куратовским. Например, граф на рис. 234 изомор- фен графу «домики и колодцы» и потому он не является плоским. Граф на рис. 272 содержит граф «домики и колодцы», следовательно, он не плоский. Полный граф с шестью вершинами (содержащий полный граф с пятью вершинами) также не является плоским.

Если же граф с пятью вершинами не является полным, то он — плоский. Иначе говоря, если мы потребуем, чтобы каждые две из пяти вершин, кроме одной пары вершин A, B, были соединены ребром, то такой граф можно расположить на плоскости без пересечения ребер (рис. 273). Как мы видим, на рис. 273 все ребра изображены прямо- линейными отрезками. Это справедливо и в общем случае: каждый плоский граф можно таким образом начертить на плоскости, что все его ребра будут прямолинейными отрезками (если, конечно, граф не содержит кратных ребер).

Задачи и упражнения

176. В четырехугольнике отмечены середины всех сторон, проведены его диагонали и средние линии. Рассмотрим граф, вершинами которого являются вершины четырехугольника и отмеченные точки, а ребрами — отрезки его сторон и проведенные отрезки. Является ли этот граф плоским?

177. Правильный 7-угольник дополнили наименьшими диагоналями. До- кажите, что полученный граф не является плоским.

178. Правильный 8-угольник дополнили наименьшими диагоналями. До- кажите, что полученный граф может быть вложен в плоскость.

179. Обобщите результаты задач 177 и 178.

180. Правильный 2n-угольник дополнили наибольшими диагоналями. Докажите, что при n > 2 полученный граф — не плоский.

46. Формула Декарта—Эйлера

Пусть G — некоторый связный граф, расположенный в плоскости, В — число его вершин, Р — число ребер. Через Г обозначим число областей («граней»), на которые этот граф разбивает плоскость. К числу этих областей относится и внешняя, неограниченная область, простирающаяся «до бесконечности». На рис. 274 изображен граф,

для которого В = 20, Р = 30, Г = 12. Легко заметить, что сумма чисел В и Г на две единицы превосходит число Р, т. е.

Для графа на рис. 275 имеем В = 10, Р = 13, Г = 5, т. е. соотноше- ние (3) также выполнено. То же можно усмотреть и для графа на рис. 276. Леонард Эйлер доказал, что формула (3) справедлива для любого связного графа на плоскости. Точнее, его теорема говорила не о «графах», а была сформулирована в иных терминах.

Всякое дерево является плоским графом. Это можно пояснить сле-

дующим описанием дерева. Возьмем в дереве G произвольную вер- шину A и рассмотрим все ребра, имеющие A одним своим концом (рис. 279), а другим — точки B1, B2, ..., Bk, которые мы расположим

«этажом выше». Каждая из точек Bi либо имеет индекс 1 (если ребро ABi является конечным, «тупиковым»), либо же из нее «на следующий этаж» идут новые ребра BiCj (рис. 280). Каждая из точек C1, C2, ..., Cq, в которых оканчиваются эти новые ребра, также либо имеет

индекс 1 (является «тупиком»), либо из нее выходят новые ребра. Продолжая таким образом, мы и начертим на плоскости дерево G.

Докажем теперь, что для каждого дерева G справедливо соотно- шение

где В — число вершин, а Р — число ребер дерева. Для доказательства проведем индукцию по числу вершин дерева. Если дерево содержит

только одну вершину A, то В = 1, Р = 0, т. е. соотношение (4) спра- ведливо. Это — начало индукции. Совершим теперь переход от n к n + 1. Предположим, что для любого дерева, содержащего n вершин,

формула (4) справедлива, и рассмотрим дерево G, содержащее n + 1 вершину. Пусть CD — какое-либо «тупиковое» ребро дерева G, т. е. вершина D имеет индекс 1 (рис. 281). Отбросив ребро CD, мы полу-

чаем дерево G′, содержащее n вершин. Для него, по предположению

индукции, формула (4) верна. Но при переходе от дерева G′ к G мы добавляем одно новое ребро CD и одну новую вершину D, т. е. раз- ность между числом вершин и ребер не изменяется. Следовательно, и для дерева G формула (4) остается справедливой. Таким образом, по индукции, формула (4) верна для любого дерева.

Теперь мы можем изложить идею доказательства формулы Декар- та—Эйлера (3). Для доказательства проведем индукцию по числу Г, т. е. по числу областей, на которые связный граф G разбивает плос-

кость. Пусть сначала Г = 1, т. е. на плоскости имеется только одна область, определяемая связным графом G. Тогда граф G является деревом (в противном случае в нем имелся бы цикл, вследствие чего

Рис. 280 Рис. 281 Рис. 282

плоскость оказалась бы разбитой на две или большее число областей, рис. 283). Так как G — дерево, то справедливо соотношение (4); кроме

того, Г = 1, и потому В − Р + Г = (В − Р) + Г = 1 + 1 = 2, т. е. в этом случае соотношение (3) справедливо. Это — начало индукции.

Совершим теперь переход от n к n + 1. Предположим, что для любого связного графа, разбивающего плоскость на n областей, фор- мула (3) справедлива, и рассмотрим связный граф G, разбивающий плоскость на n + 1 область. Пусть AB — какое-либо ребро, по кото- рому примыкают друг к другу две из этих областей, скажем, области F1 и F2 (рис. 283). Если мы уберем из графа G ребро AB (оставив

вершины A и B), т. е. уберем «перемычку», разделяющую области F1 и F2, то эти области соединятся в одну область F (рис. 284), а

остальные области останутся без изменения. Иначе говоря, убрав ребро AB, мы получим вместо G связный граф G′, который разбивает плоскость не на n + 1, а на n областей. Следовательно, по предполо- жению индукции, для графа G′ формула (3) справедлива. Но у графа G столько же вершин, сколько у графа G′, тогда как ребер у G на одно больше; чем у графа G′, и областей («граней») тоже на одну больше. Значит, при переходе от G′ к графу G число В − Р + Г не изменится, т. е. формула (3) останется справедливой и для графа G. Проведенная индукция показывает, что формула (3) справедлива для любого связного графа на плоскости.

Следует заметить, что проведенное рассуждение содержит основ- ную идею, которая для получения корректного доказательства должна быть дополнена некоторыми уточненными деталями. Так, рассматри-

вая граф G, разбивающий плоскость на n + 1 часть, мы взяли в нем ребро AB, к которому примыкают две различные области F1 и F2

(рис. 283). Однако, как показывает рис. 285, могут существовать ребра, к которым с обеих сторон примыкает одна и та же область. Значит, в качестве AB можно взять не любое ребро графа G. Однако требуемое ребро (к которому примыкают две различные области) все же можно найти. В самом деле, в графе G существует некоторый цикл (этот граф не может быть деревом, поскольку он разбивает плоскость

на n + 1 часть, т. е. не менее чем на две области). Если взятый цикл