ловиям lim f(x) = 0, lim f(x) = 1 (т. е. вероятность того, что x примет x→−∞ x→+∞

значение, «не превосходящее +∞», равна единице).

Для нормального распределения соответствующая функция рас- пределения равна Φ(x) (см. (11)), ее график показан на рис. 216. Теперь интегральная теорема Муавра—Лапласа может быть сформу-

лирована следующим образом: с точностью до сдвига и растяжения функция распределения для бернуллиевой случайной величины примерно

совпадает с нормальной функцией распределения Φ(x) (чем больше n,

тем точнее совпадение).

Биноминальное, пуассоновское и нормальное распределения представляют собой наиболее важные распределения — как в самой теории вероятностей, так и в ее приложениях.

Задачи и упражнения

146. Постройте график функции распределения для случайной величины,

равной числу очков, выпадающих на грани игрального кубика.

147. Постройте аналогичный график для кубика со смещенным центром

тяжести (см. задачу 142).

148. Если бы проводилась игра «Спортлото» 3 из 6 (см. задачу 129), то как выглядела бы функция распределения для числа угаданных номеров в

этой игре?

149. Объясните, почему многие инженеры считают, что при нормальном распределении значения, большие 3, практически не возникают.

150. При каких значениях a и b функция f(x) = a arctg x + b может быть функцией распределения некоторой случайной величины?

38. Закон больших чисел

Допустим, что производится n бросаний монеты. Рассчитывать, что успех (орел) осуществится ровно в половине случаев, мы, конечно, не вправе. Однако какова вероятность того, что частота выпадений

оказывается равной 0,9545 (это легко установить с помощью таблицы значений функции Φ(x), имеющейся во многих учебниках теории вероятностей), а при n = 40 000 она становится равной 0,99994.

Аналогичный расчет показывает, что для испытаний Бернулли, в которых вероятность успеха при каждом испытании равна p, для

любого ε > 0 справедливо соотношение

Иными словами, вероятность того, что средняя доля успехов при испытаниях Бернулли отклоняется от p более, чем на заданное поло-

жительное число ε, стремится к нулю при n → ∞.

Это утверждение известно под названием закона больших чисел, который оправдывает наше интуитивное представление о вероятно- сти как о частоте наступления успеха.

Закон больших чисел можно осмыслить еще следующим образом. Обозначим через Xi случайную величину, означающую исход i-го

испытания, i = 1, ..., n. Она принимает значение 1 (успех) с вероятно-

стью p и значение 0 (неудача) с вероятностью q = 1 − p. Случайную величину Xi можно назвать числом успехов при проведении i-го испы-

Пусть X1, X2, ... — последовательность взаимно независимых слу-

чайных величин с одинаковыми распределениями и математическим ожиданием µ = E(Xi). Тогда для ε → 0

Выше мы обосновали справедливость этого утверждения лишь в случае, когда Xi принимают лишь два возможные значения 1 и 0 с

вероятностями p и q = 1 − p соответственно (так что µ = p). Но теперь это обстоятельство не постулируется, т. е. указанная формулировка относится к случаю, когда распределение случайной величины X произвольно. Тем не менее, и в такой более общей формулировке закон

больших чисел оказывается справедливым. Это было установлено русским математиком А. Я. Хинчиным в 1929 году.

Пусть, например, рассматривается последовательность бросаний не монеты, а игральной кости, и случайная величина — число очков, выпавшее при i-м бросании. Здесь математическое ожидание величи-

очков, выпавших после n бросаний. Закон больших чисел в форму- лировке Хинчина утверждает, что при большом n это среднее число

очков с вероятностью, близкой к 1, будет близким к 72. Если при этом

дисперсия D(Xi) конечна для всех i, то можно указать оценки, анало-

гичные (10); это было установлено Линденбергом в 1922 году. Однако в формулировке Хинчина (14) закон больших чисел справедлив без каких бы то ни было предположений о дисперсии.

Более того, был установлен закон больших чисел в усиленной форме. Для случая испытаний Бернулли он утверждает, что для лю-

бого ε > 0 с вероятностью 1 неравенство

осуществляется при неограниченном возрастании n лишь для конеч- ного числа испытаний, т. е. левая часть неравенства (15) принимает большие значения крайне редко. Этот закон был сформулирован и доказан Кантелли в 1917 году. Еще более сильный результат (так называемый закон повторного логарифма) был найден в 1924 году А. Я. Хинчиным, а затем еще усилен (в 1929 году) выдающимся рус- ским математиком А. Н. Колмогоровым. Мы здесь эти результаты не формулируем; отметим лишь, что в формулировке Колмогорова допускается рассмотрение последовательности случайных величин X1, X2, ... с различными распределениями.

В заключение мы приведем одно приложение закона больших чисел, найденное в 1909 году известным французским математиком Борелем и впоследствии усиленное А. Я. Хинчиным.

Пусть x — действительное число, удовлетворяющее неравенствам 0 ≤ x < 1, и пусть

— его десятичное разложение. Будем проводить последовательность независимых испытаний Бернулли, где n-е испытание состоит в том, что мы рассматриваем n-ю цифру числа x. Испытание будем считать успешным, если эта цифра равна 5. Таким образом, с каждым числом (16) связана бесконечная последовательность указанных испытаний Бернулли. Здесь при каждом испытании вероятность успеха равна