крывший эту новую область математики и ее приложения к экономи- ке, за это открытие был удостоен Нобелевской премии.

Фигуры, формулы, закономерности многомерных пространств, изучаемые математикой, являются, таким образом, «слепками», мо- делями, имитациями реальных процессов, но относятся они не к пространственным, в буквальном понимании, а к пространственно- подобным формам реального мира.

И хотя в буквальном смысле «видеть» многомерные фигуры ни- кому не дано, но, переходя от двумерного случая (плоскости) к трех- мерному пространству и рассуждая далее по аналогии (с учетом математических формул многомерной геометрии), можно выработать многомерные представления и интуицию, которые заменяют «виде- ние» многомерных фигур обычным зрением. Именно в этом смысле математики охватывают мысленным взором геометрические фигуры и открывают закономерности в многомерных и даже бесконечно- мерных пространствах (находящих важные приложения, например, в квантовой физике). А аналитические расчеты позволяют точно под- твердить правильность этих наглядно подмеченных фактов много- мерной геометрии.

Такое «многомерное зрение» настолько характерно для современ- ной математики и ее приложений, что геометрия сегодня не только является наукой о непосредственно наблюдаемых пространственных формах реального мира, но и служит средством осмысления мате- матических (в том числе количественных) соотношений и законо- мерностей с помощью образов многомерной геометрии, служит сред- ством переработки и организации математической информации. Это

— своеобразное «геометрическое мировоззрение» современного ма- тематика, физика, биолога.

Многомерная геометрия — это лишь один (хотя и очень важный) пример пространственноподобных отношений реального мира. Наи- более общие пространственноподобные отношения изучаются в то- пологии, одном из наиболее абстрактных и в то же время имеющих широкие приложения разделов современной математики.

6. Количественные отношения реального мира

Понимание количественных отношений, составляющих другую часть энгельсова определения математики, также нуждается в уточ- нении и расширении. При непосредственном, численном понимании количественных отношении мы имеем в виду: результат счета; ре- зультат измерения длин, площадей, объемов, скоростей, температур и других величин; функциональную зависимость (связывающую значе- ния двух или нескольких переменных величин и позволяющих найти значение зависимой переменной, если известно значение независимой переменной, называемой аргументом), а также дальнейшие числовые характеристики, связанные с этими понятиями — производная, ин- теграл, дифференциальное уравнение и его решения и т. д. Разумеет- ся, буквенные обозначения, идущие от работ Рене Декарта и Франсуа Виета, и связанное с ними дальнейшее развитие алгебры (тождества,

уравнения, многочлены — вплоть до понятий группы, поля и даль- нейших обобщений) также подпадают под категорию количественных отношений. Все это приводит к численным результатам (или предпо- лагает возможность свести, в конце концов, все к численным резуль- татам). Однако за последнее время весьма важное значение приобрело качественное выражение количественных закономерностей реального мира. Приведем несколько примеров для пояснения того, о чем здесь идет речь.

При работе паровой машины (или другого двигателя) угловая скорость вращения вала не является, конечно, строго постоянной. Некоторые флуктуации давления пара в котле, небольшие колебания нагрузки и другие «возмущения», как говорят математики и инжене- ры, приводят к тому, что угловая скорость вращения вала то и дело отклоняется от номинального значения. Однако возникшие отклоне- ния гаснут, и угловая скорость вновь и вновь приближается к этому значению. В таком случае говорят, что работа паровой машины является устойчивой.

Мы специально остановили внимание на паровой машине, этом несколько старомодном двигателе, чтобы рассказать об исторических фактах, существенно связанных с развитием математики. В XIX сто- летии паровые машины становились все более совершенными. Уве- личивались скорости вращения и, в связи с этим, уменьшались раз- меры и массы маховиков (массивный маховик большого размера может разорваться при быстром вращении), более массивными ста- новились заслонки паропроводов и в связи с этим увеличивалась масса шаров центробежного регулятора Уатта (напомним, что этот великолепный по своему замыслу регулятор, схематически показан- ный на рис. 13, приводит к расхождению шаров при чрезмерном увеличении скорости вращения, благодаря чему прикрывается заслон- ка паропровода и скорость вращения начинает уменьшаться). Кроме того, совершенствование машин было связано с улучшением обработ- ки поверхностей и уменьшением трения... И вдруг наступил кризис в машиностроении. Одна за другой вновь спроектированные паровые машины ломались, шли вразнос.

Русский инженер И. А. Вышнеградский изящным математичес- ким исследованием вскрыл причину этого кризиса.

Он изучил дифференциальное уравнение, приближенно описы- вающее работу паровой машины, и обнаружил, что у прежних (ус- тойчиво работавших) машин корни соответствующего «характерис- тического уравнения» были расположены в плоскости комплексных чисел слева от мнимой оси (рис. 14), чем и гарантировалась устойчи- вая работа машин. Уменьшение маховиков, увеличение массы шаров регулятора, уменьшение трения в сочленениях привело к постепенно- му перемещению корней характеристического уравнения вправо. В конце концов корни «перешагнули» через мнимую ось, вследствие чего работа машины стала неустойчивой: малейшее отклонение от положения равновесия приводило к увеличению, а не уменьшению амплитуд отклонений, происходила все увеличивающаяся раскачка,

машина «шла вразнос». И поскольку уменьшение маховиков и увеличение шаров регулятора было необходимым объективным усло- вием увеличения мощности машин, Вышнеградский выдвинул тезис: надо искусственно вводить дополнительное «вязкое» трение при по- мощи специальных устройств, демпферов. Этот вывод — качествен- ный, характеризующий глубокое понимание существа происходящих процессов, хотя выражался он через количественные расчеты и, в свою очередь, позволял видоизменять конструкции и расчеты в нуж- ном направлении. Вскоре возникла новая ветвь математики, теория устойчивости, в создание и развитие которой наибольший вклад внесли академик А. А. Ляпунов (1857 – 1918) и другие русские мате- матики.

Второй пример относится к области экологии. В скалистых фиор- дах Норвегии водятся белые куропатки, являющиеся важным объек- том охотничьего промысла. Было замечено, что значительную часть куропаток уничтожают орланы. И тогда было решено истребить конкурентов-орланов, для чего за убитого орлана была назначена цена, несколько превышающая цену куропатки. Охотники переклю- чились на этот более выгодный промысел, и вскоре орланы были выбиты почти полностью. Результат был обнадеживающим: поголо- вье куропаток стало расти из года в год. И вдруг, через 17 лет, наступила катастрофа. Без всяких видимых причин наступил страш- ный мор в стаях куропаток, и они почти исчезли.

Математическое исследование дает хорошо подтверждающуюся качественную картину этого явления. Куропатки болеют вирусным орнитозом. Больные птицы менее подвижны, и именно они в первую очередь становились добычей орланов. Подобно волкам в наших лесах, орланы были санитарами, отбраковывающими больных птиц. А в отсутствие орланов скученность растущего поголовья куропаток привела к эпидемии. Расчеты, связанные с составлением и решением

дифференциальных уравнений «совместного существования видов», позволили дать полную качественную картину. Без учета орланов уравнение описывало «совместное существование двух видов» (куро- патки — вирусы), решение которого обнаруживало устойчивый пе- риодический процесс (возрастание поголовья куропаток — возникно- вение эпидемии — медленное восстановление небольшой популяции сохранившихся куропаток — новое возрастание поголовья и т. д.). И неважно, дает ли расчет точно 17 лет в качестве периода повторения процесса или 15, или 20. Важно, что он дает правильную качествен- ную картину, позволяющую правильно вести охотничье хозяйство. И действительно, через много лет, когда восстановилось поголовье ор- ланов-санитаров, все вошло в прежнее устойчивое состояние.

В рассмотренных примерах качественный характер проявления количественных закономерностей был совершенно различным. В пер- вом примере изучалась устойчивость приближения к равновесному режиму, во втором — периодический, колебательный характер про- являющихся видоизменений. Количественные отношения реального мира проявляются здесь в их качественном выражении. Отражением этого является возникновение в современной математике теории устойчивости, качественной теории дифференциальных уравнений, теории катастроф и других разделов, в которых количественное ис- следование направлено на получение не численных, а качественных результатов.

Таким образом, несмотря на уточнения, которые должны быть сегодня сделаны в понимании пространственных форм и количест- венных отношений реального мира, энгельсово определение предмета математики (даже в применении к современному ее развитию) пра- вильно отражает наличие в ней двух основополагающих начал. Про- странственное и количественное порождают всю математику, взаимо- проникая друг в друга и обогащаясь все новыми связями. Учитывая те уточнения в понимании пространственного и количественного, которые были отмечены выше, можно в итоге сформулировать сле- дующее определение предмета математики: предметом математики являются, во-первых, пространственные (а также пространственнопо- добные) формы реального мира, и, во-вторых, количественные отно- шения (в их численном или качественном выражении) реального мира. Взаимосвязь и взаимопроникновение этих двух ее частей обу- словливают все многообразие разделов и направлений современной математики.

Заметим в заключение, что мы здесь обсуждали только предмет математики, оставив вне рассмотрения ее методы. Они также весьма специфичны. Здесь и дедукция, и математический аспект индукции, анализ и синтез, аналогия и многое другое. Здесь также аксиомати- ческий метод, интересный подход к пониманию непротиворечивости теории, глубокое обобщение аристотелевской логики. Но о методах математики мы поговорим позже, постепенно раскрывая содержание различных разделов этой науки.