37. Нормальное распределение

Площадь, заключенная между графиком функции и осью абсцисс,

равна 1 (рис. 210). Иначе говоря,

−∞

Теперь обратимся к теореме Муавра—Лапласа. Рассуждения бу- дут носить интуитивный, поисковый характер. Пусть Sn — случайная

величина, означающая число успехов при проведении n последова- тельных испытаний Бернулли, причем в каждом испытании вероят- ность успеха равна p. Как мы знаем, математическое ожидание этой

случайной величины равно E(Sn) = np. Будем для простоты считать,

что число np является целым, и найдем вероятность того, что число успехов будет равно np. Используя формулу (15) предыдущей беседы

(при k = np, n − k = nq), мы находим:

Можно убедиться (при помощи той же формулы (15)), что если k отличается от np, то вероятность P(k) наступления k успехов при

P(k) (k = 0, 1, ..., n) достигает наибольшего значения при k = np. Теперь заметим, что правая часть формулы (15) определена при

всех k > 0, а не только при целых (левую часть тоже можно доопре- делить при нецелых k, но это требует сложного математического аппарата). Рассмотрим функцию P(x) и попытаемся сдвигами и рас- тяжениями (сжатиями) приблизить ее к ϕ(x). Функция ϕ(x) достигает

наибольшего значения при x = 0 (рис. 209), поэтому кривую, соответ- ствующую испытаниям Бернулли (рис. 202–206), целесообразно для сравнения с ϕ(x) сдвинуть влево на расстояние np, т. е. рассмотреть

функцию P (x) = P(x + np) (рис. 211, который построен для случая

n = 100, p = 0,25). Тогда функция P (x), как и функция ϕ(x), будет иметь наибольшее значение при x = 0. Но наибольшее значение функ-

чтобы сделать наибольшие значения рассматриваемых функций оди- наковыми, надо вместо P (x) взять функцию √npq P (x).

Далее, как мы знаем, P(0) + P(1) + ... + P(n) = 1, поскольку вероят- ность того, что хоть какое-нибудь число успехов (от 0 до n) наступит при n испытаниях, равна единице. Это означает, что площадь под

графиком кривой P(x) равна единице (на рис. 212 площадь заштри- хованного прямоугольника равна P(l)). То же верно и для сдвинутой

функции P (x), а для функции √npq P (x) это неверно — все ее орди- наты в √npq раз больше ординат функции P (x), поэтому площадь под графиком функции √npq P (x) равна √npq . Это можно исправить

следующим образом: сжать график функции √npq P (x) к оси орди- нат в √npq раз, т. е. рассмотреть функцию

√npq P (x√npq ) = √npq P(x√npq + np), (9)

площадь под ее графиком равна единице, как и для функции ϕ(x) (график функции √npq P (x√npq ) приведен на рис. 213).

Итак, функция (9) имеет максимальное значение при x = 0, это максимальное значение равно √21π , как и для функции ϕ(x), и пло-

щадь под графиком функции (9) равна 1, как и для функции ϕ(x). Иначе говоря, обе функции «похожи». Это и дает геометрическую форму теоремы Myавра—Лапласа: при n → ∞ график функции (9) все более тесно прижимается к графику функции ϕ(x). Доказательство

может быть получено предельным переходом (при n → ∞) с помощью формулы (15).

А теперь сформулируем теорему Муавра—Лапласа в интеграль- ной форме. Так как кривые (9) и ϕ(x) близки, то площадь под кривой

(9) на участке a ≤ x ≤ b примерно равна аналогичной площади для b

кривой (7) (рис. 214), т. е. примерно равна ∫ ϕ(x)dx. Но площадь под

a

кривой (9) на указанном участке равна сумме вероятностей P(l) по всем l, для которых a√npq + np ≤ l ≤ b√npq + np. Это ясно из рис. 212,

на котором площадь заштрихованного прямоугольника равна P(l). Иначе говоря, вероятность того, что значения случайной величины Sn (т. е. число успехов при n испытаниях) заключено между

a√npq + np и b√npq + np, примерно равна указанному выше интегралу (и стремится к этому интегралу при n → ∞)

−∞

т. е. через Φ(x) обозначают площадь под кривой ϕ(t) на участке от

−∞ до x (рис. 215). Ясно тогда, что правая часть равенства (10) равна

Φ(b) − Φ(a) (рис. 214).

B заключение остановимся на понятии распределения случайной величины и, в частности, определим смысл термина нормальное рас- пределение. Пусть X — случайная величина, которая может принимать конечное число значений x1, x2, ..., xn. Говорят, что задано распреде-

ление случайной величины X, если заданы те вероятности p1, p2, ..., pn, с которыми величина X принимает эти значения: P(X = x1) = p1,

P(X = x2) = p2, ..., P(X = xn) = pn. Например, случайная величина Sn, т. е. число успехов при n испытаниях Бернулли, имеет распределение

P(X = k) = kn pkqn−k (см. формулу (15) в предыдущей беседе). Его на- зывают биноминальным распределением, поскольку в его выражение входят биноминальные коэффициенты kn .

Термин распределение употребляется и в том случае, когда случай- ная величина принимает бесконечное множество значений. Напри- мер, правая часть формулы (16), рассмотренной в предыдущей беседе,

задает пуассоновское распределение P(X = k) = k1! λke−λ, приближенно

описывающее число успехов при большом числе испытаний Бернул- ли, когда вероятность успеха при каждом испытании имеет вид

Рис. 215 Рис. 216

λ

P = n, где λ мало в сравнении с n. Здесь случайная величина может

принимать, вообще говоря, бесконечное (счетное) множество значе- ний.

Но случайная величина может принимать и несчетное множество значений. Например, если мы бросаем шарик в длинную узкую (по ширине равную диаметру шарика) коробку, то точка касания шарика с дном коробки может оказаться в любой точке некоторого отрезка на основании коробки. Обычно такое непрерывное распределение

можно описать с помощью функции ϕ(x), которая представляет собой не вероятность того, что F точно примет значение x, а плот- ность вероятности в точке a. Говорят, что случайная величина F имеет плотность вероятности ϕ(x), если вероятность того, что F

b

примет значение, принадлежащее отрезку [a; b], равна ∫ ϕ(x)dx.

a

Таким образом, чем меньше отрезок [a; b], тем меньше вероят- ность того, что F примет значение, принадлежащее этому отрезку. Вероятность того, что F примет какое-нибудь действительное значе- ние, равна (согласно (8)) единице, как и следует ожидать, а вероят- ность того, что F примет в точности заданное значение a, равна a

∫ ϕ(x)dx = 0.

a

Непрерывное распределение с плотностью ϕ(x), определенное ра-

венством (7), принято называть нормальным распределением.

Связь биноминального и нормального распределений (теорема Муавра—Лапласа) может быть в иной форме пояснена с помощью понятия функции распределения. Пусть X — некоторая случайная

величина. Обозначим через f(a) вероятность того, что случайная ве- личина X примет значение, не превосходящее а: f(a) = P(X ≤ a). Тогда f(x), очевидно, представляет собой неубывающую функцию. Она назы- вается функцией распределения случайной величины X. Для любой случайной величины X ее функция распределения удовлетворяет ус-