133. Три стрелка стреляли в одну мишень. В мишени оказалось две пробоины. Первый попадает с вероятностью 0,9, второй — с вероятно- стью 0,8, третий — с вероятностью 0,7. Какова вероятность, что промахнулся именно третий?

134. В вазе лежали 10 конфет «Мишка» и 5 конфет «Каракум». Три конфеты взял младший брат, затем старший берет наугад одну конфету, не зная, какие именно конфеты взял младший. Какова вероятность, что он вытащит «Каракум»?

135. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма очков будет больше десяти, если при бросаниях ровно один раз выпадала шестерка? А при условии, что при первом бросании выпала шестерка?

35. Независимые события и серии испытаний

Мы уже знаем, что при определенных условиях происходит сло- жение вероятностей: если события A и B несовместны, то вероятность события А U B равна сумме их вероятностей (формула (10)). А теперь мы рассмотрим случай умножения вероятностей. Будем говорить, что событие A не зависит от события C, если вероятность события A остается одной и той же вне зависимости от того, произошло или не

произошло событие C, т. е. если P(А) = P(А/C). Иначе говоря, собы-

тие A не зависит от C, если P(А) = P(А I C)

P(C)

если выполнено соотношение

Это равенство симметрично относительно обоих событий A и C, поэтому если A не зависит от события C, то и C не зависит от A. В связи с этим говорят короче: события A и C независимы.

Равенство (14) можно считать определением независимости, т. е. два события называются независимыми, если вероятность их одновре- менного наступления равна произведению вероятностей этих событий. Но как можно убедиться в независимости событий A и C? Можно, конечно, отдельно вычислить вероятности всех трех событий A, C,

А I C и проверить, выполняется ли равенство (14). Однако чаще всего

онезависимости событий судят, исходя из некоторых общих сообра- жений о том, что наступление события C «не влияет» на вероятность события A.

Пусть, например, два раза подряд бросается монета. Обозначим через C выпадение орла при первом бросании, а через A — выпадение орла при втором бросании. Мы считаем «из общих соображений», что наступление или ненаступление события C, связанного с первым бросанием монеты, никак не сказывается на результате второго бро- сания (ведь после первого бросания с монетой ничего не произошло, и мы отдельно, независимо бросаем ее второй раз). Иначе говоря, исход первого бросания и исход второго бросания не связаны друг с другом, независимы, т. е. первое и второе бросания происходят «при неизменных условиях». И так как при каждом отдельном бросании

ние орла при обоих бросаниях, имеет, согласно (14), вероятность

P(А I C) = P(А) P(C) = 12 12 = 14.

Как видим, мы здесь использовали формулу (14) не для проверки того, что события A и C независимы, а для того, чтобы вычислить вероятность события А I C, будучи заранее уверенными в том, что события A и C независимы.

Фактически мы уже несколько раз использовали эти соображения, не указывая явно, что речь идет о независимых событиях. Вспомним, например, вероятностное обоснование законов Менделя. Все гибриды первого поколения имеют генотип Ww. Каждое растение следующего

(второго) поколения гибридов с вероятностью 12 получает материн- ский ген w (через семяпочку) и независимо от этого с вероятностью 12 получает отцовский ген w (пыльца). Значит, согласно формуле (14) вероятность появления растения с генотипом ww (морщинистые го- рошины) равна 12 12 = 14. А дополнительное событие (гладкие горо-

шины) имеет согласно (11) вероятность 34. Это и дает менделевское

отношение 3:1.

Важным примером применения формулы умножения вероятнос- тей являются повторные независимые испытания, рассмотренные вы- дающимся математиком Яковом Бернулли (1654 – 1705). Проводится серия: первое испытание, второе испытание, ..., n-е испытание, при- чем они проводятся при совершенно одинаковых условиях и их результаты никак не сказываются на последующих испытаниях. На- пример, можно рассматривать последовательность бросаний монеты (или последовательность бросаний игральной кости). Рассматривают- ся два дополнительных события S и F, причем событие S («успех») имеет — при каждом испытании — вероятность p, а дополнительное

событие F = cS («неудача») имеет вероятность q = 1 − p. В случае бро- сания монеты можно принять за S выпадение орла, а за F — выпа-

дение решки: тогда p = 12 и q = 1 − p = 12. При бросании игральной кости можно за S принять, например, выпадение единицы (успех), а за F — выпадение любого другого числа очков; в этом случае p = 16,

q = 1 − p = 56. Испытания считаются независимыми, поэтому можно

применять формулу умножения вероятностей.

Рассмотрим некоторые типичные задачи, связанные с серией не- зависимых повторных испытаний. Вероятность того, что при всех n

испытаниях нам будет сопутствовать успех, равна pn. В самом деле, вероятность успеха при каждом (первом, втором, ..., n-м) испытании равна p, а вероятность пересечения этих событий (т. е. наступления успеха при всех испытаниях) равна, в силу независимости испытаний,

произведению их вероятностей, т. е. равна p p ... p (где число множи- телей равно n).

Аналогично, вероятность того, что при всех n испытаниях нас

будет преследовать неудача, равна qn. Следовательно, дополнитель- ное событие (т. е. наступление хотя бы одного успеха при n испыта-

ниях) имеет вероятность 1 − qn.

Например, при бросании кости (успех — выпадение единицы, т. е. p = 16, q = 56) вероятность наступления успеха при всех n испытаниях

(каждый раз выпадала единица) равна 1 n. Вероятность неудачи при

6

всех n испытаниях (ни разу не выпала единица) равна 56 n. А допол- нительное событие (при n бросаниях хотя бы раз выпала единица)

имеет вероятность 1 − 65 n.

Если же бросается пара костей и успехом считается выпадение двух единиц, то вероятность успеха p = 361 , а вероятность неудачи

q = 1 − p = 3536. В случае, когда пара костей последовательно бросается

вероятность неудачи при всех испытаниях (ни разу не выпала пара

35 n

единиц) равна 36 . А дополнительное событие (при n бросаниях

хотя бы раз выпала пара единиц) равна 1 − 3536 n. В частности, при

n = 24 вероятность неудачи при всех испытаниях равна (как мы видели при рассмотрении игры де Мере)

задача о том, с какой вероятностью при n испытаниях успех осу- ществится ровно k раз. Случаи k = 0 или k = n были рассмотрены выше, а сейчас мы обратимся к рассмотрению произвольного k (где

0 ≤ k ≤ n).

Сначала определим вероятность того, что первым k испытаниям будет сопутствовать успех, а всем последующим n − k испытаниям — неудача. Так как успех или неудача при каждом испытании представ- ляют собой события, независимые от результатов других испытаний, то, согласно формуле умножения (см. (14)), искомая вероятность рав- на p p ... p q q ... q, где первые k множителей равны p, а последующие

n − k множителей равны q, т. е. эта вероятность равна pkqn−k. Та же вероятность соответствует событию, которое состоит в том, что при испытаниях с заданными k номерами (скажем, первыми k нечетными) осуществится успех, а при всех остальных испытаниях — неудача.

Общее же событие «n испытаний привели k раз к успеху и n − k раз к неудаче» есть объединение стольких элементарных событий (рас- смотренного типа), сколькими способами можно k букв S расставить на n местах (а на остальных местах поставить букву F). Это число

способов равно kn (сочетания без повторений). Каждое из этих эле-

ментарных событий имеет вероятность pkqn−k, а друг с другом они несовместны. Поэтому по формуле сложения вероятностей (см. (10)) вероятность получить ровно k успехов при n испытаниях равна

Последнее выражение получается с помощью формулы Стирлинга (6). В качестве иллюстрации этой формулы заметим, что сумма всех чисел P(k) (по k = 0, 1, ..., n) должна быть равна единице, поскольку осуществление хоть какого-то числа успехов (от 0 до n) есть достоверное событие. И в самом деле, сумма всех чисел P(k) по

k = 0, 1, ..., n согласно формуле бинома Ньютона (см. п. 28), равна

(p + q)n = 1n = 1.

Рассмотрим пример. Монета бросается 10 раз. Какова вероят- ность того, что ровно 5 раз выпадает орел и 5 раз решка? Здесь

«успех» (орел) имеет вероятность p = 12, «неудача» (решка) тоже имеет

выпадут как раз 5 орлов и 5 решек. А расчет дал для вероятности

этого события значение 0,246, т. е. примерно 14. Иначе говоря, всего

один шанс из четырех за то, что при 10 бросаниях монеты орел выпадет ровно 5 раз.

Аналогично вероятность выпадения орла ровно 4 раза (при десяти

выпадения орла ровно 6 раз. Значит, вероятность того, что орел выпадет 4, 5 или 6 раз, примерно равна 0,205 + 0,246 + 0,205 = 0,656,

т. е. примерно равна 23. Значит, имеется два шанса из трех за то, что

при 10 бросаниях монеты орел выпадет 4, 5 или 6 раз.

На рис. 202 графически показаны вероятности выпадения орла k раз при десяти бросаниях монеты. «Колоколообразная» линия, соединяющая показанные точки, характерна для поведения вероят- ностей при испытаниях Бернулли.

В качестве второго примера рассмотрим шестикратное бросание игральной кости. «Успех» (выпадение единицы) имеет вероятность

ятности k успехов в этой задаче. И здесь наблюдается похожая коло- колообразная кривая, но смещенная влево (это связано с тем, что вероятность p меньше половины). А если «успехом» при бросании

кости мы будем считать выпадение не менее трех очков (здесь p = 23),

то при восьми бросаниях (n = 8) мы получим картину, показанную на рис. 204. В этом случае колоколообразная кривая смещена вправо.

В заключение укажем формулу, которая была найдена известным французским математиком Симоном Пуассоном (1781 – 1840) и ко- торая дает при определенных условиях приближенное значение веро-

154 Беседа 7. События и вероятности

ятности (15). Условия, при которых удобно применять формулу Пу- ассона, следующие: k невелико по сравнению с n (это обозначают так:

k << n, читается: «k много меньше n») и, кроме того, вероятность

Здесь справа в первой дроби и в числителе, и в знаменателе стоят k множителей, примерно равных n, и потому эта дробь приближенно равна 1. Далее,

Это и есть формула Пуассона, дающая приближенное значение ве- роятности того, что при n последовательных испытаниях Бернулли «успех» реализуется k раз.

Рассмотрим примеры применения формулы Пуассона. Вернемся снова к шестикратному бросанию игральной кости, причем успехом

будем по-прежнему считать выпадение единицы, т. е. n = 6, p = 16.

λ

В формуле Пуассона принимается, что p = n, т. е. в данном случае

λ = 1. Теперь вероятности k успехов в этой задаче, вычисленные по

формуле Пуассона, показаны на рис. 205 (точки), а для сравнения черточками показаны точные значения этих вероятностей (как на рис. 203). Мы видим, что для всех k значения вероятностей близки

друг к другу, хотя вряд ли можно считать, что n = 6 «велико» по

сравнению с k = 0, 1, 2, 3, ... . А при больших значениях n совпадение обеих частей приближенного равенства (16) еще более хорошее.

В качестве второго примера возьмем некоторую (случайно подо- бранную) группу из 100 бразильцев, которые все фенотипически нор-

Рис. 205 Рис. 206

мальны. Какова вероятность Pk того, что среди них имеются k лиц,

имеющих генотип Aa, т. е. имеющих один рецессивный ген a, связан- ный с ахейроподией? Конечно, нас интересуют лишь небольшие зна-

чения k (скажем, k = 0, 1, 2, 3, 4).

Вероятность иметь ген a в данном случае, как мы видели, равна

λ

p = 0,02. Так как n = 100, то по формуле p = n мы должны принять

λ = 2. Здесь, в самом деле, k и λ невелики по сравнению с n. Теперь по формуле Пуассона находим следующие приближенные значения вероятностей (рис. 206): P0 ≈ 0,135, P1 ≈ 0,270, P2 ≈ 0,270, P3 ≈ 0,180.

Рассмотрим еще один пример. В клубе 500 человек. Какова веро- ятность Pk того, что для k членов клуба их день рождения совпадает

с праздником рождества (25 декабря)? Здесь вероятность «успеха»

т. е. λ невелико по сравнению с n. По формуле (16) находим следую-

щие приближенные значения вероятностей: P0 ≈ 0!1 λ0e−λ = e−λ ≈ 0,254,

P1 ≈ 11! λ1e−λ ≈ 0,348, P2 ≈ 0,239, P3 ≈ 0,109, P4 ≈ 0,137, ... .

В частности, вероятность того, что хотя бы один из членов клуба родился в день рождества, равна 1 − P0 ≈ 0,746, т. е. примерно три

шанса из четырех за то, что кто-то из членов клуба отмечает день рождения в праздник рождества.

Наконец, приведем еще одну иллюстрацию. Допустим, что по

статистике в час пик (1200 — 1300) в городе происходит дорожно- транспортное происшествие (ДТП) с вероятностью 0,732. Тогда веро-

ятность ДТП в данную минуту равна p = 601 0,732 = 0,0122. Какова

вероятность того, что в какую-то минуту произойдут одновременно два ДТП? А три? А ни одного ДТП?