128. Десять человек садятся за круглый стол. Какова вероятность, что два данных человека окажутся рядом?

129. В «Спортлото» на карточке с числами от 1 до 49 игрок отмечает 6 чисел; при проведении тиража также определяются 6 «выигрышных» чисел; выигрывают карточки, в которых с результатами тиража совпали 3, 4, 5 или 6 чисел. Какова вероятность угадать 6 номеров из 49 при игре в «Спортлото»?

130. Из колоды в 36 карт вытащили 6 карт. Какова вероятность, что среди них: а) есть все четыре масти; б) нет ровно одной масти?

34. Условная вероятность

Начнем с рассмотрения примера. В классе 30 учеников, из них 10 являются участниками фотокружка. В этом классе 12 девочек, причем из них только 3 участвуют в работе фотокружка. При этих условиях вероятность того, что наудачу выбранный из списка ученик является

участником фотокружка, равна 1300 = 13.

Допустим однако, мы заметили, наудачу выбрав фамилию ученика из списка, что это — девочка. Какова при этом условии вероятность того, что выбранный учащийся работает в фотокружке? Поскольку девочек в классе только 12, причем из них в фотокружке работает 3, то

эта вероятность равна 132 = 14. Таким образом, вероятность события A

(выбранный ученик — участник кружка) равна 13, но при условии, что произошло событие C (выбранный ученик — девочка), эта вероят- ность изменилась и стала равной 14. Вероятность события A при усло-

вии, что наступило событие C, обозначается через P(A/C) и называется условной вероятностью. В рассматриваемом случае эта вероятность

что выбранный ученик и участвует в фотокружке, и является девоч- кой), а 12/30 — вероятность события C (рис. 200). Таким образом,

Мы рассмотрели испытание (выбор фамилии ученика из списка), имеющее 30 равновероятных исходов. По аналогии с этим и в общем случае (независимо от того, являются ли исходы испытания равнове- роятными или нет) формулу (12) считают определением условной вероятности, т. е. дробь, стоящую в правой части, принимают за вероятность события A при условии наступления события C.

Рассмотрение условных вероятностей позволяет написать фор- мулу полной вероятности, которая полезна при решении многих за- дач. Допустим, что при некотором испытании выделены события C1, C2, ..., Cn, которые попарно несовместны (т. е. никакие два не

могут наступить одновременно), а их объединение является достовер-

ным событием (т. е. при проведении испытания какое-либо одно из событий C1, C2, ..., Cn непременно наступит). Тогда для любого со-

бытия A мы имеем

A = A I (C1 U C2 U ... U Cn) =

= (A I C1) U (A I C2) U ... U (A I Cn).

Так как события A I C1, A I C2, ..., A I Cn попарно несовместны, то их вероятности складываются, т. е.

P(A) = P(A I C1) + P(A I C2) + ... + P(A I Cn).

Но, согласно (12), для каждого i = 1, 2, ..., n справедливо равенство

P(A I Ci) = P(A/Ci) P(Ci). Следовательно, предыдущее соотношение принимает вид

P(A) = P(A/C1) P(C1) + P(A/C2) P(C2) + ... + P(A/Cn) P(Cn). (13)

Это и есть формула полной вероятности.

Пусть, например, C1 — выпадение четного числа очков при бро- сании игральной кости, а C2 — выпадение нечетного числа очков. События C1 и C2 несовместны, а их объединение является достовер-

ным событием. Через A обозначим событие, заключающееся в выпа- дении не менее четырех очков (т. е. выпадение четверки, пятерки или

шестерки). Тогда P(A) = 12, P(C1) = 12, P(C2) = 12. Далее, если известно, что выпало четное число очков (т. е. наступило событие C1), то

условная вероятность события A равна 23, поскольку из трех случаев,

благоприятствующих событию C1 (выпадение двойки, четверки или шестерки), событие A имеет место в двух случаях (выпадение четверки или шестерки, рис. 201). Таким образом, P(A/C1) = 23. Аналогично

P(A/C2) = 13. Подставляя эти значения в формулу (13), получаем

соотношение 12 = 23 12 + 13 12 (как легко видеть, правильное). Это иллю-

стрирует формулу полной вероятности (13).

В качестве еще одного примера рассмотрим двухдетные семьи. Пол ребенка будем обозначать одной буквой М, Д (мальчик — девочка). Для простоты условимся считать, что рождение как маль-

чика, так и девочки имеет одну и ту же вероятность (равную 12).

Какова вероятность того, что оба ребенка — мальчики, если известно, что в семье есть мальчик? Может показаться интуитивно, что эта

вероятность равна 12. Ведь один ребенок — мальчик; значит другой

будет с вероятностью 12 тоже мальчиком.

Однако такое рассуждение ошибочно; точнее, оно дает решение совсем другой задачи. Если бы мы, например, знали, что старший ребенок — мальчик, то, действительно, вероятность наличия двух

мальчиков была бы равна 12. Но нам лишь сказано, что в семье есть

мальчик, т. е. хотя бы один ребенок — мальчик (неизвестно, старший или младший), а это уже другая ситуация. Произведем точный расчет. Условимся первой буквой обозначать пол старшего ребенка, а второй буквой — пол младшего. Событие A — наличие двух мальчиков, событие C — наличие хотя бы одного мальчика. Наша задача заклю-

чается в нахождении условной вероятности P(A/C). Наудачу выбран- ной двухдетной семье соответствуют четыре возможных исхода ММ, МД, ДМ, ДД. Но нам известно, что наступило событие C: в семье есть мальчик, т. е. остаются три исхода ММ, МД, ДМ. Эти исходы равновероятны (поскольку никакой дополнительной информации у нас нет). Таким образом, событию A (два мальчика) благоприятствует

одного мальчика, примерно одна треть семей имеет двух мальчиков.

Взаключение рассмотрим еще один пример из области генетики.

Вбиблейские времена браки между близкими родственниками (отца с дочерью, брата с сестрой) считались вполне респектабельными. Позднее браки между родственниками (даже брак двоюродных брата

исестры) стали редкими и представлялись нежелательными. Формула полной вероятности проливает свет на причину этого явления. Рас- смотрим это на примере ахейроподии в бразильской популяции.

Допустим, родные брат и сестра (внешне здоровые, как и их родители) вступают в брак; какова вероятность события B — рожде- ния у них больного ребенка (с генотипом aa)? Рассмотрение этого вопроса надо начать с генотипов родителей этих брата и сестры —

Теперь по формуле полной вероятности находим:

P(B) = P(B/C1) + P(B/C2) + P(B / C3) + P(B/C4) =

= 0,9604 0 + 0,0196116 + 0,0196116 + 0,000419 = 0,00289... .

Таким образом, вместо обычной в популяции вероятности рож- дения больного ребенка P = 0,0001 (при случайных браках) у родных брата и сестры эта вероятность оказывается равной 0,00289 — почти в 29 раз больше! Аналогично проводятся расчеты для браков других близких родственников.

Сказанное относится не только к ахейроподии, но также к син- дрому Дауна и другим генетическим заболеваниям. Именно этим объясняется вырождение у малочисленных изолированно живущих народностей (или в случаях, когда допускаются лишь узко кастовые браки). И имеющийся у некоторых северных народов обычай класть гостя в постель с женой хозяина является для них не аморальным, а оправданным, поскольку это способствует внесению здоровых генов в популяцию.

Выведем теперь формулу Байеса, имеющую важные приложения в теории вероятностей. Пусть C1, C2, ..., Cn — полная группа попарно

несовместных событий, т. е. событие C1 U C2 U ... U Cn достоверно, а каждые два различные события Ci, Cj несовместны. Пусть, далее,

A — какое-либо событие, и нас интересует условная вероятность P(Ci /A). Согласно формуле (12)

P(Ci /A) = P(C(i I)A) = P(A /Ci) P(Ci).

P A

Если теперь записать P(A) по формуле полной вероятности (13), то мы получим

Это и есть формула Байеса. Ее применение мы рассмотрим в последующих задачах.

Задачи и упражнения

131. В письменном столе 6 ящиков. С вероятностью 12 в столе лежит

письмо. В первых четырех ящиках письма не оказалось. Какова вероятность, что оно лежит в пятом?

132. В школе три первых класса. В классе «A» 10 мальчиков и 10 девочек, в классе «Б» — 13 мальчиков и 8 девочек, в классе «B» — 7 мальчиков и 12 девочек. Какова вероятность, что встреченная вами первоклассница учится в классе «A»?