140 |
Беседа 7. События и вероятности |
наследственную информацию можно записать с помощью генетичес- кого кода — алфавита, содержащего четыре буквы А, Г, Т, Ц (по первым буквам названий азотистых оснований, входящих в состав нуклеиновых кислот: аденин, гуанин, тимин, цитозин). При этом наследственная информация, содержащаяся в каждом гене, записыва- ется в виде слова из сотен букв этого алфавита.
В каждой клетке (кроме гамет — половых клеток) хромосомы группируются парами, благодаря чему одному и тому же простому признаку соответствуют два гена (содержащихся по одному на каж- дой из «параллельных» хромосом). Такие гены называются аллель- ными между собой. Это и есть две единицы наследственности, предугаданные Менделем. При образовании гаметы происходит рас- щепление, и в нее случайным образом попадает одна хромосома из каждой пары, что также было предугадано Менделем. В результате оплодотворения (слияния мужской и женской гамет) возникает зиго- та, т. е. клетка, содержащая полный (двойной) набор хромосом, из которой и развивается индивидуум. Например, в клетках садового гороха (Pisum sativum), с которым производил свои опыты Мендель, есть семь пар хромосом. В одной из этих пар имеются, наряду с другими, два гена, контролирующие гладкость или морщинистость горошин и существующие в двух формах: W или w. Если хотя бы один из этих генов находится в форме W, то горошины гладкие. В другой паре хромосом имеются два гена, контролирующие цвет го- рошин; если хотя бы один из них присутствует в доминантной форме Y, то цвет горошин — желтый. Это и обусловливает правильность законов Менделя.
Задачи и упражнения
121. Два раза бросается игральная кость. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?
122. В коробке лежат 10 шаров: 3 красных, 3 синих и 4 зеленых. Из коробки случайным образом достали 2 шара. Какова вероятность, что они одинакового цвета?
123. Из комплекта домино убраны дубли. Случайно выбираются две кости. Какова вероятность, что их можно приложить друг к другу по правилам домино?
124. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 партий из 8? Ничьих не бывает.
125. Какова вероятность того, что четырехзначный номер автомашины содержит ровно две одинаковые цифры? (Мы считаем, что номер 0000 возможен.)
33. Свойства вероятности
Классическое определение вероятности исходит из предположе- ния о равновероятности элементарных событий. Однако это пред- положение оправдывается не всегда. Рассмотрим, например, пра- вильную четырехугольную пирамиду, на боковых гранях которой написаны числа 1, 2, 3, 4, а на основании — число 5 (рис. 196). Если эту пирамиду бросить на плоскость стола, то она упадет на какую-
33. Свойства вероятности |
141 |
|
|
Рис. 196 |
Рис. 197 |
Рис. 198 |
либо грань, и написанное на этой грани число будем считать «выпав- шим». Если пирамида выполнена из однородного материала и имеет идеальную геометрическую форму, то мы можем принять, что выпа- дение чисел 1, 2, 3, 4, написанных на боковых гранях (рис. 197), равновероятно. Однако выпадение числа 5, написанного на основа- нии (рис. 198), будет более редким исходом, если высота пирамиды больше стороны основания. Поэтому следует принять, что элементар- ные события E1, E2, E3, E4 (выпадение боковых граней с числами 1,
2, 3, 4) имеют одну и ту же вероятность, которая однако больше, чем вероятность элементарного события E5 (выпадение пятерки). Скажем,
при определенной высоте пирамиды может оказаться, что каждое из событий E1, E2, E3, E4 имеет вдвое большую вероятность, чем E5, т. е.
вероятности этих событий соотносятся как 2:2:2:2:1. Иначе говоря,
P(E1) = P(E2) = P(E3) = P(E4) = 29, P(E5) = 19.
Теперь мы можем сформулировать более общее понимание веро- ятности, чем то, которое содержится в классическом определении. Проводится некоторое испытание, имеющее n исходов, т. е. допус- кающее n элементарных событий E1, E2, ..., En. По каким-либо соо-
бражениям (геометрическим, физическим или даже чисто произволь- но) каждому элементарному событию Ei сопоставляется некоторое
неотрицательное число P(Ei), называемое его вероятностью, причем числа эти выбраны так, что
P(E1) + P(E2) + ... + P(En) = 1. |
(7) |
Далее, вероятностью произвольного разложимого события A на- зывается сумма вероятностей тех элементарных событий, которые составляют событие A:
P(A) = ∑P(Ei), |
(8) |
i
142 Беседа 7. События и вероятности
где суммирование распространяется на все элементарные события, содержащиеся в событии A. В частности, для достоверного события
U = E1 U E2 U ... U En его вероятность, в силу определения (8), равна
|
P(E1) + P(E2) + ... + P(En), т. е. P(U) = 1 |
(см. |
|
(7)). Невозможное же событие имеет веро- |
|
|
ятность 0 (поскольку для такого события пра- |
|
|
вая часть формулы (8) не содержит ни одного |
|
|
слагаемого). Для любого события A справед- |
|
|
ливо двойное неравенство 0 ≤ P(A) ≤ 1. |
|
Рис. 199 |
Для любых двух событий A, B справедли- |
|
|
во соотношение |
|
|
P(A U B) = P(A) + P(B) − P(A I B) |
(9) |
(рис. 199). Из этого вытекает, что для любых двух событий A, B имеет место неравенство Буля
P(A U B) ≤ P(A) + P(B)
(и аналогично для объединения не двух, а большего числа событий). Если A I B = , т. е. одновременное наступление обоих событий A и B невозможно, то A и B называются несовместными событиями.
В этом случае формула (9) принимает более простой вид
P(A U B) = P(A) + P(B), |
(10) |
т. е. вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. То же верно для нескольких событий, если они попарно несовместны.
Вчастности, дополнительные события A и cA несовместны, т. е.
кним применима формула (10). Так как при этом их объединение
A U (cA) является достоверным событием, т. е. имеет вероятность 1, то из (10) вытекает, что
P(cA) = 1 − P(A). |
(11) |
Рассмотрим пример, который относится к жизни популяций (сооб- ществ). Кровь человека, помимо основных четырех групп, имеет еще одну характеристику — так называемый резус-фактор. Он может быть положительным или отрицательным и контролируется одним геном в доминантной форме R или рецессивной форме r. Отрицатель- ный резус — рецессивный признак (генотип rr); генотипы RR и Rr соответствуют положительному резусу.
Известно, что отрицательным резусом стабильно обладает при- мерно 1/7 популяции. Можно ли по этим данным определить, какая часть населения обладает генотипом RR (доминантная гемозигота) и какая — генотипом Rr (гетерозигота)?
Для решения условимся соответствующие гены, имеющиеся у ин- дивидуума, нумеровать: «первый» ген, «второй» ген. Вероятность
33. Свойства вероятности |
143 |
того, что у случайно взятого индивидуума первый ген имеет рецес- сивную форму r, обозначим через p, т. е. p — частота, с которой встречается рецессивный ген r в популяции. Дополнительное событие (первый ген доминантен, т. е. имеет форму R) наступает с вероятнос-
тью q = 1 − p. Те же вероятности и для второго гена. Следовательно, вероятность того, что у случайно взятого индивидуума резус отрица-
телен, т. е. что он имеет генотип rr, равна p2. Но по условию эта вероятность равна 17 ≈ 0,143, т. е. p2 ≈ 0,143, и потому p ≈ √17 ≈ 0,378.
Таким образом, q = 1 − p ≈ 0,622. Из этого вытекает, что вероятность
генотипа RR равна q2 ≈ 0,387. Наконец, гетерозиготный генотип Rr (или, что то же самое, rR — ведь мы лишь условно обозначили гены, как «первый» и «второй») равна 2pq ≈ 0,470 (впрочем, это также вытекает из того, что сумма вероятностей всех трех генотипов равна единице).
Учет резус-фактора очень важен. Если роженица имеет отрица- тельный резус (генотип rr), а резус-фактор плода положителен (т. е. он имеет генотип Rr), то кровосмешение во время родов приводит к гемолитической болезни ребенка (и зачастую к его смерти). Поэтому при указанных генотипах применяется кесарево сечение, исключаю- щее кровосмешение. Не менее важен учет резус-фактора и при пере- ливании крови.
Наконец, еще один пример. В Бразилии встречаются случаи ахей- роподии — ужасного генетического заболевания, при котором ребенок рождается без кистей рук и без стоп. Ахейроподия вызывается неко- торым рецессивным геном, обозначим его буквой a — в отличие от соответствующего доминантного гена A. Статистика показывает, что ребенок, больной ахейроподией, рождается в одном случае из 10 000, т. е. с вероятностью 0,0001. Какая часть бразильской популяции об- ладает генотипом AA (доминантная гемозигота) и какая генотипом Aa (гетерозигота)?
Решение — дословно то же, что и в предыдущем примере, только число 1/7 надо заменить на 0,0001. Вероятность того, что у случайно взятого индивидуума «первый» ген рецессивен, т. е. имеет форму a,
равна в этом случае p = 0,01; дополнительное событие (ген A) имеет
вероятность |
q = 0,99. Следовательно, вероятность генотипа AA рав- |
на q2 ≈ 0,98; |
вероятность же гетерозиготного генотипа Aa равна |
2pq ≈ 0,02. Таким образом, примерно два процента бразильцев (внеш- не нормальных) являются носителями опасного гена a.
Задачи и упражнения
126. Допустим, что имеется «неправильная» игральная кость, для кото- рой вероятность выпадения каждой грани пропорциональна числу, указан- ному на этой грани. Чему равна вероятность выпадения грани с тройкой?
127. Из слова «наугад» выбирается наугад одна буква. Какова вероят- ность, что это будет гласная?