32. Классическое понятие вероятности

Если монета ровная, неизогнутая, то можно ожидать, что при ее многократном бросании орел и решка будут выпадать одинаково часто, т. е. примерно в половине случаев будет выпадать орел, а в половине случаев — решка. Поэтому считают, что для такой монеты

вероятность выпадения орла равна 12 и вероятность выпадения решки тоже равна 12.

Подобно этому естественно ожидать, что при многократном бро- сании игральной кости на долю каждого из чисел 1, 2, ..., 6 будет приходиться примерно шестая часть общего числа испытаний (т. е. бросаний кости). Поэтому считают, что вероятность выпадения каж-

дой грани (т. е. каждого из чисел 1, 2, ..., 6) равна 16. Разумеется, это

следует ожидать только в случае идеально правильной кости: доста- точно сместить центр тяжести кубика в сторону одной из граней, например, вставив внутрь кубика вблизи одной из граней свинцовый шарик, и кубик будет подобно игрушке «Ванька-встанька» наиболее часто падать на эту грань, т. е. одно из чисел 1, 2, ..., 6 будет выпа- дать чаще других.

Будем, однако, считать игральную кость идеальной. Какова в таком случае будет вероятность события A — выпадения нечетного числа очков? Легко понять, что эту вероятность следует считать

равной 36, т. е. 12. Ведь всего имеется шесть возможных и одинаково вероятных исходов, т. е. наступления событий E1, E2, ..., E6, причем три из этих шести случаев (а именно E1, E3, E5) «благоприятствуют»

событию A, т. е. оно наступает в трех случаях из шести возможных. Событие же C («выпадение не менее пяти очков») имеет вероятность

26 = 13, поскольку ему «благоприятствуют» два случая из шести (выпа-

дение пятерки или шестерки). Вероятность события обычно обозна- чают буквой P (от слова probability — вероятность). Таким образом, в случае идеально правильной игральной кости справедливы равен- ства

P(E1) = P(E2) = ... = P(E6) = 16; P(A) = 12, P(C) = 13.

Вообще, если при некоторых условиях проведения испытаний имеется n элементарных событий E1, E2, ..., En и если мы считаем эти

элементарные события равновероятными, то каждое из этих элемен- тарных событий имеет вероятность 1n:

P(E1) = P(E2) = ... = P(En) = 1n.

Для события же, которому «благоприятствуют» k из этих элемен- тарных событий (т. е. для события, которое является объединением k различных элементарных событий), вероятность его наступления

(при каждом испытании) равна kn. Иначе говоря, в условиях равно-

вероятности исходов элементарных событий вероятность любого со-

бытия равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов испытания. Это и есть классическое определение вероятности. О роли предположения равновероятности мы еще пого- ворим в следующей беседе, а сейчас рассмотрим некоторые примеры.

Игральная кость бросается четыре раза подряд. Какова вероят- ность того, что ни разу не выпадет единица? Возможными исходами

в этом испытании являются четверки чисел (a; b; c; d), каждое из которых может принимать значения 1, 2, ..., 6. Все исходы (т. е. элементарные события) равновероятны, а число их равно

n = 64 = 1296. Событию M, состоящему в том, что ни разу не выпадет единица, соответствуют исходы, в которых каждое из чисел a, b, c, d может принимать пять значений 2, 3, 4, 5, 6. Число таких исходов

равно k = 54 = 625. Таким образом, вероятность события M равна

Дополнительному событию cM, т. е. выпадению хотя бы одной единицы при четырех последовательных бросаниях кости, соответст-

вуют остальные исходы, число которых равно 1296 − 625 = 671. Сле-

довательно, P(cM) = 1672961 = 0,517...

Как видим, выпадение единицы хоть раз при четырех бросаниях немного вероятнее, чем невыпадение единицы ни разу.

С рассмотренным примером связана интересная история (пара- докс де Мере). Игрок Шевалье де Мере практиковал, в числе других игр, следующую. Он 24 раза бросал пару костей; если при этом хоть раз выпадут две единицы, де Мере получал определенный выигрыш (в зависимости от ставки). Своему партнеру де Мере предлагал бро- сить в ответ одновременно 4 кости; если при этом выпадала хотя бы одна единица, партнер получал такой же выигрыш. Де Мере полагал, что вероятность выигрыша для обоих одинакова, т. е. что игра явля- ется честной. Однако на практике оказалось, что де Мере чаще про- игрывал, чем выигрывал, и он обвинял в этом математиков, считая их виновными в дезинформации.

Проведем соответствующие вычисления. Выпадение двух единиц при бросании двух костей есть событие, имеющее один шанс из 36. Дополнительному событию, т. е. невыпадению пары (1; 1), соответ- ствуют 35 случаев из 36. Число исходов при 24 бросаниях пары костей

нумерованы и ящики пронумерованы. Число исходов испытания

равно nn (размещения с повторениями), а число благоприятных исхо- дов (когда в каждый ящик попадает один шар, т. е. расположение шаров в ящиках представляет собой некоторую перестановку n ша-

ров) равно n! Следовательно, искомая вероятность равна nnn! . Напри-

мер, при n = 7 вероятность оказывается равной

Это можно интерпретировать следующим образом. Предполо- жим, что в некотором городе за каждую неделю (от понедельника до воскресенья) происходит 7 автомобильных ДТП (дорожно-транспорт- ных происшествий). Естественно назвать неделю «нормальной», если в течение этой недели каждый день происходит ровно одно ДТП. Какова вероятность того, что наудачу взятая календарная неделя является нормальной? Это как раз задача о случайном бросании семи шаров (т. е. ДТП) в семь ящиков (дней недели), и потому ответ дается формулой (5). Как видим, эта вероятность весьма мала: всего 6 шан- сов из 1000. И 994 шанса из 1000 за то, что неделя не будет нормаль- ной, т. е. найдется день, в который произойдет не менее двух ДТП (а значит, найдется и такой день, когда не будет ни одного ДТП).

В рассмотренном примере вероятность того, что в каждый ящик попадет один шар, оказалась равной nnn! , т. е. в ответе участвует

факториал числа n. Во многих других случаях вычисление вероятнос- ти сводится к иным комбинаторным задачам, и в ответе участвуют сочетания или размещения, т. е. числа, также выражающиеся через факториалы (см. формулы (4) – (7) в предыдущей беседе). В связи с этим при вероятностных расчетах нередко приходится находить фак- ториалы, и важным вычислительным средством является следующая формула Стирлинга, дающая приближенное значение факториала:

отношение выражений, стоящих слева и справа от знака ≈, стремится к единице при неограниченном возрастании n. Доказательство фор- мулы Стирлинга мы рассмотрим впоследствии (оно проводится с помощью интегралов).

Заключительный пример относится к области биологии. В морав- ском городе Брно (столице Словакии) настоятель Августинского мо- настыря Грегор Мендель (1822 – 1884) занимался выращиванием са- дового гороха и других растений. Его аналитический, творческий ум

гладкие горошины, и лишь растения ww обладают рецессивным при- знаком (морщинистые горошины). Это и дает менделевское отноше- ние 3:1, т. е. примерно три четверти гибридов второго поколения имеют гладкие горошины и лишь четверть — морщинистые.

Мендель рассмотрел также одновременное наследование двух признаков (гладкие — морщинистые, а также желтые — зеленые) и получил среди гибридов второго поколения отношение 9:3:3:1. Это также хорошо подтверждается вероятностными соображениями. Жел- тизна горошин определяется доминантным геном Y, а зеленый цвет

— рецессивным геном y. При этом признак «гладкость — морщинис- тость» не является сцепленным с признаком цветовой окраски — эти признаки наследуются независимо один от другого. Поэтому среди гибридов второго поколения, имеющих морщинистую форму горо- шин, будет то же распределение 3:1 по цвету, т. е. примерно три четверти из них имеют желтые горошины (доминантный признак Y), а четверть — зеленые (рис. 193). Иначе говоря, вероятность получения морщинистых зеленых горошин равна 1/16, а желтые морщинистые горошины получаются с вероятностью 3/16. Та же вероятность 3/16 соответствует гладким зеленым горошинам (рис. 194). И, наконец, в оставшихся 9 случаях из 16 горошины будут гладкие желтые (рис. 195). Это и дает менделевское распределение 9:3:3:1.

Работа Г. Менделя была доложена Брненскому обществу естест- воиспытателей в 1865 году. Однако затем она была надолго забыта. Лишь в 1900 году его результаты были переоткрыты и подтверждены рядом других опытов в работах Августа Вейсмана, Хуго Де Фриза, Карла Корренса (которые затем «раскопали» работу Менделя и ссы- лались на его приоритет). К этому времени была уже детально иссле- дована структура клетки и обнаружены содержащиеся в ядре хромо- сомы («окрашиваемые тела», выявленные при обработке препаратов клеток некоторыми красителями). При изучении поведения хромосом во время деления клеток была выдвинута гипотеза о том, что гены нанизаны на на хромосомные нити подобно бусинкам. А во второй половине нашего столетия была полностью расшифрована химичес- кая структура молекул ДНК — двойных спиралей, составляющих основу хромосом. Были четко выделены те участки двойных спира- лей, которые являются генами, и выяснено, что содержащуюся в них