130 Беседа 7. События и вероятности

простое, и потому, согласно малой теореме Ферма, число 106 − 1 делится на 7. Так как 1998 делится на 6, 1998 = 6 333, то из равенства (16) при z = 106, l = 333 получаем, что 101998 − 1 делится на 7. Иначе

говоря, 101998 при делении на 7 дает остаток 1. Следовательно, число 102001 = 101998 103 дает при делении на 7 такой же остаток, как и

число 103. Поэтому задача принимает вид: доказать, что 103 + 1 де- лится на 7, т. е. 1001 делится на 7. Это проверяется непосредственно.

Таким же образом решаются и другие аналогичные задачи. На- пример: доказать, что число 3100 000 − 1 делится на 11; доказать, что число 100999 999 − 8 делится на 17, и т. п.

Задачи и упражнения

111. В комнате собралось 5 человек. Докажите, что среди них найдутся двое, имеющие среди собравшихся одинаковое число знакомых.

112. В классе 31 ученик, всем вместе 434 года. Можно ли выбрать 20 учеников, которым вместе не меньше 280 лет?

113. Редакция журнала получила в январе 160 писем. Докажите, что в один из дней было получено больше 5 писем.

114. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

115. Можно ли написать 55 различных двузначных чисел так, чтобы сумма любых двух из них не равнялась 100?

Беседа 7. События и вероятности

31. События

Игра в кости, карточные и другие азартные игры издавна привле- кали интерес некоторого круга людей. Естественно, основной вопрос состоял в том, как делать ставки в игре, какой сделать ход, чтобы выигрыш был наиболее вероятен. Именно поэтому развитие теории вероятности было связано, в первую очередь, с азартными играми, и в качестве иллюстраций использовались именно игровые ситуации. В середине XVII столетия Блез Паскаль, Пьер Ферма и другие матема- тики заложили научные основы этой теории, не сомневаясь, что теория случайных явлений найдет важные приложения во многих сферах человеческой деятельности. Однако и сейчас при изложении основных понятий теории вероятности ситуации с бросанием костей, подбрасыванием монет или выбором нескольких карт из колоды служат удобным материалом для примеров и иллюстраций.

Игральная кость — кубик с округленными углами, на гранях которого нанесены точки, изображающие числа от 1 до 6 (рис. 181).

Вдетских играх обычно используется одна кость, при игре в нарды

—две, а при игре в кости — и большее их количество. «Выпавшей» считается верхняя грань брошенной кости (на рис. 181 выпала «пя-

терка»).

Бросание кости представляет собой опыт, испытание, а его ре- зультат (выпавшее число очков) — исход этого испытания. При бросании монеты могут быть два исхода: О — выпадение орла или

и т. д. Эти события являются случайными: при бросании кости собы- тие E5 может в зависимости от случая либо произойти (выпадает

пятерка), либо не произойти (выпадает другое число). Можно рас- смотреть и другие события, скажем, событие A — выпадение нечет- ного числа, событие B — выпадение не менее четырех очков. События A и B разложимы: каждое из них может быть представлено в виде объединения некоторых событий E1, E2, ..., E6 (рис. 185):

A = E1 U E3 U E5; B = E4 U E5 U E6.

События же E1, E2, ..., E6 являются элементарными (неразложи-

мыми), т. е. они не предствляются в виде объединения других собы- тий. Вообще, объединение двух событий состоит в том, что произой- дет хотя бы одно из них. Например, объединение рассмотренных выше событий A и B заключается в выпадении любого числа очков, кроме двойки (рис. 185).

Пересечение двух событий состоит в том, что наступят, произой- дут оба эти события. Например, пересечение A I B рассмотренных

выше событий заключается в выпадении пятерки, т. е. A I B = E5.

Наконец, для каждого события определено его дополнительное (ком- плементарное) событие, которое, как и дополнение множества, мы будем обозначать буквой c. Например, cA означает, что не наступит событие A, т. е. выпадет четное число очков (рис. 186); cB означает выпадение не больше трех очков (рис. 187); cE6 означает выпадение

менее шести очков (рис. 188) и т. п.

Как видим, над событиями можно производить те же операции (объединение, пересечение, дополнение), что и над множествами. Это и неудивительно: если мы обозначим через U объединение всех эле- ментарных событий:

то любое событие будет подмножеством этого универсального мно- жества U, и потому для событий выполнимы операции I, U, c. Заме- тим, что само U является достоверным событием, т. е. это событие происходит в любом случае, при любом исходе испытания. Что же

касается пустого множества (оно ведь тоже является подмножест- вом универсального множества U), то оно является невозможным со- бытием, т. е. оно не происходит, каков бы ни был исход испытания.

Мы подробно рассмотрели элементарные и разложимые события, а также операции над событиями для случая бросания одной кости. Возьмем теперь случай двух бросаний одной кости: первое бросание, второе бросание. В этом случае каждое элементарное событие пред- ставляет собой выпадение той или иной пары значений: (4; 6), (5; 5), (6; 2) и т. п. А вот суммарное выпадение 10 очков при двух бросаниях есть объединение трех элементарных событий: (4; 6), (5; 5) и (6; 4). Вообще, любое событие есть объединение нескольких элементарных, и для любых событий определены операции I, U, c.

Если мы выбираем (или, как говорят, осуществляем выборку) k шаров из имеющихся в мешке n пронумерованных шаров, то имеется

kn возможных исходов испытания, т. е. kn элементарных событий.

В качестве неэлементарных событий здесь могут быть, например, следующие: наличие шара № 1 в выборке; отсутствие шаров № 2 и № 3 в выборке; совпадение суммы номеров выбранных шаров с за- данным числом q и т. д.

В приведенных нами примерах испытаний было возможно лишь конечное множество исходов, т. е. множество элементарных (нераз- ложимых) событий было конечным. Все другие рассматриваемые со- бытия являлись объединением конечного числа элементарных собы- тий. Задачи о случайных событиях при таких условиях проведения испытаний рассматриваются довольно часто, хотя возможны испыта- ния и с бесконечным множеством исходов, т. е. бесконечным множе- ством элементарных (неразложимых) событий.

Задачи и упражнения

116. Из колоды в 36 игральных карт вытаскиваются две карты. Сколько есть различных способов сделать это? В скольких из них обе карты будут одной масти?

117. Пусть в условиях задачи 116 рассматриваются такие события: A — обе карты — трефы, B — обе карты — дамы, С — одна из карт — туз. Опишите события A U B, A I B, A I C.

118. Из комплекта домино вытаскиваются две кости. В скольких случаях сумма значений на костях будет равна 15?

119. В электрической цепи имеются четыре лампочки (рис. 189). Событие Ak — перегорела лампочка № k. Запишите со-

бытие, состоящее в том, что ток по цепи не

может пройти.

120. При условиях задачи 119 запишите со-