30. Принцип Дирихле

точки не лежат на заданных прямых, то каждая из них попадает в некоторую клетку. Итак, у нас есть 8 зайцев, рассаженных в 7 или меньшее число клеток. Следовательно, в какой-либо из клеток ока- жется не менее двух зайцев, т. е. найдутся две точки, лежащие в одной и той же части плоскости (рис. 175). Отрезок, соединяющий эти две точки, не пересекается ни с одной из данных прямых. Таким образом, ответ на поставленный вопрос утвердителен.

Используя пример, рассмотренный в п. 21, читатель может обоб- щить этот результат следующим образом: если на плоскости даны n

прямых и n(n + 1) + 2 точек, не лежащих на этих прямых, то среди

2

этих точек найдутся такие две, что соединяющий их отрезок не пере- секает ни одной из данных прямых. Заметим, что это — наименьшее число точек, для которых сформулированный результат верен: если

взять на одну точку меньше, т. е. n(n + 1) + 1 точек, то может оказать- 2

ся, что все зайцы сидят в отдельных клетках (случай n = 4 изображен на рис. 176), и потому любой отрезок, соединяющий две из этих точек, непременно пересекает хотя бы одну из данных прямых.

Следующий пример мы также возьмем из области геометрии. Внутри (или на границе) квадрата со стороной 1 взяты пять точек (рис. 177). Надо доказать, что среди этих пяти точек найдутся две

точки, расстояние между которыми не превосходит √12 . Для доказа-

тельства разделим данный квадрат на четыре квадрата половинного размера (рис. 178), и эти меньшие квадраты будем считать «клетка- ми».

Так как число точек («зайцев») равно 5, то, согласно принципу Дирихле, найдутся два зайца, сидящие в одной клетке, т. е. две точки, лежащие в одном квадрате-четвертушке (рис. 179). Но тогда рассто-

яние между ними не превосходит диагонали этого маленького квад- рата, т. е. это расстояние не больше √12 .

Заметим, что в доказанном утверждении число √12 не может быть уменьшено: на рис. 180 изображены 5 точек в квадрате, среди кото- рых нет двух точек, находящихся на расстоянии, меньшем √12 друг

от друга.

Теперь расскажем о применении принципа Дирихле к десятичной записи рациональных чисел. Результат формулируется следующим

p

образом: всякое рациональное число q изображается бесконечной пери-

одической десятичной дробью, которая содержит не более q − 1 цифр в периоде. Например, обращая дробь 17 в десятичную, т. е. производя деление числа 1 на 7, получаем следующие цифры:

получается периодическая дробь, имеющая период из шести цифр 142857 (здесь q = 7, т. е. период содержит как раз q − 1 цифру). А для

дроби 13 находим десятичное представление 13 = 0,33333...; здесь q = 3,

т. е. q − 1 = 2, но период содержит лишь одну цифру, т. е. меньше чем q − 1.

Доказательство сформулированного общего результата можно получить с помощью принципа Дирихле следующим образом. При выполнении деления p:q «углом» мы получаем некоторый остаток (как, например, выше, при делении 1:7), затем приписываем справа 0, снова делим, снова получаем остаток и т. д. Если где-то встретится остаток, равный нулю (т. е. в каком-то месте деление осуществляется

без остатка), то pq записывается в виде конечной десятичной дроби.

Например, 207 = 0,350000..., т. е. в этом случае период содержит лишь

одну цифру 0.

Рассмотрим теперь случай, когда все время получаются остатки, отличные от нуля. В этом случае остатками (при делении на q) могут

быть числа 1, 2, ..., q − 1, т. е. возможны q − 1 различных остатков.

Их мы будем считать «клетками». Теперь рассмотрим q последова- тельно получающихся остатков: 1-й, 2-й, ...., q-й. Числа 1, 2, ..., q (номера получающихся остатков) будем считать «зайцами». Каждый

из этих остатков равен одному из чисел 1, 2, ..., q − 1, т. е. он попадает в одну из клеток. А так как зайцев больше, чем клеток, то найдется клетка, в которую попадает больше одного зайца. Иначе говоря, най- дутся среди чисел 1, 2, ..., q такие два числа, скажем, k и k + r, где

k + r ≤ q, и потому r < q, что k-й остаток совпадает с (k + r)-м остатком. Но каждая последующая цифра в процессе деления определяется лишь тем, какой был предыдущий остаток. Поэтому, начиная с (k + r)-го места, цифры будут те же, что и с k-го места, потом с

(k + 2r)-го места снова пойдут те же r цифр и т. д. Таким образом, в

p

десятичной записи числа q, начиная с k-го места, одни и те же r цифр

p

будут все время повторяться. Так как r < q, то это и означает, что q

записывается бесконечной десятичной дробью, которая (начиная с k-й цифры) будет периодической, причем период содержит не более

q − 1 цифры.

В заключение расскажем о малой теореме Ферма. Пусть p — простое число и a — натуральное число, не делящееся на p. Рассмот-

рим числа a, a2, ..., a p. Это — зайцы. Каждое из этих чисел дает некоторый остаток при делении на p, который может быть равен 1,

2, ..., p − 1. Эти остатки — клетки. Так как число зайцев больше числа клеток, то найдутся два зайца, сидящие в одной и той же клетке.

Иначе говоря, найдутся такие натуральные числа m и k, что am и

am+k дают одинаковые остатки при делении на p, причем m + k ≤ p, т. е. k ≤ p − 1. Это означает, что число am+k − am = am(ak − 1) делится

на p, и потому ak − 1 делится на p. Мы можем предполагать, что k — наименьшее натуральное число, обладающее этим свойством (или выбрать среди таких k наименьшее). Тогда k является делителем числа p − 1, т. е. p − 1 = kl при некотором натуральном l (читатель может попробовать доказать это, используя идею классификации, изложенную в п. 19; мы к этому вернемся при рассмотрении конечных полей). Из тождества

делится на p. Это и есть малая теорема Ферма: Если p — простое

число и a — натуральное число, не делящееся на p, то число a p−1 −1 делится на p.

Чтобы показать, как работает эта теорема, рассмотрим следую-

щую задачу: доказать, что 102001 + 1 делится на 7. Число p = 7 —