105. Постройте треугольник Паскаля, используя «двоичную арифметику»: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 0, 1 + 1 = 10. Исследуйте получающиеся треугольники Паскаля.

29. Производящие функции

В формуле (8) коэффициентами при степенях переменного x яв- ляются числа kn , дающие решение комбинаторной задачи о сочета-

ниях (без повторений). Говорят поэтому, что (x + a)n является произ- водящим многочленом для этой комбинаторной задачи. Производящие функции можно рассмотреть и для других комбинаторных задач.

Рассмотрим, например, следующую задачу: сколькими способами можно уплатить сумму k копеек, используя каждую монету достоин- ством в 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20 и 50 копеек не более одного раза? Обозначим это число способов через bk (например, b11 — число

способов уплатить 11 копеек указанными монетами). Мы можем тогда составить многочлен

1 + b1x + b2x2 + b3x3 + ... + b106x106

(число 106 — это сумма достоинств всех взятых монет, т. е. макси- мальная сумма, которую мы можем уплатить). Это и есть производя- щий многочлен для рассматриваемой комбинаторной задачи. Но как найти числа b1, b2, ..., b106? Ведь это и есть интересующий нас вопрос.

Оказывается, этот производящий многочлен можно записать и в дру- гом виде:

1 + b1x + b2x2 + b3x3 + ... + b106x106 =

= (1 + x)(1 + x2)(1 + x3)(1 + x5)(1 + x10)(1 + x15)(1 + x20)(1 + x50). (12)

Здесь показателями степени в правой части служат как раз достоин- ства взятых монет. Раскрывая скобки в правой части, мы получим явное выражение взятого производящего многочлена, и это даст воз- можность найти все коэффициенты bk, т. е. полностью решить по-

ставленную комбинаторную задачу.

Откуда же получается формула (12)? При раскрытии скобок в правой части получатся слагаемые вида xm1+m2+...+mp, где m1, m2, ...,

mp — некоторые из чисел 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 50. Сколько раз

встретится слагаемое, у которого показатель m1 + m2 + ... + mp равен заданному k, столько и будет способов уплатить сумму k копеек.

Иными словами, xk встретится при раскрытии скобок столько раз, сколько есть способов уплатить k копеек, т. е. bk раз. Это и означает

справедливость формулы (12).

Рассмотрим теперь другую комбинаторную задачу. Известно, что любую сумму k рублей, где k ≥ 8, можно уплатить 3- и 5-рублевыми банкнотами (раньше такие банкноты были в ходу в России). В самом деле, 8, 9 и 10 рублей уплатить легко, а потом можно добавлять одни лишь трешки. Однако сколькими способами можно уплатить сумму k рублей, используя только трешки и пятерки? Обозначим это число способов через Ck и составим соответствующую производящую функ-

цию:

1 + C1x + C2x2 + ... + Ckxk + ... ;

она будет представлять собой уже не многочлен, а бесконечный ряд (если читатель слышал кое-что о сходимости бесконечных рядов, пусть он пока забудет это — мы сейчас будем производить «формаль- ное» действие, не заботясь о сходимости). Однако, как явно вычис- лить этот ряд, т. е. получить решение интересующей нас задачи для любого k? В этом случае вместо (12) мы получаем другую формулу:

1 + C1x + C2x2 + ... + Ckxk + ... =

Перемножая ряды в правой части (т. е. производя формальное умножение последовательных членов этих рядов), мы и получаем явное выражение производящей функции:

1+ x3 + x5 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 +

+x13 + x14 + 2x15 + x16 + x17 + 2x18 + ... .

Например, x18 получается дважды: x18 = x3 x15 и x18 = x18 1; это и дает два способа уплатить 18 рублей: одна трешка и остальное пя- терками или же только трешки без пятерок. Детали читатель может продумать самостоятельно.

А если задача заключается в уплате суммы k рублей трешками, пятерками и десятками, то производящая функция примет вид

(1 + x3 + x6 + x9 + ...)(1 + x5 + x10 + x15 + ... )(1 + x10 + x20 + x30 ...).

В приведенных задачах рассматривались разбиения числа k на слагаемые некоторого заданного вида, причем порядок этих слагае- мых не учитывался. В самом деле, можно уплатить сначала одну трешку и затем три пятерки или, наоборот, сначала дать три пятерки

и потом трешку — это будет один и тот же способ уплатить 18 рублей трешками и пятерками. Нам важно лишь, какие купюры и в каком количестве используются, без учета порядка их уплаты. Есть однако, как мы видели выше, комбинаторные задачи, в которых существенно учитывается порядок. Рассмотрим производящие функции для неко- торых из таких задач.

Как мы знаем, число размещений с повторениями из n эле- ментов по k равно nk. Здесь n, т. е. число элементов множества A = {0, 1, ..., n}, из которых мы составляем размещения, предполага- ется фиксированным, а k (т. е. длина рассматриваемых «слов») может принимать значение 0, 1, 2, ... . Соответствующая производящая функция имеет вид бесконечного ряда

1 + nx + n2x2 + ... + nkxk + ...,

т. е. коэффициентом при xk является число размещений с повторения- ми по k элементов (т. е. число слов длины k). Заметим теперь, что справедливо следующее формальное тождество (еще раз подчеркива- ем, что вопроса сходимости рассматриваемых рядов мы не затраги- ваем):

В самом деле, раскрывая скобки, мы получаем в левой части

(1 − z) + (z − z2) + (z2 − z3) + (z3 − z4) + ...,

откуда видно, что все слагаемые, кроме 1, взаимно уничтожаются. В частности, при z = nx мы получаем из равенства (14)

откуда видно, что рассмотренная выше производящая функция для размещений с повторениями из n элементов может быть записана в

виде 1 −1nx.

В заключение рассмотрим еще одну комбинаторную задачу с учетом порядка выбора элементов. Имеются (в достаточном количе- стве) рублевые, четырехрублевые и десятирублевые почтовые марки. На конверт надо наклеить четыре марки на общую сумму 22 рубля. Сколькими способами это можно сделать, если учитывается порядок расположения марок (выклеиваемых по правому краю конверта)? Для решения мы сразу выпишем соответствующую производящую функ-

цию (x + x4 + x10)4. Чтобы пояснить ее смысл, мы запишем ее в виде

(x + x4 + x10)(x + x4 + x10)(x + x4 + x10)(x + x4 + x10)

и условимся, что первая скобка характеризует первую марку, вторая

— вторую и т. д. Если, например, мы взяли из первой скобки x, из

второй x4, а из третьей и четвертой взяли x10, то это соответствует выклеиванию марок, показанному на рис. 170; здесь получился набор марок на сумму 25 рублей, т. е. на большую сумму, чем следовало.

Если же мы раскроем скобки и найдем, сколько раз встретится x22, то мы и получим число способов требуемой выклейки марок. Иначе говоря,

где rk означает число способов, которыми можно (при поставленных

условиях) выклеить марки на сумму k рублей. Раскрыв скобки, мы найдем, что r22 = 10, т. е. возможны 10 способов требуемой расклейки

марок (рис. 171). Конечно, найти эти способы выклейки марок можно было бы и без использования производящей функции, но если мы хотим найти решение сразу для всех k, то проще всего раскрыть скоб- ки в выражении, стоящем в левой части равенства (15).

Мы рассмотрели лишь несколько отдельных примеров. Вообще же метод производящих функций является важным приемом решения задач комбинаторики (и не только комбинаторики).

Задачи и упражнения

106. Найдите производящую функцию для геометрической прогрессии a0, a0q, a0q2, ... .

107. С помощью производящей функции докажите тождество

110. Докажите, что 1(2n + 1) − 2 2n + 3(2n − 1) − ... + (2n + 1)1 = n + 1.