116 Беседа 6. Размещения, сочетания и родственные задачи

тов, и мы хотим разбить его на q групп элементов, первая из которых содержит k1 элементов, вторая содержит k2 элементов, .... q-я группа

содержит kq элементов (при этом, когда мы говорим о «разбиении»,

то предполагаем, что эти группы попарно не имеют общих элементов, а их объединение есть все множество A, т. е. k1 + k2 + ... +kq = n).

Сколько таких разбиений существует? Рассуждая так же, как и выше, мы найдем, что число таких разбиений равно

Например, во время военной игры девять мальчиков решили разбиться на три группы, первая из которых (разведка) должна содержать трех из них, вторая (группа захвата) — четырех, а третья (штаб) — двух мальчиков. Сколькими способами они могут разбиться на группы такого вида? Согласно (7), число способов равно

9! = 1260. 3!4!2!

Задачи и упражнения

91. Докажите, что kn = n −n k .

92. Предлагается тест из 10 вопросов. Известно, что на половину из них следует ответить «да», а на вторую половину — «нет». Сколькими способами можно ответить на вопросы теста при данном условии?

93. Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можно полу- чить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА»?

94. Из 20 бусин различного цвета собирается ожерелье. Сколькими различными способами можно расположить на нем бусины?

95. В шахматном турнире Женя и Саша сыграли одинаковое количество партий, заболели и выбыли из турнира. Остальные участники турнира доиграли до конца. Всего было сыграно 28 партий. Играли ли Женя и Саша в турнире между собой?

27. Сочетания с повторениями

Теперь мы рассмотрим ситуацию, которая приведет нас к другому типу комбинаторных задач. Имеются рублевые марки четырех цве- тов: желтые, зеленые, красные и синие. На почтовый конверт надо наклеить 9 рублевых марок. Сколькими способами это можно сде- лать? Если мы условимся выклеивать марки в одну линию (скажем, по верхнему краю конверта), то получим уже известную нам задачу: составить слово из девяти букв, используя алфавит {Ж, З, К, С} (начальные буквы цветов). Это — задача на размещения с повторе-

ниями, рассмотренная в п. 23. Она имеет nk решений, где в данном случае n = 4, k = 9, т. е. задача имеет 49 = 262 144 решения.

Однако рассмотрим другой вариант этой задачи — нам надо купить эти марки, а порядок расположения марок на конверте не играет роли (их можно клеить где угодно), важен лишь цветовой

состав выбираемых девяти марок. Тогда задача принимает следую- щую форму. Имеется папка (скажем, на почте), содержащая доста- точно много марок типа Ж, З, К и С. Сколькими способами можно выбрать из этой папки набор (неупорядоченный!), содержащий девять марок?

Для решения этой задачи будем характеризовать каждый интере- сующий нас набор следующим образом. Сначала выпишем последо- вательно столько единиц, сколько в наборе имеется марок типа Ж. Затем поставим нуль, после которого запишем столько единиц, сколь- ко в наборе марок типа З. После этого снова поставим нуль и столько единиц, сколько взято марок типа К. Наконец, нуль и столько единиц, сколько взято марок типа С. Например, запись 111101101011 означа- ет, что в набор вошли четыре марки Ж, две З, одна К и две С, а запись 111110001111 означает, что был взят набор, в котором пять марок Ж и четыре С, а З и К не было взято совсем.

Каждая получаемая запись содержит 9 единиц и 3 нуля, причем набор букв (типов марок) Ж, З, К, С, описываемый этой записью, определяется тем, на каких местах стоят нули. Сколько есть записей (т. е. слов, состоящих из девяти единиц и трех нулей), столько и существует интересующих нас наборов из букв Ж, З, К, С. Но число слов из девяти единиц и трех нулей равно числу сочетаний из 12 элементов по 3: надо из 12 мест выбрать три, на которых будут стоять

отказ от рассмотрения порядка, в котором выклеиваются марки, существенно уменьшил число решений (т. е. наборов марок).

Врассмотренной задаче используются сочетания с повторениями.

Вобщем случае эта комбинаторная задача может быть сформулиро- вана следующим образом. Рассматривается алфавит A из n букв и имеется папка, содержащая достаточно большое число экземпляров каждой буквы. Нас интересует, сколькими способами можно вы- брать из этой папки неупорядоченный набор, содержащий k букв. Такие наборы называются сочетаниями с повторениями из n элемен- тов по k. Ответ получается дословно так же (выписыванием последо- вательностей из нулей и единиц), как и в рассмотренной выше задаче

опочтовых марках: число сочетаний с повторениями из n элементов по k равно

Как и в случае размещений, мы рассмотрели два крайних случая задач на сочетания. В первом случае (сочетания без повторений) каждый элемент множества A был уникален, т. е. имелся в единствен- ном экземпляре, и нас интересовали всевозможные подмножества

множества A, содержащие k элементов. Во втором случае (сочетания c повторениями) элементы множества A, т. е. «буквы», были изго- товлены в неограниченном количестве экземпляров («касса букв»), и нас интересовало, сколько различных наборов, содержащих k букв, можно составить с помощью этой кассы. Возможны и различные промежуточные случаи. Скажем, буква a1 может иметься в кассе в

количестве m1 экземпляров, буква a2 — в количестве m2 экземпля- ров, ...., буква an — в количестве mn экземпляров, и нас интересует,

сколько сочетаний из k элементов может быть составлено с помощью этой кассы. Формулы для решения этой задачи являются более слож- ными.

Задачи и упражнения

96. В магазине продаются пирожные четырех сортов; эклеры, слоеные, песочные и бисквитные. Сколькими различными способами можно составить набор из десяти пирожных, если в наборе должно быть хотя бы одно пирожное каждого сорта?

97. В джаз-оркестре из 7 человек должны быть трубачи, ударники и саксофонисты (хотя бы по одному). Сколько различных составов таких оркестров может быть?

98. В фондовом магазине предлагаются акции семи компаний. Скольки- ми способами можно купить десять акций?

99. Король Эмирии учредил четыре военных ордена. Сколькими спосо- бами он может наградить семью орденами своего военного министра?

100. ООН формирует батальон миротворческих сил для поддержания мира в одной из стран. В создании этого батальона готовы принять участие 12 стран. Сколькими способами можно сформировать батальон, если в нем 6 взводов и каждая страна готова послать необходимое количество взводов?

28. Бином Ньютона

Биномом (или двучленом) называют сумму двух слагаемых, на- пример, x + a. В школе хорошо известны формулы для квадрата и куба такого бинома:

(x + a)2 = x2 + 2ax + a2, (x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3.

Речь идет о нахождении формулы для (x + a)n в случае произволь- ного натурального n.

По определению (x + a)n = (x + a)(x + a)...(x + a), где в правой части имеется n множителей. Нам надо написать выражение, получающееся при раскрытии скобок. Это выражение является суммой одночленов, каждый из которых получается, когда из каждой скобки берется одно из слагаемых (x или a) и они перемножаются, а затем приводятся

подобные члены; поэтому слагаемые имеют вид ckxn−kak. Если в каждой из скобок (x + a) мы возьмем первое слагаемое x, то получится произведение xn. Далее, если в одной из скобок взять a, тогда как во всех остальных взять x, то получится произведение xn−1a. Сколько

раз оно войдет в сумму, получающуюся при раскрытии скобок? Ясно, что оно получится столько раз, сколькими способами можно отме- тить одну скобку (в которой мы берем a) из имеющихся n скобок, т. е. столько, сколько имеется одноэлементных подмножеств в множестве

{1, 2, ..., n}. Поэтому при раскрытии скобок получится n1 = n слага- емых xn−1a:

(x + a)n = xn + nxn−1a + ... .

Следующим возможным слагаемым будет xn−2a2. Таких слагае- мых при раскрытии скобок получится столько, сколькими способами можно отметить две скобки (в которых мы берем a) из имеющихся

n скобок, т. е. получится 2n = n(n2− 1) слагаемых xn−2a2:

(x + a)n = xn + n1 xn−1a + 2n xn−2a2 + ... .

Вообще, слагаемое xn−kak получится столько раз, сколькими спо- собами можно выбрать k скобок (в которых мы берем a) из имею-

щихся n скобок, т. е. оно получится kn раз. Это и дает формулу Ньютона:

(x + a)n =

= xn + n1 xn−1a + n2 xn−2a2 + ... + kn xn−kak + ... + n−n1 xan−1 + an. (8)

Здесь последнее слагаемое an получается, если из всех скобок

в которой знак ∑ (суммирование) распространен на всевозможные способы представить n в виде n = k1 + k2 + ... + kq. В самом деле, про- изведение xk11 xk22 ... xkqq получится при раскрытии скобок столько раз,

сколько есть разбиений множества {1, 2, ..., n} (т. е. множества номе- ров скобок) на q групп, в первой из которых имеется k1 элементов

1

11

1 2 1

1 3 3 1

Эта таблица может быть легко построена и без формулы (8), если заметить, что в ней каждое число равно сумме двух соседних с ним чисел верхней строки (см., например, выделенные числа).

То, что это действительно так, может быть доказано следующим образом. В n-й строке имеется коэффициент kn (как видно из форму-

лы (8)), а над ним, в n − 1-й строке стоят числа kn −− 11 и n −k 1 , т. е. фрагмент таблицы имеет вид

... n − 1 n − 1 ...

k − 1 k

... kn ...

Сформулированное выше правило (способ построения треуголь-

ника Паскаля) означает, что справедливо соотношение

Действительно, kn есть число всевозможных сочетаний из n эле-

ментов множества {1, 2, ..., n} по k элементов. Но все эти сочетания можно разбить на две группы: содержащие элемент n и не содер-

жащие элемент n. Сочетаний, содержащих элемент n, будет kn −− 11 ,

поскольку к взятому элементу n надо добавить еще k − 1 элементов

правило построения треугольника Паскаля.

Заметим в заключение, что формула (8) была известна и до Нью- тона. Ее знали в средние века Омар Хайям и другие среднеазиатские математики. Блез Паскаль, о котором мы еще будем говорить в связи с понятием вероятности (и который ввел рассматривавшийся выше треугольник Паскаля), также владел этой формулой задолго до Нью- тона. Однако Ньютону принадлежит некоторое обобщение формулы

(8): он нашел выражение для (x + a)n в случае нецелого показателя n.