2. Понятия математики и их возникновение

руки, два глаза, два уха у человека, два рога у коровы... Отвлекаясь, абстрагируясь от конкретных особенностей этих предметов и остав- ляя лишь существенное, общее свойство предметов, сгруппированных в пары (неважно, руки это, глаза или уши; существенно что имеется пара этих предметов), мы постепенно формируем в своем сознании абстрактное понятие два. А возникновение термина (в данном случае, «два») завершает, закрепляет формирование абстрактного понятия и является символом, знаком, словесным эквивалентом этого понятия.

Заметим, что ребенок, проходящий путь познания окружающего мира, гораздо легче усваивает абстрактные понятия в сравнении с теми трудностями, которые в процессе исторического развития пре- одолело человечество при первоначальной выработке этих абстракт- ных понятий. Объясняется это тем, что родители, уже владеющие абстрактными понятиями, сознательно акцентируют внимание ребен- ка на соответствующих предметах и обстоятельствах, используя тер- мины, выражающие нужное понятие: «У тебя две ручки, два глазика», «Смотри: на лугу две коровки» и т. д. Повторение термина «два» помогает возникновению абстрактного понятия в сознании ребенка.

Другой причиной, облегчающей ребенку формирование, скажем, абстрактных геометрических понятий, является «овеществление» этих понятий в окружающих геометрических формах. Первобытный чело- век почти не имел перед глазами предметов, помогающих выработке абстрактных понятий прямая линия, окружность, прямой угол и т. д.

Сегодня ребенок на каждом шагу видит прямолинейные углы зданий, ребра прямоугольных коробок, прямые углы в переплетах окон и страницах книги...

3. Некоторые виды абстракции

Современная теория познания различает несколько видов аб- стракции, и все они играют важную роль при образовании матема- тических понятий. Самой простой является абстракция отожде- ствления. Ребенок сотни раз держит в руках ложку и приучается пользоваться ею. Но это не одна и та же ложка. Он видит чайную и столовую ложку; деревянную, стальную или серебряную; свою ложку и мамину; ложку строгой формы или украшенную орнаментом, ин- крустацией... Но эти индивидуальные отличия ложек являются вто- ростепенными, несущественными. Главным же отличием ложек от

других предметов является их функциональное назначение: столовый прибор, предназначенный для набора жидкой или вязкой пищи при еде. Мы объединяем предметы этого класса по их основному призна- ку (в данном случае по их функциональному назначению), отвлекаясь, абстрагируясь от индивидуальных, несущественных особенностей. Мы как бы отождествляем между собой все предметы этого класса: ложка «вообще». Абстракция отождествления, завершенная введени- ем термина, и приводит к формированию абстрактного понятия.

Формирование отмеченного выше абстрактного понятия «два» также является, конечно, результатом абстракции отождествления. Выработка абстрактных понятий «один», «два», «три» и т. д. была многовековой и мучительной. Достаточно сказать, что еще в XIX столетии у некоторых племен, населявших Полинезию, были в упо- треблении три сорта чисел: одни для пересчета людей, другие для счета животных, третьи — для пересчета оружия, утвари и других неодушевленных предметов. Абстракция отождествления, позволяю- щая перейти к одной системе чисел, тогда еще не была проведена до конца у этих народов.

Другим видом абстракции, имеющим особенно важное значение для математики (в частности, для геометрии), является абстракция идеализации. Сущность ее состоит в том, что мы не просто отождест- вляем между собой предметы определенного класса, но также идеа- лизируем их, наделяем такими свойствами, которыми реальные пред- меты не обладают. Так, понятие геометрической точки мы получаем, отождествляя между собой предметы очень малых, пренебрежимых размеров по сравнению с другими предметами, встречающимися в рассматриваемой ситуации. Однако мы не просто отождествляем эти предметы между собой, а наделяем их идеальным, воображаемым свойством. Мы считаем, что предметы совсем не имеют размеров, и такие идеализированные предметы считаем точками. Мы абстраги- руемся не только от цвета, температуры, материала предмета, но и от его размеров. В реальном мире не существует предмета, о котором можно было бы сказать, что это — геометрическая точка. Понятие линии, имеющей протяженность только в одном направлении (имею- щей длину, но не обладающей толщиной), также является результа- том применения абстракции идеализации. То же относится и к любой геометрической фигуре. Коробка, шкаф, высотный дом являются ре- альными прототипами понятия прямоугольный параллелепипед, но ни об одном из этих предметов нельзя сказать, что это и есть прямо- угольный параллелепипед. Мы не только должны отвлечься от вто- ростепенных деталей (ручек, окон и т. п.), но и наделить предмет идеальными свойствами: абсолютно ровные грани, в точности пря- молинейные ребра и т. д. Мы не только отождествляем предметы похожей формы, но и идеализируем их, наделяя свойствами, которы- ми реальные предметы обладают лишь с определенной степенью приближения.

Отметим еще абстракцию потенциальной бесконечности. Мы го-

ворим, что прямая неограниченно продолжается в обе стороны, гово-

рим, что натуральных чисел 1, 2, 3, ... бесконечно много. В действи- тельном мире нет предмета, обладающего такой протяженностью, как бесконечная геометрическая прямая, нет такого набора предметов, для пересчета которого потребовалось бы «бесконечное» множество чисел. Понятие о натуральном числе мы получаем, пересчитывая небольшое количество предметов (десятки, в крайнем случае сотни). Но, составив свое мнение о свойствах этих не очень больших чисел, мы позволяем себе мысленно раздвинуть эти ограничительные рамки, вообразить бесконечное множество всех натуральных чисел.

4. Многоступенчатые абстракции

Математике свойственны многоступенчатые абстракции, т. е. аб-

стракции над абстракциями. Разумеется, они свойственны и другим областям знания. Абстрактные понятия идти, работать, говорить приводят (с помощью абстракции отождествления) к понятию глаго- ла. Это уже абстракция второй ступени, абстракция от абстракций. А еще один шаг, и мы объединяем понятия глагол, существительное, наречие и т. п. одним абстрактным синтаксическим понятием часть речи. Это уже абстракция следующей ступени. Таким образом, грам- матические абстракции являются многоступенчатыми.

Для математики особенно свойственно образование многоступен- чатых абстракций. Абстрактные понятия два, три, пять, ... приводят к следующей ступени абстракции — понятию натурального числа. Первоначально оно было связано с непосредственным пересчетом, исчислением предметов (откуда и происходит современный термин число). Еще одна ступень абстракции (на этот раз абстракции потен- циальной бесконечности), и мы приходим к понятию натурального ряда. Оно как бы существует само по себе, со всеми его свойствами. К ним относятся действия: сложение, умножение, причем эти дейст- вия неограниченно выполнимы и обладают обобщенными свойства- ми. Таковы коммутативность (переместительность) сложения и ум- ножения, выражаемая формулами

m + n = n + m; mn = nm;

ассоциативность (сочетательность) этих действий: m + (n + p) = (m + n) + p; m(np) = (mn)p;

дистрибутивность (распределительность): m(n + p) = mn + mp.

И когда вам говорят «некоторое натуральное число», то вы в первую очередь имеете в виду именно весь натуральный ряд чисел и эти его свойства, а не вспоминаете пересчет конкретных предметов или, тем более, два уха и четыре ножки у стола.

Но, несмотря на очень высокую ступень абстракции, натуральное число — это далеко не последняя ступень обобщения. В процессе исторического развития математики (и, разумеется, в связи с прак-

тической деятельностью человека) возникли нуль и отрицательные числа, рациональные числа. Затем появились действительные числа, а впоследствии и комплексные числа. Теперь уже складывать и ум- ножать можно не только натуральные, но также действительные (или комплексные) числа, причем и в этом случае сохраняются коммута- тивность, ассоциативность, дистрибутивность. Но и на этом ряд аб- стракций не кончается. Возникают векторы, которые также можно складывать (и умножать на числа), и вновь указанные свойства дей- ствий сохраняются.

Абстрагируясь от конкретных (теперь уже второстепенных) черт тех объектов, которые мы складываем, применяя снова абстракцию отождествления, мы приходим к понятию группы (точнее, коммута- тивной группы). Иными словами, коммутативная группа — это мно- жество каких-то элементов (не обязательно чисел или векторов), для которых определена операция сложения, обладающая отмеченными выше свойствами. Точнее, сложение в коммутативной группе облада- ет свойствами коммутативности и ассоциативности:

Кроме того, в группе имеется элемент 0 (нуль), обладающий тем свойством, что

для любого элемента a; наконец, для каждого a имеется противопо- ложный элемент –a, для которого выполняется соотношение

К высшим ступеням абстракции относится также понятие поля (получающееся при рассмотрении множеств с двумя операциями — сложением и умножением). Ряд высших ступеней абстракции связан

ис геометрическими понятиями (метрическое пространство, римано- во пространство, топологическое пространство). В каком-то смысле каждая область современной математики является сложным перепле- тением алгебраических и топологических конструкций. Эту мысль образно выразил французский математик Андре Вейль, который го- ворил, что «за душу каждого математика борются ангел топологии

идьявол абстрактной алгебры».

Высокая абстрактность математических понятий и теорий приве- ла к появлению у некоторых философов-математиков мнения о том, что математические теории — это не более чем «свободная игра разума». Это мнение можно пояснить следующим образом. Комму- тативная группа — это собрание некоторых символов, не имеющих никакого конкретного смысла и связи с реальной действительностью, важно лишь, чтобы было указано, какие символы получаются при «сложении» двух других, и выполнялись указанные выше свойства сложения (1), (2), (3). Можно также свободным творением разума предписать формальным символам следовать не этим свойствам

(аксиомам), а любым другим, создаваемым игрой воображения, и тогда получится не коммутативная группа, а иное математическое понятие. Делом чистой удачи является нахождение таких аксиом, которые приводят к «математически интересным» понятиям, допус- кающим достаточно длинную цепочку логических выводов, умоза- ключений, следствий... Именно такой игрой символов и занимается математика. А тот факт, что эта математическая игра символов иног- да приводит к выводам, которые оказываются полезными и приме- нимыми на практике, является удивительным и необъяснимым...

Современная теория познания смотрит на математику иначе. Ок- ружающий материальный мир, воздействуя на наши органы чувств, вызывает ощущения, приводящие к образованию в нашем сознании представлений, образов, абстрактных понятий. Самая сложная идея, связанная с высокими ступенями абстракции, может быть с помощью возвратного самоанализа прослежена и сведена к все более и более простым понятиям, а в конце концов, к образам и представлениям, являющимся отражениями реальных предметов и процессов — подоб- но тому, как огромное мозаичное панно оказывается при более детальном рассмотрении сложенным из фрагментов и отдельных раз- ноцветных камешков. Самая дерзкая и неожиданная идея ученого-ма- тематика, как бы она ни казалась «свободной» игрой разума, всегда имеет отдаленные аналогии и связи с представлениями, образами, понятиями, «подсмотренными» в окружающей действительности. Именно в том, что даже самые абстрактные математические понятия отражают определенные черты реальности, и заключается причина того, что из этих понятий могут быть построены математические модели, которые правильно, адекватно описывают (с той или иной точностью) определенные стороны реальных процессов и явлений.

5. Пространственные и пространственноподобные формы

Многие математические понятия имеют гораздо более абстракт- ный характер, чем понятия других естественных наук. Это означает, что математик, наблюдая окружающий мир, отвлекается от большего количества черт и признаков реальных процессов и явлений, чем его коллеги биологи, химики, физики. В связи с этим в поле зрения математика остаются наиболее глубинные черты предметов и явле- ний. Именно этим объясняется то, что математика находит примене- ния во всех других науках. Мы говорим, что молекула воды содержит два атома водорода, отмечаем векторный характер силы и скорости, рассматриваем группу Лоренца в специальной теории относительно- сти...

Как же охарактеризовать те глубинные черты реальной действи- тельности, которые находят отражение в математических понятиях? Иными словами, что изучает математика, каков ее предмет?

Энгельс писал в своей «Диалектике природы», что математика изучает количественные отношения и пространственные формы реаль-

ного мира. Например, числа и действия над ними, уравнения, функ- ции и их свойства (в том числе такие относящиеся к ним понятия,

можно было бы сделать, если бы оно было вложено в «реально существующее» четырехмерное пространство. Тогда можно было бы выйти из камеры заключения в четвертое измерение, а затем снова вернуться в наше трехмерное пространство, но уже вне пределов тюрьмы. Однако такой возможности реально нет: наше пространство трехмерно, и никакого четвертого измерения реально, в буквальном смысле, не существует. Никто, даже самый гениальный математик, не в состоянии видеть, зрительно ощущать четырехмерные (а тем более многомерные) фигуры. Но это вовсе не означает, что многомерные пространства являются заумной, надуманной и никому не нужной математической функцией. Состояния механических систем, имею- щих более трех степеней свободы, адекватно описываются именно точками многомерных пространств, а расчеты таких систем, осущест- вляемые на основании формул многомерной геометрии, хорошо под- тверждаются на практике. Например, механическое состояние мате- риальной точки, движущейся в плоскости, определяется четырьмя координатами: двумя геометрическими координатами и двумя ком- понентами скорости (рис. 10). Иначе говоря, ее механическое состо- яние изображается точкой четырехмерного пространства. А механи- ческое состояние системы, состоящей из двух материальных точек, соединенных жестким стержнем (рис. 11), описывается точкой деся- тимерного пространства. Вот еще пример. Для расчета наиболее вы- годного плана вывоза сырья, скажем, с двух складов на четыре завода (при строго регламентированной потребности заводов в сырье) тре- буется ввести четыре параметра, характеризующие количество сырья, вывозимого на заводы с первого склада (тогда со второго склада надо будет довезти на заводы недостающее количество сырья). Поэтому каждый возможный план перевозок изображается точкой четырех- мерного пространства. А все возможные планы перевозок, как можно доказать, образуют выпуклый четырехмерный многогранник. Не трех-

мерный (рис. 12), а четырехмерный. И самый выгодный план перево- зок изображается одной из вершин этого многогранника. А при большем количестве складов и заводов для описания ситуации тре- буются пространства еще больших размерностей. Именно геометрия многомерных пространств позволяет рассчитывать оптимальные планы перевозок и решать многие другие задачи математической экономики. Российский ученый, академик Леонид Канторович, от-