83. Числа 1101(2) и 11011(2) записаны в двоичной системе счисления. Чему равна их сумма в этой системе? А в десятичной?

84. При каком основании системы счисления имеет решение следующий числовой ребус: КИТО + КИОТО = ТОКИО? (Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, разным—разные; Кито, Киото и Токио

— крупные города Японии.)

85. В какой системе счисления 132 = 171?

25. Размещения без повторений

В пункте 23 мы рассмотрели всевозможные отображения f: U → A. Число таких отображений равно nk, где k — число элемен- тов множества U = {1, 2, ..., k}, а n — число элементов множества A. Теперь мы рассмотрим не произвольные отображения f: U → A, а только вложения. Сколько вложений f: U → A существует?

Как мы знаем, произвольное отображение f: U → A представляет собой некоторое слово из k букв, причем буквами являются элементы

«алфавита» A. При этом буквы f(1) = a1, f(2) = a2, ..., f(k) = ak могут быть частично совпадающими, т. е. в слове могут быть повторяющие-

ся буквы. Отображение f: U → A в том случае является вложением, если в нем нет повторяющихся букв, т. е. все элементы множества f(U) попарно различны. Иначе говоря, чтобы получить вложение

f: U → A, мы должны задать некоторую последовательность, состоя- щую из k элементов a1, a2, ..., ak множества A, но так, чтобы в этой

последовательности не было повторяющихся элементов. Такие по- следовательности называются размещениями без повторений (состоя- щими из k элементов множества A). Разумеется, когда мы говорим о

последовательности, то имеем в виду упорядоченное множество эле-

ментов множества A, так что перестановки элементов друг с другом не допускаются. Например, a1a2a3 ... ak и a2a1a3 ... ak — это различные

размещения.

Отличие между размещениями с повторениями и размещениями без повторений можно пояснить еще следующим образом. Предполо- жим, что у нас имеется набор «образцов» букв (т. е. элементов, входящих в алфавит A). При употреблении какой-либо буквы мы изготавливаем ее копию, поэтому каждая буква может быть изготов- лена во многих экземплярах, так что при наборе слова мы можем использовать любое число экземпляров каждой буквы. Тогда слова получаются с возможными повторениями букв, т. е. мы получаем размещения с повторениями.

Совершенно иная ситуация возникает, если каждый элемент мно- жества A уникален, т. е. имеется лишь в единственном экземпляре. Тогда, если мы уже использовали элемент a в качестве буквы неко- торого слова, то его уже больше нет среди оставшихся элементов множества A, т. е. повторно использовать его в качестве буквы в этом слове мы уже не можем. Это и дает размещения без повторений. Например, если мы хотим построить в некоторой последовательности

пять учеников данного класса, то мы не можем поставить некоторого ученика на двух разных местах в одной и той же последовательности (ведь это только в фантастических рассказах у человека могут быть «двойники», т. е. один и тот же человек может существовать в не- скольких экземплярах!). Поэтому последовательность пяти построив- шихся учеников представляет собой размещение без повторений (со- держащее пять элементов данного множества, т. е. класса).

Теперь, выяснив природу размещений без повторений, мы отве- тим на вопрос о числе таких размещений. Итак, нам нужно составить последовательность a1, a2, ..., ak элементов данного множества (без

повторений). Так как множество A содержит n элементов, то у нас есть n возможностей выбрать первый элемент последовательности.

После этого остался n − 1 элемент множества A, и каждый из них может быть взят в качестве второго элемента последовательности. Значит, у нас имеется n(n − 1) возможностей выбрать первые два

элемента последовательности. Теперь осталось n − 2 элемента множе- ства A, и каждый из них может быть выбран в качестве третьего элемента последовательности. Поэтому у нас имеется n(n − 1)(n − 2) возможностей выбрать первые три элемента последовательности. Аналогично, имеется n(n − 1)(n − 2)(n − 3) возможностей выбрать пер- вые четыре элемента последовательности и т. д.

Продолжая, мы получаем выражение

дающее число размещений без повторений по k элементов, взятых из n элементов множества A. Разумеется, при этом предполагается, что

k ≤ n. В самом деле, ведь в множестве A имеется только n элементов, и потому выбрать из них больше чем n элементов (без повторений) невозможно.

Если, в частности, k = n, т. е. мы хотим последовательно располо- жить все n элементов множества A, то, согласно (3), число таких последовательностей равно n(n − 1)(n − 2) ...21, т. е. равно произведе- нию всех натуральных чисел от 1 до n (включительно). Это произве- дение обозначается через n!, т. е. n! = 12... (n − 1)n.

Итак, число всех последовательностей, в виде которых можно расположить все n элементов множества A, равно n!. Эти после- довательности называют также перестановками (из n элементов мно- жества A).

В качестве примера рассмотрим простой случай, когда n = 3, т. е.

множество A = {a, b, c} содержит лишь три элемента, а k = 2, т. е. рассматриваются размещения по два элемента. Число размещений

с повторениями равно 32 = 9. Вот эти размещения: aa, ab, ac; ba, bb, bc; ca, cb, cc.

Далее, число размещений без повторений, согласно формуле (3), рaвно 3 2 = 6. Эти размещения ab, ac; ba, bc; ca, cb получаются, если

Рис. 165 Рис. 166

в предыдущем списке вычеркнуть размещения, в которых имеются повторения.

Наконец, число перестановок, т. е. размещений без повторений, содержащих все три элемента, равно 3! = 12 3 = 6. Вот эти перестанов-

ки: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

В виде упражнения читатель может подсчитать, сколько имеется размещений и перестановок из четырех и из пяти элементов (т. е. для

n = 4 или n = 5).

В заключение рассмотрим несколько примеров.

На плоскости даны n точек a1, a2, ..., an (причем для наглядности

будем считать, что никакие три из них не лежат на одной прямой). Сколько существует векторов (направленных отрезков), идущих от какой-либо одной из этих точек к некоторой другой? Чтобы задать вектор, надо выбрать одну из точек a1, a2, ..., an в качестве его начала,

а другую — в качестве его конца, т. е. надо рассматривать размещения (без повторений, поскольку вектор идет от одной из точек к некото- рой другой) по два элемента, составленные из элементов множества

A = {a1, a2, ..., an}. Согласно (3), число таких размещений (т. е. иско-

мых векторов) равно n(n − 1). Если, например n = 5, то получается

5 4 = 20 векторов (рис. 165).

Второй пример. На собрании членов кооператива присутствовали n человек. Надо выбрать председателя, его заместителя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? Речь идет о последователь- ности, содержащей три элемента из заданных n элементов, т. е. о размещениях без повторений (поскольку один человек не может быть

n(n − 1)(n − 2), что и дает ответ в рассмотренной задаче. Если, напри- мер, на собрании присутствовали 20 человек, т. е. n = 20, то число возможностей равно 201918 = 6840.

Рассмотрим теперь пример на число перестановок, т. е. последо- вательностей, в которых участвуют все элементы множества A (без повторений). На гулянье собрались 7 девушек и баянист. Когда бая- нист заиграл хороводную, девушки решили стать в кружок (хоровод). Сколько есть у них возможностей организовать хоровод? Для реше-

ния отметим одну из девушек (скажем, старшую). Теперь надо ука- зать, где будут располагаться остальные девушки: кто будет первой по кругу (против хода часовой стрелки) от старшей, кто будет второй, третьей, ..., шестой (рис. 166). Значит, задача заключается в том, чтобы пересчитать все способы расположить шесть девушек в после- довательность (первая по кругу от старшей, вторая, .... шестая). Иначе говоря, речь идет о всех перестановках из n элементов, где n = 6. Число таких перестановок равно n! = 6! = 12 3 4 5 6 = 720.

Мы рассмотрели два крайних случая: размещения с повторениями, когда каждый элемент может повторяться в последовательности любое число раз, и размещения без повторений, когда каждый элемент может встречаться в последовательности не более чем один раз. Могут представляться и различные промежуточные случаи, рассмот- рение которых оказывается более сложным. Например, представим себе, что каждая «буква» (т. е. элемент множества A) может копиро- ваться не более двух раз. Тогда в качестве размещений могут быть взяты последовательности, в каждой из которых любая буква может встречаться не более двух раз.

Задачи и упражнения

86. Сколько имеется способов проставить оценки четырем студентам так, чтобы все они получили разные отметки?

87. Сколько существует пятизначных чисел, у которых цифры убывают, например, как у числа 76310?

88. 25 шахматистов проводят турнир. Его исходом считается указание того, кто занял первое место, кто — второе и кто — третье. Сколько исходов может иметь турнир?

89. В городе 10 музеев. Турист решил их все посетить, но никак не может решить в каком порядке это сделать. Сколько у него вариантов?

90. Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизон- тальными полосами одинаковой ширины, если имеются материалы шести различных цветов?

26. Сочетания без повторений

Рассмотрим теперь первую из задач, упомянутых в начале этой беседы. Она формулируется более детально следующим образом. Имеется множество A, содержащее n элементов; сколько в нем име- ется подмножеств, каждое из которых содержит k элементов? Число

таких подмножеств обозначается через kn .

Решение этой задачи, т. е. нахождение явного выражения дляkn , можно свести к рассмотрению ранее изученных задач. В самом

деле, пусть {b1, b2, ..., bk} A — некоторое подмножество, содержа-

щее k элементов. Подмножество не является последовательностью, т. е. элементы в нем не считаются как-либо упорядоченными. Однако мы можем упорядочить эти элементы, т. е. расположить их в некото- рой последовательности. Так как в рассматриваемом подмножестве имеется k элементов, то всевозможных таких последовательностей

(т. е. перестановок элементов b1, ..., bk) имеется k!. Если же мы возь-

мем в A всевозможные подмножества, содержащие k элементов, и для каждого из этих подмножеств возьмем все перестановки его элемен- тов, то мы получим все размещения, состоящие из k элементов мно- жества A. Отсюда получается соотношение

kn k! = n(n − 1) ... (n − k + 1),

которое и дает решение интересующей нас задачи:

Это решение можно записать и иначе. Если умножить числитель

изнаменатель полученной дроби на число (n − k)! = 12 ... (n − k), то

вчислителе получится число n!. Значит,

Формула (5) представляется «более красиво» записанной, чем (4). Впрочем, в некоторых случаях выражение (4) более удобно для вы- числений, чем (5).

Иногда говорят не о подмножествах, содержащих k элементов, а о «сочетаниях» из n элементов по k (где n — число всех элементов, имеющихся в множестве A). Формула (4) (или (5)) дает выражение для числа сочетаний.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу: сколько диагоналей имеется в выпуклом n-угольнике (рис. 167)? Так как в n-угольнике имеется n вершин, то в его множестве вершин существует

n2 подмножеств, содержащих по два элемента.

Каждое такое подмножество определяет либо сторону, либо диа- гональ (рис. 168). Значит, число всех сторон плюс число всех диаго-

налей равно n2 . А так как у n-угольника имеется n сторон, то число его диагоналей равно

Впрочем, этот же результат можно получить и с помощью другого комбинаторного рассуждения. Из каждой вершины n-угольника ис-

ходят n − 3 диагонали (они идут из вершины A ко всем вершинам, кроме самой вершины A и двух смежных с ней вершин, рис. 169). Так как всего имеется n вершин, и из каждой исходят n − 3 диагонали,

то мы таким образом насчитаем n(n − 3) диагоналей. Однако при таком подсчете мы засчитаем каждую диагональ дважды (с одного и с другого конца). Значит, число диагоналей вдвое меньше, чем

n(n − 3), что и дает полученный ранее результат (6).

Рассмотрим еще один геометрический пример. На плоскости даны n точек, никакие три из которых не расположены на одной прямой; сколько имеется треугольников с вершинами в этих точках? Ответ очевиден: чтобы получить треугольник, надо взять в качестве вершин какие-либо три из данных точек; поэтому число всевозможных тре-

угольников с вершинами в этих точках равно n = n(n − 1)(n − 2).

3 3!

Например, для семи точек (т. е. при n = 7) получается 35 треуголь- ников.

К задаче о числе сочетаний без повторений можно подойти и иначе. Выбрать из множества A = {а1, a2, ..., an} некоторое подмноже-

ство, содержащее k элементов, — это все равно что разбить множе- ство A на две части, первая из которых содержит k элементов, а

вторая — остальные n − k элементов. Число таких разбиений (т. е. число сочетаний из n элементов по k) равно kn .

А сколько будет разбиений множества A на три части, первая из которых содержит k элементов, вторая содержит l элементов (отлич-

ных от выбранных k), а третья — остальные n − k − l элементов? Ответ нетрудно получить с помощью формулы (5). В самом деле, выбрать

из A какие-либо k элементов можно kn способами. Далее, выбрать

n − kl

способами. А третье множество выбирать уже не нужно: в него войдут n − k − l оставшиеся элементов. Значит, разбить множество A на три группы указанного вида можно

способами.

Аналогичное рассуждение позволяет получить и более общий результат. Пусть дано некоторое множество A, содержащее n элемен-