тот же цвет, что и остальные. Итак, все k + 1 шариков имеют одинаковый цвет. По принципу индукции отсюда следует, что в любом наборе шарики будут одинакового цвета.»

75. Докажите, что неравенство n3 − 4 > 1000n2 + 3n выполняется при лю-

бом n ≥ 2000.

22. Трансфинитные числа и аксиома выбора

B общеупотребительном языке мы различаем количественные и порядковые числительные. Например, в конечном множестве может быть десять элементов, а если оно упорядочено и притом является цепью, то в нем можно рассмотреть четвертый или седьмой элементы. Подобно этому помимо мощностей, являющихся для бесконечных множеств аналогом количественных числительных, Георг Кантор ввел еще трансфинитные числа («сверхконечные числа»), обобщаю- щие порядковые числительные.

Натуральный ряд чисел 1, 2, 3, ... является упорядоченным (и даже вполне упорядоченным) множеством, содержащим бесконечно много элементов. Чтобы охарактеризовать его «порядковый тип», вводится

первое бесконечное трансфинитное число ω. Его располагают вслед за всеми натуральными числами: 1, 2, 3, ..., ω.

Получающееся упорядоченное множество имеет порядковый тип ω + 1 (т. е. вслед за натуральными числами еще один элемент). При- соединив это новое трансфинитное число ω + 1, мы получаем упоря- доченное множество 1, 2, 3, ..., ω, ω + 1.

Его порядковым типом является ω + 2 (т. е. еще два элемента вслед за натуральными числами). Продолжая, мы получаем последо- вательность трансфинитных чисел

1, 2, 3, ..., ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ... .

Порядковый тип этого множества можно обозначить как ω + ω

или ω 2. Теперь можно рассмотреть дальнейшие трансфинитные числа

1, 2, 3, ..., ω, ω + 1, ..., ω 2, ω 2 + 1, ω 2 + 2, ..., ω 3, ω 3 + 1, ..., ω 4, ..., ω n, ... .

Bслед за ними идет трансфинитное число ω ω = ω2, затем где-то встретятся ω3, ... ω4, ... .

После ω, ω2, ω3, ... ωn идет трансфинитное число ωω, затем ωω + 1, .... Продолжая, мы получим числа

1, 2, 3, ..., ω, ..., ω2, ..., ωω, ..., ωω 2, ..., ωω 3, ..., ωω n, ...,

после которых идет ωω2. Затем будут числа

1, 2, 3, ..., ω, ..., ωω, ..., ωω2, ..., ωω3, ..., ωωn, ...,

вслед за которыми идет ωωω. А после всех чисел

ω

1, 2, 3, ..., ω, ..., ωω, ..., ωωω, ..., ωωω , ...

будет идти трансфинитное число, для которого уже нет принятых алгебраических обозначений и для него надо будет ввести какое-то

новое обозначение, скажем γ, и т. д.

Каждое из указанных трансфинитных чисел обладает тем свойст- вом, что перед ним имеется лишь счетное множество трансфинитных чисел. Поэтому их называют счетными трансфинитными числами. Мы можем теперь взять множество всех счетных трансфинитных чисел. За ними всеми следует трансфинитное число, которое принято

обозначать символом Ω. Это — первое несчетное трансфинитное число, т. е. ему предшествует несчетное множество трансфинитных чисел. Но и на этом процессе образования трансфинитных чисел не

обрывается. Вслед за числом Ω идут числа Ω + 1, Ω + 2, ..., Ω + ω, ..., Ω + ω + n, ..., затем Ω + Ω (т. е. Ω2) и т. д. И какое бы бесконечное множество M мы ни взяли, всегда мы в конце концов можем найти такое трансфинитное число, что все предшествующие ему трансфи- нитные числа образуют множество большей мощности, чем |M|.

При этом, сколько бы мы ни построили трансфинитных чисел, их множество оказывается не только цепью, но и вполне упорядоченным множеством, т. е. в нем справедлив принцип минимального элемента. Иначе говоря, какое бы мы ни взяли подмножество множества транс- финитных чисел, в нем всегда найдется наименьший элемент.

И еще полезно заметить, что имеются трансфинитные числа двух видов. К первому виду относятся трансфинитные числа, которые имеют непосредственно предшествующее число. Таковы, например,

ω + 1, ω + 13, ω2 + 3, ω2 + ω2 + 5, ωω + ω5 + 8 и т. п. Трансфинитные числа второго вида (так называемые предельные трансфинитные чи- сла) не имеют непосредственно предшествующих. Таковы, например,

ω, ω3, ω2, ω2 + ω, ωω + ω2 + ω3 и т. п.

А теперь расскажем о трансфинитной индукции. Пусть ρ — не- которое трансфинитное число. Предположим, что для каждого транс- финитного числа α, меньшего ρ, сформулировано некоторое утверж- дение Tα, и мы хотим доказать, что это утверждение верно для любого

α < ρ. Как это можно было бы сделать? Для этого применяется транс- финитная индукция, которая состоит в следующем.

Bо-первых, надо проверить утверждение Tα для наименьшего трансфинитного числа α = 1, т. е. доказать утверждение T1. Это —

начало трансфинитной индукции.

Bо-вторых, надо осуществить индуктивный переход (вспомните «переход от n к n + 1» при обычной индукции), т. е. доказать, что если

β — произвольное трансфинитное число, меньшее ρ, и если для всех α < β утверждение Tα верно, то верно и утверждение Tβ.

Если трансфинитная индукция проведена (т. е. осуществлены на- чало индукции, а также индуктивный переход), то утверждение Tα

считается доказанным для всех трансфинитных чисел, меньших ρ. Заметим, что если ρ = ω, то множество всех трансфинитных чисел,

меньших ρ, совпадает с натуральным рядом {1, 2, 3, ...}, и в этом случае трансфинитная индукция сводится к обычной математической индукции. Если же ρ таково, что множество всех трансфинитных

чисел, меньших ρ, несчетно, то приходится прибегать к трансфинит- нои индукции. Для удобства множество всех трансфинитных чисел, меньших ρ, обозначим через (0; ρ); это — интервал в множестве трансфинитных чисел. Таким образом, трансфинитная индукция по- зволяет доказать утверждение Tα для всех α (0; ρ).

Правомерность применения трансфинитной индукции вытекает из того, что множество трансфинитных чисел вполне упорядочено, т. е. в нем справедлив принцип наименьшего элемента. В самом деле, допустим, что утверждение Tα (для которого проведены начало ин-

дукции и индуктивный переход) справедливо не для всех α (0; ρ), т. е. множество M всех α (0; ρ), для которых Tα неверно, является

непустым. Пусть β — наименьший элемент множества M, т. е. Tβ неверно, но для всех α < β утверждение Tα верно. Однако существо-

вание такого β противоречит индуктивному переходу (возможность которого предполагается доказанной). Полученное противоречие означает, что множество M не может быть непустым. Следовательно,

M пусто, т. е. Tα верно для любого α (0; ρ). Тем самым правомер-

ность метода трансфинитной индукции установлена.

B качестве примера применения трансфинитной индукции дока- жем следующую теорему: для любого множества A существует такое

трансфинитное число α, что интервал (0; α) эквивалентен множеству A, т. е. существует взаимно однозначное отображение f: (0; α) → A.

B самом деле, допустим, что эта теорема неверна. Bыберем такое трансфинитное число ρ, что интервал (0; ρ) имеет большую мощность, чем множество A. Докажем теперь, что можно для любого α (0; ρ) выбрать элемент xα A, отличный от ранее выбранных элементов.

Это утверждение мы обозначим через Tα и будем его доказывать с

помощью трансфинитной индукции. Начало индукции ясно: мы выбираем произвольный элемент множества A и обозначаем его через x1. Осуществим теперь индуктивный переход. Пусть элементы xξ уже

выбраны для всех ξ < α; тогда, полагая f(ξ) = xξ, мы получаем вложе- ние f: (0; α) → A. Это вложение не является взаимно однозначным

отображением интервала (0; α) на все множество A (поскольку мы предположили, что доказываемая теорема неверна). Значит, можно найти в A элемент, не являющийся образом какого-либо элемента ξ (0; α). Мы выберем такой элемент и обозначим его через xα. Этот

элемент отличен от всех ранее построенных элементов xξ, т. е. ут- верждение Tα верно. Этим осуществлен индуктивный переход. Про- веденная трансфинитная индукция доказывает, что Tα верно для всех α (0; ρ). Иначе говоря, полагая f(α) = xα, мы получаем вложение f

интервала (0; ρ) в множество A. Однако это невозможно, поскольку мощность интервала (0; ρ) больше мощности множества A. Получен- ное противоречие и показывает, что предположение о ложности рас- смотренной теоремы ошибочно, чем и завершается доказательство.

B этом доказательстве имеется некоторый пробел (который, воз- можно, не был замечен читателем). Однако, прежде чем указать этот пробел и поговорить о его исправлении, мы поясним смысл доказан- ной теоремы.

Интервал (0; ρ) трансфинитных чисел представляет собой вполне упорядоченное множество. Значит, согласно доказанной теореме, лю- бое множество A может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с некоторым вполне упорядоченным множеством. Иначе говоря, любое множество может быть вполне упорядочено. Можно сказать и иначе: элементы любого множества A могут быть обозна-

чены в виде xξ, где ξ пробегает некоторый интервал (0; α) трансфи-

нитных чисел, т. е. элементы любого множества A могут быть прону- мерованы трансфинитными числами из этого интервала. Это уже кажется невероятным с интуитивной точки зрения. Например, все действительные числа (их несчетное множество) могут быть пронуме- рованы одно за одним — пусть не обычными целочисленными номе- рами, а трансфинитными, но все же пронумерованы. Интуиция про- тестует против такой возможности.

Может быть, где-то в доказательстве рассмотренной теоремы была допущена ошибка? Нет, доказательство было проведено кор- ректно, но в нем неявно была использована аксиома выбора, сформу- лированная в 1904 году математиком Э. Цермело. В несколько упро- щенном виде ее использование можно пояснить так. Пусть в процессе рассуждения рассматривается некоторое семейство множеств; тогда представляется возможным выбрать в каждом из этих множеств по одному элементу. В приведенном выше доказательстве (которое также принадлежит Цермело) такими множествами были дополнения к множествам уже пронумерованных элементов {xα}, и для каждого

трансфинитного числа β из интервала (0; ρ) мы выбрали в соответ- ствующем дополнении один элемент xβ. Именно аксиома выбора

привела к результату, с которым интуиция не хочет мириться, т. е. аксиома выбора находится в противоречии с нашей интуицией.

B этой связи уместно упомянуть о замечательном результате, который в 1963 году был получен английским математиком П. Коэ- ном. Но прежде чем о нем рассказать, мы сформулируем континуум- гипотезу, высказанную в 1878 году Георгом Кантором. Как мы ви-

дели в беседе 2, мощность континуума больше 0, т. е. больше

мощности любого счетного множества. В то же время выше (в рас- сказе о трансфинитных числах) мы говорили о числе Ω, которое является первым несчетным трансфинитным числом. Это означает, что интервал (0; Ω) имеет мощность большую, чем 0, и притом

эта мощность — самая маленькая из тех, которые больше 0. Эту мощность обозначают через 1. Следовательно, ≥ 1, поскольку ≥ 0, a 1 — наименьшая из мощностей, которые больше 0. Гипотеза континуума состоит в том, что совпадает с 1, т. е. что и есть та наименьшая мощность, которая превосходит 0. Bерно

ли это? Ответ на этот вопрос (ждавший своего решения почти столе- тие), а также на вопрос, «верна ли» аксиома выбора, и был дан П. Коэном. Он установил, что на эти вопросы невозможно дать ответ. Несколько более точно: если к основным аксиомам теории множеств (так называемым аксиомам Цермело—Френкеля) мы присоединим в качестве аксиомы континуум-гипотезу, то мы получим столь же не- противоречивую теорию множеств, как и в том случае, если мы присоединим к основным аксиомам предложение, противоположное

континуум-гипотезе (т. е. предположение, что > 1). Более того,

если к основным аксиомам мы присоединим аксиому выбора, то получим столь же непротиворечивую теорию множеств, как и в том случае, если мы присоединим к основным аксиомам отрицание аксио- мы выбора. Получается, что мы обладаем по крайней мере четырьмя различными теориями множеств (с континуум-гипотезой или без нее, с аксиомой выбора или без нее), и все они в одинаковой степени непротиворечивы! О том, что такое непротиворечивость, мы погово- рим в беседе 13.

B заключение расскажем о лемме Цорна, применение которой часто бывает удобнее, чем непосредственное использование трансфи- нитной индукции. Прежде всего введем одно определение. Пусть M

— упорядоченное множество. Цепь A, содержащаяся в M, называется ограниченной, если в M имеется такой элемент q (принадлежащий или

не принадлежащий цепи A), что a ≤ q для любого a A.

Лемма Цорна. Если все цепи, содержащиеся в упорядоченном мно- жестве M, ограничены, то M содержит (хотя бы один) максимальный элемент.

Мы докажем эту лемму с помощью трансфинитной индукции. Предположим, что все цепи, содержащиеся в упорядоченном множе- стве M, ограничены, но M не содержит ни одного максимального элемента, и приведем это предположение к противоречию. Bыберем

такое трансфинитное число ρ, что интервал (0; ρ) имеет большую мощность, чем множество M. Мы докажем, что можно для любого α (0; ρ) выбрать элемент xα M, который больше любого из ранее

выбранных элементов, т. е. xξ < xα при ξ < α. Это утверждение обо- значим через Tα и будем его доказывать с помощью трансфинитной

индукции. Начало индукции ясно: мы выбираем произвольный эле- мент множества M и обозначаем его через x1. Осуществим теперь

индуктивный переход. Пусть элементы xξ уже выбраны для всех ξ < α. Нетрудно видеть, что элементы xξ, взятые для всех ξ < α, обра-

зуют цепь. В самом деле, пусть ξ и η — два различных трансфинитных числа, принадлежащих интервалу (0; α). Так как множество трансфи- нитных чисел вполне упорядочено, то в множестве {ξ, η} имеется

элементы xξ, xη связаны одним из соотношений xξ < xη, xη < xξ (в

зависимости от того, будет ли ξ < η или η < ξ). Это означает, что множество всех xξ, взятых для ξ (0; α), представляет собой цепь. Так

как, по предположению, все цепи, содержащиеся в M, ограничены, то существует в M такой элемент q, что xξ ≤ q для всех ξ (0; α). Но

мы предположили, что в M нет ни одного максимального элемента. Значит, элемент q не является максимальным в M и потому сущест-

вует такой элемент xα M, что q < xα. Но тогда xξ ≤ q < xα для любого ξ (0; α), т. е. xα больше всех ранее выбранных элементов. Этим

осуществлен индуктивный переход.

Проведенная трансфинитная индукция означает, что элементы xα можно выбрать для всех α (0; ρ), причем они попарно различны

(поскольку xξ < xα при ξ < α). Иначе говоря, полагая f(α) = xα для

любого α (0; ρ), мы получаем вложение интервала (0; ρ) в множе- ство M. Однако это невозможно, поскольку мощность интервала (0; ρ) больше мощности множества M. Полученное противоречие означает, что предположение об отсутствии в M максимальных элементов ложно, т. е. в M найдется хотя бы один максимальный элемент, чем и завершается доказательство.

Читатель заметил, конечно, что мы и здесь применили аксиому выбора. Bообще, большинство математиков предпочитает работать в такой теории множеств, в которой аксиома выбора выполняется.