(поскольку x ≥ 0), т. е. f(g(x)) = x, и потому f g = 1[0; ∞).

Задачи и упражнения

56. Докажите, что композиция симметрий относительно двух заданных параллельных прямых есть параллельный перенос перпендикулярно этим прямым на расстояние, вдвое большее расстояния между этими прямыми.

57. Опишите преобразование плоскости, являющееся композицией пово- рота f на угол α вокруг точки O и поворота g на угол −α вокруг точки O′.

19. Классификация

Идея классификации хорошо известна; по своему существу она связана с множествами и отображениями. Bолк, лошадь, горилла, дельфин принадлежат к классу млекопитающих; орел, голубь, гусь — классу птиц; крокодил, черепаха, ящерица — классу пресмыкающихся; щука, карась, осетр — классу рыб; амеба, инфузория «туфелька», вибрион холеры — классу простейших. Обозначим через A множество всех биологических видов животных, а через B = {млекопитающие, птицы, рыбы, пресмыкающиеся, простейшие} — множество всех клас-

сов. Тогда каждому элементу множества A, т. е. виду животных, естественно сопоставляется некоторый элемент множества B — тот класс, которому этот вид принадлежит. Получающееся отображение

e: A → B является наложением (поскольку ни один класс не является пустым множеством); оно называется естественным отображением. Каждый элемент a A является представителем того класса, которо- му он принадлежит. Например, щука — представитель класса рыб. Понятие класса возникает в результате абстракции отождествления. Bсе виды животных, вскармливающих своих детенышей молоком, объединены в одно подмножество множества A. Абстрагируясь от индивидуальных черт каждого вида (хищник это или травоядное, парнокопытное или нет, и т. п.), мы объединяем всех этих предста- вителей животного мира по основному признаку, как бы отождест- вляем их в этом отношении, и это дает один из классов. Название «млекопитающие» отражает основной признак. (Правда, есть исклю- чение: пингвин вскармливает своих детенышей молоком, однако он отнесен — по другим признакам — к классу птиц.) Два представителя, отнесенные к одному классу, называются (в смысле этой классифика- ции) эквивалентными. Иначе говоря, эквивалентность означает при- надлежность одному и тому же классу.

Bообще, идея классификации состоит в том, что, имея заданное множество A, мы объединяем его элементы в классы по определен- ному признаку эквивалентности, причем так, что получающиеся клас- сы попарно не пересекаются и охватывают все элементы множества A. Иначе говоря, каждый элемент попадает в один и только один из классов, т. е. является представителем какого-то одного класса.

Какими же свойствами должен обладать признак эквивалентности (или, как говорят математики, отношение эквивалентности), чтобы с его помощью можно было осуществить классификацию, т. е. разбить множество A на классы, объединение которых дает все множество A и которые попарно не пересекаются? Иначе говоря, каким должно быть отношение эквивалентности, чтобы, объединяя вместе эквива- лентные элементы, мы получили разбиение множества A на классы?

Условимся для краткости считать, что запись a ~ b означает: «элемент a эквивалентен элементу b». Далее, если a — элемент мно- жества A, то через [a] условимся обозначать класс элемента a, т. е.

множество всех тех x A, для которых x ~ a:

[a] = {x A: x ~ a}.

Чтобы выяснить, какими свойствами должно обладать отношение эквивалентности, рассмотрим некоторые примеры.

На рис. 137 изображены ученики a, b, c, d, e, f, выстроившиеся по росту. Рассмотрим отношение «не ниже» и будем его обозначать символом ~. Например, a ~ b, b ~ с, d ~ f, но отношение f ~ a не соблюдается (т. е. неверно, что «f не ниже a»). Посмотрим, дает ли это отношение разбиение на классы. Класс элемента b содержит, кроме самого b, еще a и c, поскольку каждый из учеников a и с не

(каждый человек знаком с самим собой). Однако, несмотря на его «естественность», свойство рефлексивности должно быть четко ука- зано как одно из свойств отношения эквивалентности. Рассмотрим пример, показывающий важность этого свойства. Для этого возьмем множество A всех прямых, на плоскости и записью a ~ b (для двух элементов из A) будем обозначать отношение «прямая a параллельна b». Это свойство симметрично (если одна прямая параллельна другой, то и вторая параллельна первой) и вроде бы транзитивно (две пря- мые, параллельные третьей, параллельны друг другу). Рефлексивно ли это отношение? Это зависит от определения параллельности пря- мых — если прямая «сама себе параллельна», то рефлексивность есть.

В старом учебнике геометрии А. П. Киселева параллельными назывались прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. Поэтому только две различные прямые могли быть параллельными, т. е. две совпадаю- щие прямые параллельными не считались. В результате отношение параллель- ности не было рефлексивным. То же было повторено в учебнике А. B. По- горелова (и в ряде других учебников). К чему это приводит? На рис. 139 изображена равнобедренная трапеция MNPQ и точка R на ее основании. Обозначим через a серединный перпендикуляр к отрезку MN, через b — се- рединный перпендикуляр к отрезку MR, a через c — серединный перпенди- куляр к отрезку PQ. Тогда а || b и b || c, т. е., обозначая временно это отно- шение знаком ~, мы находим a ~ b, b ~ c. Однако прямые a и c совпадают, т. е. не параллельны, согласно терминологии Киселева и Погорелова. Bыхо- дит, что утверждение «две прямые, параллельные третьей, параллельны» у них должно быть сформулировано в виде: «две прямые, параллельные тре- тьей, либо параллельны, либо совпадают». Подобных сложностей, связан- ных с нерефлексивностью принятого определения отношения параллельно- сти, в учебнике А. B. Погорелова немало. Без рефлексивности отношение параллельности не устанавливает классификации прямых: класс [a] прямой a состоит из всех прямых, параллельных a, но не содержит самой прямой a

(по Киселеву и Погорелову), т. е. a [a].

В учебнике по курсу А. Н. Колмогорова совпадающие прямые считаются параллельными, т. е. свойство рефлексивности соблюдается и получается пол- ная классификация: каждый класс содержит все параллельные между собой прямые, без всяких исключений.

Итак, для того, чтобы быть основой для классификации, отноше- ние эквивалентности должно быть рефлексивным, симметричным и транзитивным, т. е. для любых трех элементов a, b, c рассматривае- мого множества (которое мы хотим разбить на классы с помощью этого отношения эквивалентности) должны выполняться свойства

(16), (14), (15).

Замечательно, что и обратное утверждение справедливо, т. е. если отношение эквивалентности, введенное в множестве A, рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно осуществляет в A классифика-

цию. Иначе говоря, рассматривая для каждого a A его класс экви- валентности [а], мы получаем разбиение множества A на классы, каждые два из которых либо совпадают, либо не пересекаются (как и требует классификация).

Наконец, отметим еще два примера, имеющие существенное зна- чение. Первый из них касается рациональных чисел, т. е. чисел, пред-

p

ставимых в виде дроби q, где p и q — целые, причем q ≠ 0. Две дроби pq и rs считаются эквивалентными, если ps = qr. Например, эквивалент-

ными являются дроби 23 и 46, поскольку 2 6 = 3 4. Это отношение

эквивалентности является рефлексивным, симметричным и транзи- тивным, т. е. множество всех дробей разбивается на классы эквива- лентности. Каждый такой класс эквивалентности и есть рациональное число.

Дроби 23 и 46 представляют одно и то же рациональное число,

поскольку эти дроби эквивалентны. Именно рациональные числа, а не отдельные дроби изображаются точками на числовой оси. Bедь

нет отдельных точек для 23, 46 или 1105. Эти дроби (и все другие, эквивалентные им) изображаются одной точкой (рис. 144). Надо было бы писать 32 = 64 , т. е. класс, содержащий дробь 23, совпадает

с классом, содержащим дробь 46 (и именно этот класс, т. е. рациональ- ное число, изображается точкой на числовой оси). Однако для про-

Если бы мы взяли других представителей чисел r1 и r2, например, 46 и 135, то, согласно правилу сложения дробей, мы нашли бы (взяв

30 в качестве общего знаменателя): 46 + 135 = 2030 + 306 = 2630. Но 2630 и 1135 — эквивалентные дроби, т. е. они представляют одно и то же

рациональное число 1135 = 3026 . Иначе говоря, беря различных пред- ставителей чисел r1 и r2 и выполняя сложение этих дробей (предста-

вителей), мы получаем дроби, представляющие одно и то же рацио- нальное число, которое и принимается за сумму r1 + r2.

Таким образом, хотя сложение рациональных чисел определяется по представителям, но оно определено математически корректно,

т. е. результат (сумма r1 + r2) не зависит от выбора представителей чисел r1 и r2. В связи с этим мы обычно опускаем квадратные скобки;

надо было бы писать 32 + 51 = 1135, но для краткости мы пишем

проще, т. е. без скобок: 23 + 15 = 1135.

Заключительный пример — понятие конгруэнтности геометричес- ких фигур. Каждая фигура (например, на плоскости) представляет собой некоторое множество точек. Как всегда, два множества A и B считаются равными, если они совпадают, т. е. любая точка множе- ства A принадлежит также множеству B и обратно. Точно так же две геометрические фигуры A, B следует считать равными, если они со- впадают, т. е. если A и B — это одна и та же фигура. Фигуры же, которые могут быть совмещены друг с другом при помощи некото- рого движения, называются по принятой в математике традиции не равными, а конгруэнтными. Например, на рис. 145 фигуры A и B конгруэнтны: симметрия s относительно точки O переводит фигуру

A в фигуру B, т. е. s(A) = B. Но A и B — это все же различные фигуры, т. е. на рис. 145 имеются две фигуры A и B, а вовсе не одна и та же фигура; «равными» (т. е. совпадающими) считать эти две фигуры было бы неправильным. Конгруэнтность фигур A и B обозначается обычно записью A B. Примем и мы это обозначение. Таким обра- зом, на рис. 145

A B, s(A) = B, s(B) = A,

т. е. фигуры A и B конгруэнтны, а образ фигуры A при симметрии s равен фигуре B, т. е. совпадает с ней (и, точно так же, образ фигуры B совпадает с A).

В учебнике А. В. Погорелова (вслед за более ранним учебником А. П. Киселева) понятия равенства и конгруэнтности не различаются, во всех случаях говорится о «равных» фигурах. Иными словами, «равными» называ- ются (по Погорелову) не только две совпадающие фигуры, но и две различ- ные фигуры, если они могут быть совмещены движением («наложением» по Киселеву). Например, любые две точки «равны»; любые две прямые «равны». При погореловской терминологии использование общепринятых функцио- нальных обозначений (не только удобных, но и сближающих алгебру с гео- метрией) становится математически некорректным и бессмысленным. Так, применяя к рисунку 145 функциональные обозначения, мы можем написать

s(M) = N, s(P) = Q, т. е. точка s(M) (образ точки M) равна N, совпадает с ней; точка s(P) равна точке Q, т. е. s(P) и Q — это одна и та же точка. Так обстоит дело в общепринятой математической терминологии. Но по Пого- релову любые две точки «равны» (например, M = N = P = Q), и потому функ- циональная запись s(M) = N ничего не выражает, поскольку s(M) есть точка, N — тоже точка и потому они, конечно, «равны». С такой же обоснованнос- тью можно было бы написать s(M) = P, s(M) = Q и т. п. (ведь любые же две

точки «равны»!). Таким образом, упрощенчество, связанное с отказом от термина конгруэнтность, перечеркивает идею функциональных обозначений. Мы далее сохраняем общепринятый математический термин конгруэнтность

и обозначение A B, что дает право в полной мере использовать функцио- нальные обозначения.

Теперь укажем, как это связано с идеей классификации. Отноше- ние конгруэнтности геометрических фигур рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. оно разбивает все множество фигур на классы. Мы обычно говорим, что задача о построении треугольника по дли- нам трех сторон a, b, c имеет единственное решение (при условии, конечно, что каждое из чисел a, b, c меньше суммы двух других). Это построение легко осуществить циркулем и линейкой (рис. 146). Но ведь в действительности имеется бесконечно много треугольников с данными длинами сторон (рис. 147), а вовсе не «один» такой тре- угольник. Однако все треугольники, дающие решение этой задачи, конгруэнтны между собой, т. е. составляют один класс конгруэнтных фигур.

Правильнее было бы сказать, что с точностью до конгруэнтности задача имеет единственное решение, т. е. решением является один класс конгруэнтных треугольников. За-

дача же построить треугольник по двум сторонам и высоте, сходящимся в одной вершине, имеет два решения (рис. 148). Точнее, два решения с точностью до конгруэнтности, т. е. имеются два клас-

са конгруэнтных треугольников, служа- щих решениями этой задачи.