Беседа 4. Отображения

отображением не является, так как от элемента a A ведут две стрел- ки к элементам множества B, а не одна.

Отображения, рассматриваемые в алгебре и математическом ана- лизе, называют функциями. Чаще всего функции задаются формула- ми. Например, запись

означает, что каждому действительному числу x сопоставляется в ка- честве его образа (или, как говорят, значения этой функции в точке x) число, определенное правой частью равенства (1). Например,

f(2) = 3, f(0) = 5, f(−2) = 15. Поскольку в качестве x может быть взято любое действительное число, областью определения этой функции яв- ляется все множество R действительных чисел. И образ f(х) (т. е. зна- чение этой функции в точке x) также является действительным чис- лом, т. е. формула (1) задает функцию (отображение) f: R → R. Функ-

ция g(x) = √x − 5 имеет своей областью определения луч [5; ∞), т. е. множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству х ≥ 5 (поскольку при х < 5 выражение под корнем становится отрица- тельным), т. е. эта запись определяет функцию (отображение)

(0; 5), определяемого неравенствами 0 < x < 5, и луча (5; ∞), состояще-

го из всех точек, удовлетворяющих неравенству x > 5. Отметим, что от отрезка [a; b], состоящего из всех чисел, удовлетворяющих нера- венствам a ≤ x ≤ b (рис. 93), интервал (a; b) отличается тем, что он не содержит концевые точки x = a и x = b, т. е. определяется неравен- ствами a < x < b (рис. 94).

Bообще, когда говорят, что рассматривается некоторая числовая функция f(х), то имеют в виду задание некоторого отображения

f: A → R, где A R. Числовые функции могут задаваться не только формулами, но и описательно. Такова, например, функция Дирихле, определяемая следующим образом:

62 Беседа 4. Отображения

0, если число х иррационально, f(x) =

1, если число х рационально.

Например, f(1) = 1, f 72 = 1, f(√2 ) = 0, f(π) = 0. Несмотря на то, что эта

функция не записана формулой, она принимает вполне определенное значение (0 или 1) для любого x R.

B качестве еще одного примера рассмотрим так называемую ха- рактеристическую функцию множества. Пусть A — некоторое под-

множество числовой прямой R. Зададим числовую функцию ϕ(x), определенную на всей числовой прямой R, следующим образом:

1, если х A,

ϕ(x) =

0, если х A.

Это и есть характеристическая функция множества A. Если, напри- мер, A есть множество всех рациональных чисел, то характеристичес- кая функция этого множества совпадает с рассмотренной выше функ-

цией Дирихле.

Отображения рассматриваются и в геометрии. Bсе геометрические преобразования, играющие важную роль в этой области математики, являются отображениями. Например, центральная симметрия с цент- ром O есть отображение, которое каждой точке A, отличной от O, ставит в соответствие такую точку B, что отрезок AB имеет O своей серединой. Точке же O ставится в соответствие сама точка O, т. е. как говорят, точка O является неподвижной точкой этого отображе- ния. На рис. 95 образом точки A при центральной симметрии отно- сительно точки O является точка B, образом точки B является A, образом точки C является D, образом точки D является C, образом точки O является O. Обозначая эту симметрию буквой s, мы можем

написать: s(A) = B, s(B) = A, s(C) = D, s(D) = C, s(O) = O.

π

Поворот r плоскости P на угол 2 вокруг центра O также пред-

ставляет собой некоторое отображение r: P → P этой плоскости на ту же самую плоскость. Точку A, отличную от O, это отображение переводит в такую точку B = r(A), что A и B лежат на одной окруж- ности с центром O и величина угла AOB, отсчитываемая в положи-

тельном направлении (т. е. против хода часовой стрелки), равна π2

(рис. 96). Точка O переводится рассматриваемым поворотом в ту же точку O, т. е. O является неподвижной точкой этого отображения. Bообще, любое геометрическое преобразование f плоскости P (осевая симметрия, параллельный перенос, гомотетия и многие другие)

представляет собой некоторое отображение f: P → P . Иначе говоря, каждое геометрическое преобразование f плоскости P есть как бы «геометрическая функция», которая, однако, в отличие от числовой

функции, имеет своей областью определения не некоторое множество чисел, а множество P, состоящее из точек, и образами также являются

не числа, а точки, т. е. для любой точки A P ее образ B = f(A) также есть некоторая точка плоскости P.

Таким образом, рассмотрение не только множеств, но и отобра- жений сближает алгебру и геометрию, т. е. составляет некоторый общий взгляд на эти разделы школьной математики.

Попытки модернизировать школьный курс математики, весьма сильно отстававший от современной науки, были сделаны во многих странах мира в середине XX столетия. Чтобы рассказать об этом, мы начнем издалека.

Три русских писателя, братья Жемчужниковы и Алексей Констан- тинович Толстой, выпустили интересную и весьма известную книгу, назвав ее сочинениями Козьмы Пруткова. Этим псевдонимом они охарактеризовали напыщенного и самонадеянного вымышленного автора, который назидательно высказывал вроде бы банальные, но, если вдуматься, очень глубокие истины. А в середине XX столетия группа французских математиков (Картан, Дьедонне и ряд других ученых) создала «математического Козьму Пруткова», издав серию

книг под псевдонимом Никола′ Бурбаки′. Художники создали и пор- трет этого вымышленного самодовольного автора, генерала в отстав- ке, который решил остаток жизни посвятить написанию трактатов о математических науках. Книги Бурбаки по разным разделам матема- тики являются ультрасовременными и содержат много интересных идей, объединяющих общим взглядом различные ветви математики, главным образом на базе теории множеств и топологии. Эти десятки трактатов Бурбаки внесли существенный вклад в формирование ма- тематических взглядов современных ученых, особенно молодых. Лю- бопытен эпизод, связанный с международным математическим кон- грессом, проходившим в 1966 году в Москве. При подготовке этого конгресса оргкомитет разослал во все страны мира извещение о предстоящем математическом форуме. Каждый математик, имевший научные публикации, получил приглашение принять участие в работе конгресса, для чего он должен был написать о своем согласии и выслать оргвзнос в размере 40 американских долларов. Получил такое приглашение и Никола Бурбаки, автор десятков широко извест- ных книг. Эта шутка московского оргкомитета была подхвачена

французскими математиками, которые не пожалели 40 долларов и сообщили, что известный французский математик выражает свое со- гласие участвовать в работе конгресса. И перед началом одного из пленарных заседаний конгресса в фойе было вывешено кричащее объявление, извещавшее о том, что в этот день, после заседаний, в пресс-центре конгресса состоится встреча с известным французским математиком Никола Бурбаки...

Модные теоретико-множественные концепции Бурбаки сопрово- ждались и некоторой ревизией математических обозначений. Так,

числовой интервал, издавна записываемый в виде (a; b), Бурбаки предложил обозначать символом ]a; b[, в котором «вывернутые» квад- ратные скобки должны были символизировать то, что, в отличие от отрезка [a; b] интервал ]a; b[ не содержит своих концевых точек, т. е.

описывается неравенствами a < x < b.

Bсеобщее увлечение идеями Бурбаки совпало по времени с про- цессом модернизации школьного образования (а может быть, не толь- ко «совпало» по времени, но и было органически связано с этим процессом). Новые учебники, изданные в ряде стран мира, уделяли существенное внимание рассмотрению множеств и отображений. В алгебре это выражалось, в частности, в том, что рассматривалось множество всех решений уравнения или неравенства, и оно записы-

валось с помощью знаков , , U, I. Мы это видели на примере неравенства (6) и его решения (7) в пункте 12.

Разумеется, дело не в обозначениях, а в самих идеях множества и отображения, в удобстве математического языка, использующего эти понятия и объединяющего алгебру с геометрией. В геометрии идеи этого круга были связаны с прогрессивной тенденцией, восходящей к замечательному немецкому математику и педагогу Феликсу Клейну, который говорил о широком использовании геометрических преоб- разований взамен устаревших евклидовых приемов геометрических доказательств (об этом еще будет идти более подробный разговор в последующих беседах).

В России попытка модернизировать школьный курс математики и свя- занная с нею реформа школьного обучения были особенно драматичны. Ини- циатором и активным руководителем реформы школьного математического образования стал выдающийся математик XX столетия академик Андрей Ни- колаевич Колмогоров. Правда, созданный по новой программе курс геомет- рии оказался трудным. Но в идейном плане это был совершенно новый курс, содержавший современные идеи и способствовавший более глубокому осмыс- лению математики, чем прежние учебники. И хотя новые учебники были трудными для школьного учителя, но в течение 2 – 3 лет работы по этим учебникам школьные преподаватели их освоили, «пропустили через свое

сердце» и стали на три головы выше в своем идейном понимании математики. И тут грянул гром среди ясного неба. Начался «крестовый поход» против колмогоровских идей и против употребления в школе множеств и других новых для школы понятий, возглавленный академиком Л. С. Понтрягиным. Личность Л. С. Понтрягина весьма противоречива в истории науки. Талан- тливый математик, получивший ряд первоклассных результатов в топологии