56 Беседа 3. Операции над множествами
14. Произведение множеств
На билете для посещения кинотеатра написано: «ряд 4, место 5». Пара чисел 4 и 5 определяет положение места в зрительном зале. Можно было просто написать (4; 5), имея в виду, что первое число
— номер ряда, а второе — номер места в этом ряду (рис. 78). Числа 4 и 5 — координаты места в зрительном зале. И если A — множество
номеров всех рядов в зрительном зале, скажем, A = {1, 2, .... 20}, а B — множество чисел, которыми нумеруются места в каждом ряду (скажем, B = {1, 2, ..., 25} — мы считаем, что все ряды одинаковые), то каждое место зрительного зала определяется парой чисел (x; y), где
х А, y B. Иными словами, множество мест в зрительном зале находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех пар (x; y), где х А, y B.
Аналогично этому, если в плоскости выбрана координатная сис- тема, то положение каждой точки на плоскости определяется парой
чисел (x; y), где x — абсцисса рассматриваемой точки, а y — ее ордината (рис. 79). Иными словами, множество всех точек плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех пар (x; y), где х R, y R (т. е. x и y — действительные числа).
Существенно, что (как и в первом примере) пары (x; y) — упорядо- ченные, т. е. четко различается, какое число в паре является первым, а какое — вторым; пары (x; y) и (y; x) означают при х ≠ у разные точки плоскости (рис. 80). Принято говорить «точка (x; y)», т. е. отождествлять точку плоскости и пару чисел (x; y) — ее координат.
На собрание кооператива пришло некоторое количество его чле- нов; A — множество пришедших мужчин, B — множество женщин. Решено было избрать председателя и секретаря собрания, причем председателем должен быть мужчина, а секретарем — женщина. Сколькими способами можно их избрать? Здесь речь идет о выборе
пары (x; y), где х А, y B. Число способов выбора председателя равно |A|, т. е. равно численности (мощности) множества A, посколь- ку любой из пришедших мужчин может быть выбран председателем. И, независимо от этого (т. е. на каждый способ выбора председателя), имеется |B| способов выбрать секретаря. Таким образом, при указан-
ных условиях всего имеется |A| |B| способов выбрать руководство собрания, т. е. пару (председатель; секретарь).
В этих случаях (и ряде других) рассматриваются два множества
A, B и берется множество всех пар (x; y), где х А, y B. Это множество пар называется произведением взятых множеств A, B и обозначается через A×B.
В кинотеатр пришло несколько учеников класса. Они купили оставшиеся разрозненные билеты и сели в разных местах зала. Ото-
ждествляя каждое место с соответствующей парой чисел (x; y), мы можем сказать, что множество мест, на которых сидели пришедшие в кино ученики, есть некоторое подмножество произведения A×B, где
14. Произведение множеств |
57 |
|
|
Рис. 79
Рис. 78 |
Рис. 80 |
A — множество номеров рядов, а B — множество номеров мест (мы здесь снова рассматриваем лишь случай, когда в каждом ряду содер- жится одно и то же число мест). Если, например, это подмножество имеет вид {(5; 13), (6; 11), (12; 9)}, то это означает, что в кино пришли три ученика, первый сидел в 5-м ряду на 13-м месте, второй — в 6-м ряду на 11-м месте и третий — в 12-м ряду на 9-м месте (рис. 81).
Так как координатная плоскость есть произведение R×R, то гра-
фик функции, например, многочлена y = x3 + 2x2 − 5x − 6, представля- ет собой некоторое подмножество этого произведения (рис. 82). Од- нако вовсе не любое подмножество G координатной плоскости R×R является графиком некоторой функции; необходимо (и достаточно), чтобы каждая прямая, параллельная оси ординат, пересекала G не более чем в одной точке (рис. 83). Подробнее мы поговорим об этом в беседе 4.
Рис. 81 |
Рис. 82 |
Рис. 83 |
58 |
Беседа 3. Операции над множествами |
|
|
Рис. 84 Рис. 85
Вернемся к примеру о собрании членов кооператива. Выяснилось, что некоторые из присутствующих состоят в родственных отношени- ях — являются мужем и женой; в связи с этим было решено, что председатель и секретарь не должны быть из одной семьи. В этих условиях пару (председатель; секретарь) следует выбирать не из всего
произведения A×B, а из некоторого его подмножества, поскольку некоторые пары являются запрещенными (рис. 84, на котором кольца изображают семейные пары).
Допустим, что планируется шахматный турнир, A — множество всех его участников (будем считать, что в A четное число элементов, так что в каждом туре заняты все участники). При составлении
расписания на один из туров следует в произведении A×A исключить диагональные клетки, поскольку никакой участник не может играть «с самим собой», и отметить в таблице |A| клеток, попарно симмет- ричных относительно диагонали (если третий играет с первым, то это означает также, что первый играет с третьим), причем так, что каждая строка (и каждый столбец) таблицы имеет ровно одну отмеченную
клетку (рис. 85). Любое такое подмножество произведения A×A мо- жет служить графиком расписания для одного из дней турнира.
Наконец, рассмотрим еще вопрос о связи произведения множеств с произведением чисел. На рис. 86 изображена ситуация, в которой рассматривается набор из пяти предметов, взятый (повторенный) три раза. Объединяя все эти предметы, мы получаем случай, когда скла- дываются три одинаковых слагаемых: 5 + 5 + 5. Или, как еще гово-
Рис. 86 |
Рис. 87 |
14. Произведение множеств |
59 |
|
|
Рис. 88 |
Рис. 89 |
рят, «надо пять взять три раза». Такое многократное сложение оди- наковых слагаемых называется умножением (натуральных чисел). В
данном случае речь идет о действии 5 3.
Таким же способом вычисляется площадь прямоугольника (с целы- ми длинами сторон, рис. 87), в связи с чем и возникает формула
S = ab, выражающая площадь прямоугольника через длины его сто- рон (о единицах длины и площади, используемых при таком вычис- лении, нам еще предстоит поговорить впоследствии).
Связь с произведением множеств здесь непосредственно просле- живается. В самом деле, перенумеруем предметы в наборе (в случае, изображенном на рис. 86, нумерация осуществляется числами из мно- жества A = {1, 2, 3, 4, 5}) и сами наборы (нумерация осуществляется числами из множества B = {1, 2, 3}). Тогда каждый предмет на
рис. 86 обозначается парой чисел (x; y), где х А, y B. Например, первый предмет из первого набора — пара (1; 1); третий предмет из второго набора — пара (3; 2) и т. д. (рис. 88). А всего предметов взято столько, сколько есть элементов (x; y) в произведении A×B.
В общем случае (для конечных множеств) произведение A×B имеет
|A| |B| элементов, т. е. произведению множеств соответствует произве- дение чисел.
Эта связь между произведением множеств и произведением чисел дает хорошую наглядную иллюстрацию свойства коммутативности умножения натуральных чисел: достаточно повернуть рисунок на 90°,
и мы получаем модель произведения 3 5, хотя число предметов, оче- видно, не изменилось (рис. 89). Таким образом, 5 3 = 3 5, и вообще,
mn = nm для любых натуральных чисел m, n. Как и в случае сложения, это не есть «доказательство» свойства коммутативности, а лишь его наглядное пояснение.
В теории натуральных чисел коммутативность умножения явля- ется аксиомой, а соображения, подобные тем, которые связаны с рассмотренными рисунками, поясняют происхождение этой акси- омы.