УДК 51(07) ББК 22.12

Б79

Болтянский В.Г., Савин А.П. Беседы о математике. Книга 1.

Б79 Дискретные объекты. – М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. – 368 с. ISBN 5-89492-011-6 («ФИМА»)

ISBN 5-94057-040-2 (МЦНМО)

Книга вводит читателя в круг идей современной математики. В популярной форме рассказывается о теории множеств, комбинаторике, теории графов, теории вероятностей и многом другом.

Издание будет интересно учителям математики. Специальная глава посвящена вопросам, связанным с поиском учащимися решений задач.

В то же время эта книга может служить основой курса математики для студентов гуманитарных специальностей. Такой курс был прочи- тан авторами для психологов.

Учащиеся и учителя математических школ, лицеев и гимназий могут использовать издание в качестве учебного пособия.

Научно-популярное издание

БОЛТЯНСКИЙ Владимир Григорьевич, САВИН Анатолий Павлович

БЕСЕДЫ О МАТЕМАТИКЕ. Книга 1. Дискретные объекты.

Редактор А.Н.Виленкин Дизайн обложки А.Е.Шабельник

Подписано в печать с оригинал-макета 24.06.2002 Формат 60×90/16. Бумага тип. № 2. Гарнитура Times Печать офсетная. Печ. л. 23. Тираж 2000 экз. Заказ № 87

ООО «ФИМА» 121248, г. Москва, Украинский бульв., д. 3/5, корп. 2

E-mail: pub-fima@narod.ru

Издательство Московского Центра непрерывного математического образования 121002, г. Москва, Большой Власьевский пер., д. 11 Тел. 241-72-85

E-mail: adm@mccme.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП «Облиздат» 248640, г. Калуга, пл. Старый торг, 5

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Беседа 1. Предмет математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Мнения о пользе математики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Понятия математики и их возникновение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. Некоторые виды абстракции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. Многоступенчатые абстракции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5. Пространственные и пространственноподобные формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6. Количественные отношения реального мира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Глава I. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Беседа 2. Конечные и бесконечные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7. Множество и его элементы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8. Взаимно однозначное соответствие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 9. Счетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 10. Понятие мощности множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Беседа 3. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

11. Пересечение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 12. Объединение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 13. Дополнение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 14. Произведение множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Беседа 4. Отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

15. Общее понятие отображения и школьная математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 16. Некоторые виды отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 17. Обратное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 18. Композиция отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 19. Классификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Беседа 5. Упорядоченные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

20. Понятие упорядоченного множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 21. Минимальные элементы и математическая индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 22. Трансфинитные числа и аксиома выбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Глава II. КОМБИНАТОРИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Беседа 6. Размещения, сочетания и родственные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

23. Размещения с повторениями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 24. Системы счисления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 25. Размещения без повторений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 26. Сочетания без повторений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 27. Сочетания с повторениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 28. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 29. Производящие функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 30. Принцип Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Беседа 7. События и вероятности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

31. События . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 32. Классическое понятие вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 33. Свойства вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 34. Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 35. Независимые события и серии испытаний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Беседа 8. Случайные величины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

36. Математическое ожидание и дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 37. Нормальное распределение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 38. Закон больших чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

39. Чет — нечет. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 40. Количество двоичных цифр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 41. Задачи на взвешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 42. Понятие об энтропии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Беседа 10. Комбинаторные задачи о графах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

43. Графы и их элементы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 44. Цепи и циклы в графах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 45. Плоские графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 46. Формула Декарта—Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 47. Правильные многогранники и паркеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 48. Проблема четырех красок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 49. Ориентированные графы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 50. Конечные позиционные игры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 51. Понятие о сетевом планировании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

ГЛАВА III. РАССУЖДЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Беседа 11. Теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

52. Существование и общность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 53. Структура теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 54. Отрицание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 55. Необходимое и достаточное условие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 56. Конъюнкция и дизъюнкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

57. Возникновение аксиоматического метода в математике. . . . . . . . . . . . . . . . . 248 58. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 59. Коммутативные группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Беседа 13. Непротиворечивость, независимость, полнота. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

60. Непротиворечивость и понятие модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 61. Математические примеры моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 62. Построение аксиоматики геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 63. Геометрия Лобачевского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 64. Модель геометрии Лобачевского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 65. Изоморфизм моделей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 66. Полнота аксиоматики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Глава IV. ПОИСК РЕШЕНИЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Беседа 14. Инсайт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

67. Цикл озарения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 68. Сфера достижимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 69. Анализ и синтез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 70. Обратимый анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 71. Анализ — поиск решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 72. Поиск решения нестандартных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 73. Соединение анализа с синтезом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Беседа 15. Наглядность. Аналогия. Интуиция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

74. Формула наглядности — изоморфизм плюс простота . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 75. Наглядность и математическая эстетика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 76. Аналогия — общность аксиоматики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 77. Прогнозирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 78. Несколько слов о математической интуиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

ВВЕДЕНИЕ Беседа 1. Предмет математики

1. Мнения о пользе математики

Наш великий соотечественник Михаил Васильевич Ломоносов говорил: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит». Но, может быть, за те два с лишним столетия, которые прошли со времен Ломоносова, математика утратила свою актуаль- ность? Приведем свидетельство наших дней.

Американский президент Рональд Рейган в последний год своего правления представил доклад «Нация в опасности». «...Кичась своей демократичностью, Америка позволила старшеклассникам называть, по своему выбору, три главных, с их точки зрения, учебных предмета, по которым они хотели бы быть аттестованными. Разумеется, лишь 10 – 12% молодых людей пожелали видеть среди этих трех предметов математику. И результат не замедлил сказаться: за десятилетие с лишним эта демократичность привела к тому, что молодые юристы стали хуже логически мыслить, молодые врачи стали лечить хуже, чем их более зрелые коллеги в бытность их в том же возрасте, вновь испеченные экономисты стали хуже понимать законы рынка». Пре- зидент поставил задачу срочно выбраться из этой интеллектуальной ямы и добиться, чтобы американская молодежь лучше всех знала математику. (Кстати, некоторые наши руководители образования чуть не затолкали нас в эту же яму, пытаясь на этом заработать популярность у сердобольных родителей.)

А известный польский математик и популяризатор Г. Штейнгауз выразил ту же мысль иначе, в виде шутливого принципа: «Математик это сделает лучше», добавив при этом, что его принцип универсален. Не в том, конечно, смысле, что медиков и юристов надо вербовать только среди математиков, но с назиданием, что представитель каж- дой специальности, владеющий стилем и методом мышления, почерп- нутым при творческом изучении математики, будет и в своей области работать лучше.

Впрочем, некоторые ученые (особенно часто — физики) считают, что математика — лишь формалистическая одежда к важнейшим естественно-научным открытиям, тогда как сами эти открытия и не нуждаются в этой скучной, бесполезной с их точки зрения науке. Есть остроумный анекдот (наверное, придуманный физиками) на эту тему. Однажды Шерлок Холмс и доктор Ваттсон задумали распутать слож- ную криминальную историю. В селение, где случилось происшествие, не вела хорошая дорога, и они решили воспользоваться воздушным шаром. Однако, ввиду ненастной погоды, воздушный шар покрылся корочкой льда, и наши герои куда-то шлепнулись, к счастью, благо- получно.

— Где мы находимся? — спросил Шерлок Холмс у стоящего невдалеке человека.

—В кабине вашего воздушного шара, — подумав, ответил тот.

—Он — математик! — воскликнул Шерлок Холмс. На вопрос доктора Ваттсона, откуда он это узнал, Холмс ответил, пожав плеча- ми:

—Это очевидно: он ответил не сразу, а подумав; его ответ был абсолютно точен и совершенно бесполезен!

Конечно, физики, мягко говоря, не очень искренни в этом своем мнении. Великий Эйнштейн, создатель теории относительности, взял основную идею о пространственно-временном интервале у крупней- шего математика А. Пуанкаре, а также пользовался идеями и поня- тиями математика М. Гроссмана, чтобы облечь свои идеи по специ- альной теории относительности в точную форму. Что же касается общей теории относительности, то и здесь огромное значение имеют исследования выдающегося математика Давида Гильберта, который также внес большой вклад в создание этой теории.

Математический стиль мышления нужен всем, а в естественных науках (в том числе физике) также нужны фундаментальные матема- тические результаты и теории.

Бытует и еще одно мнение. Нередко люди, далекие от математики и ее приложений, полагают, что наука эта сухая и неинтересная (хотя, может быть, и полезная), что все в ней давно уже открыто и ничего нового не придумаешь (все те же «дважды два — четыре», все те же квадратные уравнения и та же теорема Пифагора), а ученый-матема- тик — это тот, кто умеет хорошо считать. Теперь же, поскольку появились быстродействующие вычислительные машины, сама про- фессия математика скоро будет ненужной.

Однако подобные рассуждения в корне ошибочны. Компьютеры (и даже карманные калькуляторы) действительно лучше справляются с утомительными и скучными арифметическими подсчетами, чем счи- тающий вручную вычислитель. Но математик видит интерес и пользу своей науки вовсе не в вычислениях, а в богатстве ее идей и прило- жений. Ведь алгоритм вычислений должен дать компьютеру человек.

Ошибочно и мнение о том, что в математике не появляется ничего нового. Напротив, именно сейчас эта наука бурно развивается, дви- жется семимильными шагами по непроторенным, неизведанным путям. Школьникам известны алгебра, геометрия, начала математи- ческого анализа. Инженер может добавить к этому еще несколько разделов так называемой высшей математики: интегральное исчисле- ние, теорию дифференциальных уравнений, теорию вероятностей, ма- тематическую статистику... Современная же математика включает десятки новых направлений и областей, превосходящих по объему и идейному богатству названные разделы. Причем многие из них обя- заны своим развитием нескольким последним десятилетиям и даже годам.

В нашей стране издается реферативный журнал «Математика», в котором кратко излагается содержание научных работ, публикуемых математиками всего мира. Аналогичные журналы (Mathematical Reviews, Zentral Blatt) выпускаются и за рубежом. За год эти журналы