От Пантелеева / Книги студентам / ПЕРВОЕ ЧТЕНИЕ / Начала алгебры, часть I

2)подмножество D всех элементов a + bi, a, b R, замкнуто относительно операции сложения

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

0 = 0 + 0i D является в D нейтральным элементом, −(a+ bi) = (−a) + (−b)i — противоположный элемент для a+ bi. Итак, D относительно сложения — коммутативная группа.

3) подмножество D замкнуто относительно умножения

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

для a + bi = 0. Итак, D является подполем поля K, R D, i D, D — наименьшее подполе в K, содержащее R и i.

2.2. Построение поля комплексных чисел

На основе проведённого анализа положим

C = R2 = {(a, b) | a, b R} —

совокупность упорядоченных пар действительных чисел. Рассмотрим следующие операции сложения и умножения:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Тогда:

1)C = (R2, +) — абелева группа (сложение ассоциативно и коммутативно; (0, 0) — нейтральный элемент; (−a, −b) — противоположный элемент для (a, b));

2)умножение: ассоциативно

((a, b)(c, d))(e, f ) = (ac − bd, ad + bc)(e, f ) =

=((ac − bd)e − (ad + bc)f, (ac − bd)f + (ad + bc)e) =

=(ace − bde − adf − bcf, acf − bdf + ade + bce) =

=(ace − adf − bcf − bde, acf + ade + bce − bdf ) =

=(a(ce − df ) − b(cf + de), a(cf + de) + b(ce − df )) =

=(a, b)(ce − df, cf + de) = (a, b)((a, d)(e, f ));

коммутативно

(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, cb + da) = (c, d)(a, b); (1, 0) — нейтральный элемент, (a, b)(1, 0) = (a, b), (1, 0) = (0, 0);

3) выполнено свойство дистрибутивности:

(a, b)((c, d) + (e, f )) = (a, b)((c + e, d + f )) =

=(a(c + e) − b(d + f ), a(d + f ) + b(c + e)) =

=(ac + ae − bd − bf, ad + af + bc + be) =

=(ac − bd + ae − bf, ad + bc + af + be) =

=(ac − bd, ad + bc) + (ae − bf, af + be) =

=(a, b)(c, d) + (a, b)(e, f ).

Итак, C = R2 с этими операциями сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей (1, 0).

таким образом, каждый элемент (0, 0) = (a, b) C = R2 имеет обратный.

Итак, C = R2 с этими операциями сложения и умножения — поле. Осуществим вложение поля действительных чисел R в построенное поле C = R2, сопоставляя любому элементу a R пару (a, 0)

C = R2. Так как для a, b R имеем

(a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0),

(ab, 0) = (a, 0)(b, 0),

то это отображение является изоморфизмом поля R на подполе {(a, 0) | a R} поля C = R2. В дальнейшем мы будем отождествлять a и (a, 0), полагая a = (a, 0), в частности 1 = (1, 0).

Если i = (0, 1), то

i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1,

(элемент i = (0, 1) в построенном расширении C = R2 поля R является корнем уравнения x2 + 1 = 0).

Для любых a, b R имеем

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi,

при этом это представление единственно (как из «анализа задачи», так и непосредственно: если a+bi = c+di, то (a, b) = a+bi = c+di = = (c, d), следовательно, a = c, b = d).

Элементы построенного поля C = R2 называются комплексными числами. Форма записи комплексного числа в виде a + bi, a, b R, называется алгебраической формой записи, в которой:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i,

В геометрической интерпретации комплексное число z = a + bi изображается вектором в прямоугольной системе координат, выходящим из точки (0, 0) в точку (a, b).

жённому комплексному числу z¯ = a − bi прозрачна: это отражение относительно вещественной оси:

Теорема 2.3.1.

1)Операция комплексного сопряжения z → z¯ является автоморфизмом поля C комплексных чисел (т. е. биекцией, для которой z + w = z¯+w¯, zw = z¯w¯ для z, w C и, как следствие, w = w¯

z z¯

для z = 0), оставляющим все действительные числа и только их на месте (a¯ = a для a R C; если z¯ = z, то z R).

2)Квадрат комплексного сопряжения равен тождественному отображению (z¯ = z).

3)Если z = a + bi C, a, b R, то z + z¯ = 2a R, z −z¯ = 2bi Ri, N (z) = zz¯ = a2 + b2 R, при этом N (wz) = N (w)N (z) для w, z C.

4)Если f : C → C — такой автоморфизм поля C комплексных чи-

сел, что f (a) = a для всех a R C, то либо f = 1C, либо f (z) = z¯ для z C (тем самым показано, что группа Галуа расширения R C состоит из двух элементов).

Доказательство.

1) Ясно, что соответствие

z = a + bi = (a, b) → z¯ = a − bi = (a, −b)

является биекцией.

62 Глава 2. Поле C комплексных чисел

Если z = a + bi, w = c + di, то

z + w = (a + b) + (c + d)i = (a + b) − (c + d)i =

= (a − ci) + (b − di) = z¯ + w¯;

−z = −a − bi = −a + bi = −(a − bi) = −(¯z); z − w = z + (−w) = z¯ − w¯;

zw = (ac − bd) + (ad + bc)i = (ac − bd) − (ad + bc)i =

= (a − bi)(c − di) = z¯w¯.

Если z = a R, то z¯ = a. Если z = a + bi, то z¯ = z означает, что z = a + bi = a − bi = z¯, т. е. b = −b, поэтому b = 0 и z = a R. Итак, z = z¯ тогда и только тогда, когда z R.

2)z¯ = a − bi = a + bi = z.

3)Если z = a + bi, то

z+ z¯ = (a + bi) + (a − bi) = 2a R,

z− z¯ = (a + bi) − (a − bi) = 2bi Ri, z · z¯ = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 R.

Далее,

N (wz) = wzwz = wzw¯z¯ = wwz¯ z¯ = N (w)N (z).

4) Так как i2 = −1, то f (i)2 = f (−1) = −1, поэтому

либо f (i) = i, и тогда f (a + bi) = f (a) + f (b)f (i) = a + bi, либо f (i) = −i, и тогда f (a + bi) = f (a) + f (b)f (i) = a − bi.

Замечание 2.3.2.

1)Если комплексное число α получено как выражение из ком-

плексных чисел α1, . . . , αn с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, то то же выражение из комплексных чисел α¯1, . . . , α¯n даёт α¯.

2)Правило деления комплексного числа w = c + di на ненулевое комплексное число 0 = z = a+bi C (в алгебраической форме):

2.4.Полярные координаты точек плоскости (отличных от начала координат)

Точка плоскости (a, b), отличная от начала координат (0, 0), однозначно задаётся своими полярными координатами r, ϕ, где r — расстояние от данной точки до начала координат, ϕ — угол между положительной полуосью абсцисс и радиусом-вектором точки (a, b), отсчитываемый против часовой стрелки (определённый с точностью до 2πk, k Z, и называемый аргументом точки (a, b)).

Аргумент точки 0 = (0, 0) не определён.

Формулы перехода от декартовых координат a и b точки (a, b) к полярным координатам и обратно:

2.5. Свойства модуля комплексных чисел

Для комплексного числа z = a + bi C определим его модуль как

√

|z| = zz¯ = a2 + b2

(в геометрической интерпретации на плоскости C = R2 модуль ком-

√

плексного числа r = |z| = a2 + b2 — это расстояние от точки (0, 0) до точки (a, b), т. е. длина вектора z).

Лемма 2.5.2. |wz| = |w| |z| для w, z C.

Доказательство.

√ √

|wz| = (wz)(wz) = (ww¯)(zz¯) = ww¯ zz¯ = |w| |z|.

Другое доказательство этого факта следует из свойств тригонометрической формы.

Следствие 2.5.3.

1)Если w = z−1 для 0 = z C, то 1 = |1| = |z−1z| = |z−1| |z|, поэтому