1. Сглаживающий функционал и его свойства

Пусть функции, входящие в уравнение

(2.1)

являются непрерывными, причем определена на интервале – при , а ядро K(x,s) – в прямоугольнике . Запишем уравнение (2.1) в виде

, (2.2)

где А – оператор Фредгольма. Рассмотрим функционал

, (2.3)

где

, (2.4)

, , . (2.5)

Здесь α>0 – некоторый параметр, называемый параметром регуляризации. Функционал (3.5) называется регуляризирующим, а функционал – сглаживающим функционалом.

Поставим вариационную задачу на экстремум функционала . Экстремум будем искать в классе Y функций y(x), дважды непрерывно дифференцируемых и удовлетворяющих условия

(2.6)

Пусть и - две функции, принадлежащие Y. Вычислим приращение функционала , отвечающее приращению δy, т.е. вычислим величину . Имеем

.

В этом выражении сумма первого и четвертого слагаемых представляет собой . Перенесем их влево и тогда получим, что приращение функционала распадается на линейную относительно δy часть (эта сумма второго и пятого слагаемых), третьего и шестого слагаемых, зависящую от δy нелинейно, которую обозначим и которая, как нетрудно видеть, при любом неотрицаельна:

. (2.7)

Из вариационного исчисления известно, что если реализует экстремум функционала , то δ, т.е.

(2.8)

Это равенство представляет собой необходимое условие экстремума. Преобразуем первое слагаемое, изменив порядок интегрирования:

,

где

,

.

Во втором слагаемом в (3.8) произведем интегрирование по частям. Получим

,

так как внеинтегральный член в силу (3.6) обращается в нуль. Соотношение (2.8) принимает тогда вид

. (2.9)

Поскольку δy(t) – произвольная вариация, то, в силу основной леммы вариационного исчисления, выражение в фигурных скобках равно нулю. Получаем уравнение, определяющее экстремали функционала :

. (2.10)

Таким образом, если осуществляет экстремум функционала при условиях (2.6), то y удовлетворяет уравнению (2.10).

Теорема о минимальном значении сглаживающего функционала: Для любой непрерывной функции существует единственная функция из класса Y, на которой реализуется минимальное значение функционала .

Доказательство: Докажем, что уравнение (2.10) при краевых условиях (2.6) имеет единственное решение. Уравнение (2.10) является интегро-дифференциальным уравнением. Сведем его к интегральному уравнении. Фредгольма второго рода.

Рассмотрим уравнение

(2.11)

При условиях (3.6). Убедимся, что эта задача имеет только тривиальное решение. Действительно, пусть y(t) имеет положительное максимальное значение, достигающееся в некоторой точке . Тогда . Учитывая, что , имеем при , что противоречит равенству (2.11). Следовательно, . Аналогично доказывается, что . Отсюда следует, что

В силу доказанного, существует функция Грина и уравнение (2.10) при условиях (2.6) эквивалентно интегральному уравнению

,

или

, (2.12)

где - некоторое ядро,

а .

Уравнение (3.12) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Докажем, что оно имеет единственное решение. Для этого, достаточно доказать, что соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение. А это эквивалентно тому, что однородное уравнение (2.10) при условиях (2.6) имеет только тривиальное решение. Допустим противное, т.е. что уравнение

(2.13)

имеет нетривиальное решение y(t). Умножая (3.13) на y(t) и интегрируя, получим

(2.14)

Интегрированием по частям преобразуем левую часть к виду - . Правую часть преобразуем, пользуясь выражением (2.9) для и изменяя порядок интегрирования:

.

После этих преобразований (2.14) принимает вид

.

Так как , то левая часть отрицательна, а правая неотрицательна, и мы имеет противоречие, доказывающее, что задача (2.13), (2.6) имеет только тривиальное решение, а следовательно, уравнение (2.12) имеет единственное решение.

Нетрудно увидеть, что это решение реализует минимально значение функционала . Это непосредственно следует из (2.7), поскольку при , а при любом . Теорема доказана.