§ 7. Числовые характеристики генеральной совокупности.

Для генеральной совокупности объема N с распределенным количественным признаком также можно ввести числовые характеристики:

1. генеральная средняя - это среднее арифметическое значений признака

=.

Если в генеральной совокупности значения признака имеют частоты , причем (), то

.

2. генеральная дисперсия - это среднее по генеральной совокупности значение квадрата отклонения от генерального среднего,

3. Генеральное среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение)

По мере увеличения объема выборки () числовые характеристики случайной величиныбудут приближаться к соответствующим характеристикам, т. е

Следовательно, и при произвольном объеме выборки значения выборочных характеристик в какой-то мере служат оценками генеральных характеристик.

Глава 2.

Статистические оценки параметров распределения.

§1 Понятие о статистических оценках параметров распределения.

Пусть имеется генеральная совокупность объема N, исследуется случайная величина , сделана выборка объема n и получены значения .

Выборка- это последовательность одинаково распределенных независимых случайных величин , распределение которых совпадает с распределением случайной величиныв генеральной совокупности.

Конкретный набор чисел, полученный при выборкеn объектов из генеральной совокупности, называется реализацией выборки.

Таким образом, введенные ранее числовые характеристики выборочного распределения оказываются зависящими от конкретной реализации выборки, т.е. – это случайными величинами.

При изучении случайной величины , часто из теоретических соображений удается установить вид распределения и по данным выборки необходимо оценить его численные параметры.

Например: если случайная величина имеет нормальное распределение, то для полного его определения необходимо оценить его математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Определение: статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения - функция от наблюдаемых случайных величин , т.е. также случайная величина(), которая на различных реализациях выборки принимает конкретные значения; ее значение служит оценкой неизвестного параметратеоретического распределения .

§2. Точечные и интервальные оценки. Доверительный интервал. Точность оценки. Доверительная вероятность (надежность).

Существует 2 вида оценок параметров распределения (числовых характеристик) изучаемого признака генеральной совокупности по данным выборки:

1. Точечная оценка неизвестного параметра – это случайная функция(), значение которой для любой реализации выборки принимают за приближенное значение параметра.

*()

2. Интервальная оценка неизвестного параметра - это случайная функция() , такая, что :

Геометрически выражение (1) означает, что интервал с границами

(*-;*+) «накроет » неизвестный параметрс вероятностью.

*-**+

(2)

Сам интервал (2) называется доверительным интервалом.

–доверительная вероятность оценки (надежность, коэффициент доверия)

Числа Q*-; Q*+ называются доверительными границами.

- уровень значимости (существенности), который характеризует риск наступления события, что параметр в интервале (2) не содержится.

Доверительная вероятность()- характеризует степень доверия к событию, что неизвестный (но не случайный) параметр содержится внутри доверительного интервала.

Чем более существенны последствия ошибки, что параметр не содержится в доверительном интервале, тем меньшим уровнем значимости нужно задаваться.