§ 3. Статистическое распределение выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка и производятся наблюдения за случайной величиной (признак), причем значениенаблюдалось-раз, значениенаблюдалось-раза, – -раз и т.д.

Возможные значения случайной величины,,,…., принято называть вариантами, а последовательность вариант, записанную в порядке возрастания - вариационным рядом.

Числа,,…называют частотами.

где - относительная частота.

Перечень вариант и соответствующих им частот (или относительных частот) называется статистическим распределением выборки (или статистическим рядом). Обычно статистический ряд записывают в виде таблицы.

§ 4. Полигон и гистограмма.

Для наглядности часто используют графическое изображение статистических рядов:

1. для дискретного ряда – полигон;

2. для интервального ряда – гистограмма.

Полигон частот (относительных частот), есть ломанная, отрезки которой соединяют точки (), (),…..() или (),()….().

Гистограмма частот () есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной и высотами или .

Площадь всей гистограммы частот равна n (объем выборки).

Площадь всей гистограммы относительных частот равна 1.

§ 5 Эмпирическая функция распределения.

Пусть задано статистическое распределение случайной величины .

Обозначим через - число вариант, меньших .

- любое действительное число.

- объем выборки.

Относительная частота событий {Х<x}=.

При изменении меняется и относительная частота, т.е отношение является функцией отх.

Поскольку данная функция строится по данным опыта, то она называется эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки F*(x)) называется относительная частота события , где- число вариант меньших x, n- объем выборки.

Теоретической функцией распределения называется функция распределения F() случайной величины, вычисленная по генеральной совокупности, т.е вероятность события.

Теорема.

При неограниченном возрастании объема выборки эмпирическая функция распределения сходится по вероятности к теоретической функции распределения.

§ 6. Числовые характеристики статистического распределения выборки.

Пусть имеется генеральная совокупность выборки объема N ,из которой сделана выборка объема n.

Статистический ряд, в котором присутствуют значения случайной величины X и относительные частоты их появления, можно рассматривать как закон распределения новой случайной величины , а исходную случайную величину –.

Очевидно, что законы распределения этих величин в какой-то мере близки, но не совпадают. Каждой числовой характеристике случайной величины соответствует её выборочный аналог- характеристика случайной величины .

При возрастании объема выборки (), числовые характеристики случайной величины(СВХ) будут сходиться по вероятности к соответствующим характеристикам .

Наиболее употребительны следующие числовые характеристики выборки:

1. Выборочное среднее ()-среднее арифметическое значений выборки:

;

2. Выборочная мода ()- наиболее вероятное значение в выборке (варианта с наибольшей частотой);

3. Выборочная медиана () - значение случайной величины, приходящейся на середину вариационного ряда;

а) если объем выборки четный, то ; ;

б) если объем выборки нечетный, то ; ;

В теории вероятности медиана определяется:.

4. Выборочная дисперсия - средние значение квадрата отклонения от

выборочной средней

;

5. Выборочное среднее квадратичное отклонение:

;

6. Исправленная выборочная дисперсия:

;

7. Исправленное среднее квадратичное отклонение:

;

Для интервального статистического ряда все вышеприведенные формулы сохраняются, но в качестве значений вариант берутся середины соответствующих промежутков [), [), …..[) т.е

….. .